高接觸比螺旋錐齒面修形方法及動態特性研究

李建國，徐國勝

（1.天津職業大學機械工程實訓中心，天津 300410；2.天津職業技術師范大學工程實訓中心，天津 300222）

0 前言

螺旋錐齒輪以其傳動效率高、承載能力強、結構緊湊、傳動平穩、噪聲低等優點，已成為機械傳動系統中不可或缺的關鍵部件。由于螺旋錐齒輪傳動的運行振動隨著機械傳動系統功率的增大而增大，對高接觸比螺旋錐齒輪進行齒面修形和動態分析，以減小其運行振動，對提高機械動力系統的設計水平具有重要意義［1-2］。

學者們針對降低螺旋錐齒輪副的振動特性開展了大量研究。王星等人［3］基于局部綜合方法，對準雙曲面齒輪傳動的加工參數進行了設計，以提高齒輪傳動的動態特性為目標，提出了加工參數優化的遺傳算法，降低了齒輪副的載荷傳遞誤差。張衛青等［4］建立了螺旋錐齒輪的共軛齒面，根據螺旋錐齒輪的齒形設計，提出了曲面設計的插值算法，通過實例及齒輪接觸分析對該方法進行了驗證，表明螺旋錐齒輪具有良好的傳動特性。余佳豪等［5］通過有限元仿真研究了單齒面磨損和全齒磨損情況螺旋錐齒輪傳動的動態響應，結果表明單齒磨損與錐齒輪動態傳動誤差呈現正弦關系，而全齒磨損則與錐齒輪傳動動態誤差呈線性關系。嚴宏志等［6］通過有限元分析方法研究了螺旋錐齒輪副在不同載荷下的振動響應特性，結果表明載荷與振動加速度幅值呈近似反比關系，該研究成果為螺旋錐齒輪的優化設計提供了有效的理論支撐。張衛青等［7］針對螺旋錐齒輪的修形，通過有限元模型研究了不同修形量與傳動性能的關系，建立了基于高階切齒運動的修形優化算法，仿真和實驗結果表明該方法能有效提高螺旋錐齒輪的傳動特性。耿龍龍等［8］建立了螺旋錐齒輪螺旋加工的數學模型，對齒面進行了點離散，在此基礎上研究了修形加工參數對齒面偏差的影響以及動力學特性，通過仿真表明所提模型的合理性。

上述研究為改善高接觸比螺旋錐齒輪的動態特性提供了參考。本文作者在前述研究成果的基礎上，提出一種降低載荷傳遞誤差和嚙合沖擊的齒面修形方法。采用輔助齒面修形（Auxiliary Tooth Surface Modification，ATSM）方法生成高階修形螺旋錐齒輪，建立了降低高接觸比螺旋錐齒輪傳動的載荷傳遞誤差和嚙合沖擊的優化模型。通過比較二階和高階修形螺旋錐齒輪傳動的載荷傳遞誤差和嚙合沖擊，驗證了所提方法的有效性。仿真結果表明：該方法可以降低高接觸比螺旋錐齒輪傳動的載荷傳遞誤差和嚙合沖擊，并能顯著提高高接觸比齒輪副在全速范圍內的動態特性。

1 基于Ease-off 的高階目標曲面模型

根據高接觸比齒輪的嚙合特性［9］，建立了如圖1所示的高階傳輸誤差曲線，其上有7 個嚙合控制點：點A和點G分別為嚙合齒接觸或脫離接觸的位置，點D是參考點，φ1i（i＝A，B，…，G）為齒輪在嚙合點處的轉動角度，對應的TE 為δi（i＝A，B，…，G），λj（j＝1，2，3，4）用于控制嚙合點的位置。

圖1 高階傳輸誤差曲線Fig.1 Higher-order transmission error curve

假設控制點的小齒輪旋轉角度為

式中：CR為接觸比；TZ表示嚙合周期。根據預先設計的高階傳輸誤差和接觸模式［10］，得到滿足功能要求的小齒輪Ease-off 目標面［11］，如圖2（a）所示。為形象地顯示高階目標面，建立圖2（b）所示的二階目標表面，兩個目標面的傳輸誤差曲線嚙合點幅值是相同的。

