RV 減速器擺線輪齒廓修形對溫度的影響

史瑞杰，鄭鵬，張宏毅

（1.沈陽工業大學機械工程學院，遼寧沈陽 110870；2.沈陽航天三菱汽車發動機制造有限公司，遼寧沈陽 110179）

0 前言

隨著工業自動化的不斷發展，機器人技術已成為現代制造業的重要支柱。RV 減速器作為機器人關節的關鍵部件，其性能和可靠性對機器人的工作效率具有重要影響。然而，由于RV 減速器的高輸入轉速和降速比，熱效應問題成為制約其性能的重要因素之一，因此對RV 減速器進行熱分析具有重要的理論和工程實際意義。擺線齒輪是RV 減速器的核心部件之一，擺線齒輪的溫度場分析對于提高RV 減速器的傳動效率和可靠性具有重要意義。

在實際生產中，為了補償擺線針輪傳動的制造誤差、便于拆卸和安裝，同時改善潤滑情況和增加傳動效率，需要對擺線齒輪進行修形處理［1］。何衛東等［2］分析了擺線輪齒廓修形對回差的影響，并建立數學模型；孫章棟等［3］研究了擺線輪組合修形方式對摩擦潤滑特性規律的影響；陳馨雯等［4］研究了擺線輪修形對接觸受力和傳動誤差的影響；喬雪濤等［5］對擺線輪修形對傳動精度的影響進行探討。目前對于擺線輪修形問題的影響研究較為廣泛，但擺線輪修形方式對溫度影響的研究卻鮮有提及。因此，本文作者通過理論計算與仿真分析，探究擺線輪修形對溫度的影響規律，研究結果為擺線輪的溫度場問題和修形設計提供一定的指導意義。

1 擺線輪瞬時摩擦熱

RV 減速器是二級減速器，結構如圖1 所示。擺線齒輪與針齒嚙合過程中會產生接觸壓力和相對滑動，滑動