圖2 小齒輪Ease-off 目標表面Fig.2 Pinion Ease-off target surfaces：（a）higher-order target surface；（b）second-order target surface

2 小齒輪齒面數學模型

假設原小齒輪機的參數設置已知，切削錐的位置矢量為

其中：Rp為刀具半徑；sp、θp為刀盤參數；α1為齒形角。

圖3 為刀盤與小齒輪的坐標系，其中S1與小齒輪連接，Sp與刀盤連接。?p表示托架旋轉角；?1為小齒輪旋轉角；sr1為刀具半徑；q1為初始托架初始角度；Em1為垂直偏移量；Xb1為滑動底座進給量；XG1為機床中心到后部的增量；γ1表示工件安裝角。

圖3 刀盤與小齒輪的坐標系示意Fig.3 Schematic of coordinate system of cutter head and pinion

為實現螺旋錐齒輪傳動的復雜側面修形，將ATSM 方法引入到小齒輪齒面設計中，利用數控機床的優點，在切削過程中，刀具參數和原機床設置不變，但ATSM 運動是可以改變的，Em1和XG1以高階多項式［12］表述為

其中：ai和bi（i＝1，2，3，…，8）表示多項式系數；E0和X0表示初始設置；φ10＝φ1-φ0，φ0為齒輪在齒面控制點處的嚙合角度。小齒輪修正齒面位置矢量r1為

則在離散點處，Ease-off 目標表面和小齒輪修正齒表面之間的偏差為

其中：pi和表示修正齒面和目標面上離散點的位置向量；ni表示小齒輪修正齒面上離散點的單位法向量。最后，以ATSM 方法的多項式系數作為優化模型的優化變量，第一個目標為

3 動力響應分析

3.1 載荷傳遞誤差激勵分析

采用齒輪承載接觸分析法得到的載荷傳遞誤差是螺旋錐齒輪傳動運行振動的主要激勵之一。齒輪承載接觸分析利用計算機模擬齒輪的嚙合性能［13］，齒輪承載接觸分析模型如圖4 所示。通過求解基于力平衡條件和變形協調方程建立的數學規劃模型，得到了齒輪在載荷作用下的變形。載荷傳遞誤差可以通過將法向位移Z轉換為角位移來獲得，則第二個目標是：

圖4 齒輪承載接觸分析模型示意Fig.4 Schematic of gear bearing contact analysis model

其中：Te表示載荷傳遞誤差。

3.2 嚙合沖擊激勵分析

螺旋錐齒輪傳動過程中，載荷變形產生的沖擊速度［14］表述為

其中：v2和v1表示速度；nh表示初始嚙合點的法向量。齒輪的彈性變形是由嚙合沖擊引起的，相應的沖擊力就是最大的沖擊力。嚙合沖擊模型結構示意如圖5 所示。根據TIMOSHENKO 的彈性理論，假設在靜態下建立的方程在沖擊過程中也是有效的。因此，最大沖擊力Fs如下：

圖5 嚙合沖擊模型結構示意Fig.5 Structural diagram of meshing impact model

式中：n為嚙合力指數系數；ks為嚙合剛度；δs為齒變形。彈性勢能Ek可以表示為

根據沖擊理論，沖擊動能與彈性勢能的關系為

其中：J1、J2為轉動慣量；rb1、rb2為瞬時基圓半徑。因此，最大彈性變形可以表示為

最后，根據得到的最大彈性變形，最大沖擊力可表示為

則第三個目標為

3.3 優化模型的建立

減小振動激勵和響應是抑制螺旋錐齒輪傳動運行振動以及提高動態性能的主要手段，而減小振動激勵是提高螺旋錐齒輪傳動動態性能最有效的措施。螺旋錐齒輪齒面優化修形的直接目的是降低載荷傳遞誤差的激勵效應和嚙合沖擊，以減少螺旋錐齒輪的運行振動，提高其動態性能。為此，基于Ease-off 技術和高階齒面修形方法，建立了螺旋錐齒輪傳動的優化模型，以減少載荷傳遞誤差和嚙合沖擊。螺旋錐齒輪傳動的優化模型如下：

其中：ai和bi（i＝ 1，2，…，4）表示優化變量；χ1表示最小值；χ2表示最大值。

傳統的多目標優化方法是利用加權目標法將多目標優化問題轉化為單目標優化問題，存在主觀性強、局部優化和各目標相互約束的缺點。文中的優化目標函數為齒輪承載接觸分析和嚙合沖擊的結果，與優化變量沒有直接關系，因此無法建立從優化變量到目標函數的精確解析表達式。針對這一問題，采用了快速最優非支配排序遺傳算法（NSGA-II）［15］，并編制了相應的MATLAB 程序。NSGA-II 采用了快速非支配排序算法和擁擠距離比較算子，并引入了精英策略，從而降低了計算復雜度，保證了種群的多樣性，提高了算法的計算效率。

3.4 動態性能分析

根據圖6 所示的齒輪傳動八自由度動力學模型，應用載荷傳遞誤差激勵和嚙合沖擊激勵對齒輪傳動的動態性能進行分析。

圖6 螺旋錐齒輪傳動的動力學模型Fig.6 Dynamic model of spiral bevel gear transmission

式中：Fs為沖擊力，根據沖擊理論求得；Fn表示法向載荷，Fn＝kn（t）f（λn）＋cn，kn為嚙合剛度，λn表示齒輪嚙合點的法向相對位移；Fx、Fy、Fz分別表示Fn沿為x、y、z軸3 個方向的法向載荷分量；k1x、k1y、k1z分別表示主動齒輪沿x、y、z軸的支承剛度；k2x、k2y、k2z分別表示從動齒輪沿x、y、z軸的支承剛度；m1和m2分別表示主動齒輪和從動齒輪的質量；J1、J2表示轉動慣量；cn表示嚙合阻尼；c1x、c1y、c1z分別表示主動齒輪沿x、y、z軸的阻尼；c2x、c2y、c2z分別表示從動齒輪沿x、y、z軸的阻尼；T1和T2分別表示主動齒輪和從動齒輪的扭矩。

4 數值算例

以某螺旋錐齒輪傳動為例，驗證該方法的有效性。其幾何參數和加工參數設置分別如表1 和表2 所示。當負載為1 000 N·m、小齒輪轉速為20 000 r／min時，高接觸比螺旋錐齒輪的優化是基于Ease-off技術，通過ATSM 方法計算高階修正螺旋錐齒輪傳動的多項式系數，如表3 所示。分析了高階修正齒輪傳動的嚙合性能，輪齒接觸分析結果如圖7 所示。通過比較，可以看出高階修正齒輪傳動的傳輸誤差曲線符合上述條件。

表1 幾何參數設置Tab.1 Geometric parameter settings

表2 加工參數設置Tab.2 Processing parameter settings

表3 ATSM 方法的多項式系數Tab.3 Polynomial coefficients of ATSM method

圖7 高階修正齒輪的接觸分析結果Fig.7 Contact analysis results of high-order modified gears

對負載為1 000 N·m 時的高階修正齒輪傳動的載荷傳遞誤差進行了齒輪承載接觸分析，將其與高階修正齒輪嚙合比相同的二階修正齒輪傳動進行了比較，其加工參數設置如表4 所示。

表4 二階修正齒輪傳動的小齒輪加工設置Tab.4 Pinion machining settings of second-order modifed gear transmission

高階修正齒輪傳動和二階修正齒輪傳動的載荷傳遞誤差如圖8 所示，通過對比可以看出：二階修正齒輪傳動的載荷傳遞誤差幅值為5.438 0，高階修正齒輪傳動的載荷傳遞誤差幅值為3.339 0，比二階修正齒輪傳動的載荷傳遞誤差幅值低38.60%。因此，ATSM 方法可以降低高接觸比齒輪傳動的載荷傳遞誤差幅值。

圖8 高階和二階修正齒輪的載荷傳遞誤差振幅的比較Fig.8 Comparison of the load trasmission error amplitudes for the higher-order and second-order modified gears

當負載為1 000 N·m，小齒輪轉速為20 000 r／min時，計算高階改進型齒輪傳動的嚙合沖擊值，并與二階改進型齒輪傳動進行比較，結果如圖9 所示。通過比較可以看出：二階修正齒輪傳動的沖擊速度和沖擊力分別為0.46 m／s 和7.89 kN，而高階修正齒輪傳動的沖擊速度與沖擊力分別是0.26 m／s 與4.31 kN，分別比二階齒輪傳動低43.93%和46.12%。因此，ATSM 方法可以有效降低高接觸比齒輪傳動的嚙合沖擊。

圖9 高階和二階改進型齒輪的嚙合沖擊比較Fig.9 Comparison of meshing impact between high-order and second-order modified gears：（a）impact velocity；（b）impact force

基于圖6 所示的八自由度螺旋錐齒輪傳動動力學模型，比較了在相同工況下（負載為1 000 N·m，小齒輪轉速為20 000 r／min），二階修正齒輪傳動與高階修正齒輪傳動的動態響應，結果如圖10 所示。

圖10 高階和二階改進型齒輪傳動的動態負載系數比較Fig.10 Comparison of dynamic load coefficients of high-order and second-order modified gear transmission

通過對比可以看出：二級齒輪傳動的動態負載系數為1.118，而高階修正齒輪傳動的動態負載系數為1.089，小于二級齒輪傳動。因此，ATSM 方法可以有效地降低高接觸比螺旋錐齒輪傳動的振動，提高其動態性能。

為驗證ATSM 方法的優越性，對高階改進型齒輪傳動在多種工況下的載荷傳遞誤差、嚙合沖擊和動態負載系數進行了分析。當小齒輪轉速為20 000 r／min時，結果如圖11—13 所示。通過對比可以看出：高階改進型齒輪傳動的載荷傳遞誤差、嚙合沖擊和動態負載系數都比二階改進型齒輪傳動的要小得多。高階修正齒輪和二階修正齒輪的嚙合沖擊均隨載荷的增大而增大，高階修正齒輪和二階修正齒輪的動態負載系數均隨載荷的增大而減小。因此，ATSM 方法可以有效地降低載荷傳遞誤差、嚙合沖擊和動態負載系數，提高高接觸比齒輪傳動的動態性能。

圖11 多工況下載荷傳遞誤差振幅比較Fig.11 Load trasmission error amplitudes comparison under multiple operating conditions

圖12 多工況下嚙合沖擊的比較Fig.12 Comparison of meshing impact under multiple working conditions：（a）impact velocity；（b）impact force

圖13 多工況下動態負載系數比較Fig.13 Comparison of dynamic response under multiple working conditions

5 結論

針對高接觸比螺旋錐齒輪傳動的振動，提出了減少螺旋錐齒的載荷傳遞誤差、嚙合沖擊的輔助齒面修形方法。通過仿真分析得到如下結果：

（1）基于Ease-off 技術和輔助齒面修形方法，實現了具有高接觸比螺旋錐齒輪的傳動。通過齒輪接觸分析，表明高階改進型齒輪傳動滿足設計要求。

（2）與二階改進型齒輪傳動相比，高階改進型齒輪傳動的載荷傳遞誤差振幅、嚙合沖擊和動態負載系數均大幅降低，有效地降低了螺旋錐齒輪傳動的振動，改善了螺旋錐齒輪傳動的動態特性，且螺旋錐齒輪傳動的振動隨動態負載系數的增大而增大。

（3）針對螺旋錐齒輪傳動的可變工況，分析了螺旋錐齒輪傳動在多載荷作用下的載荷傳遞誤差、嚙合沖擊和動態負載系數。仿真結果表明：與二階改進型齒輪傳動相比，高階改進型齒輪傳動能有效降低載荷傳遞誤差、嚙合沖擊和動態負載系數。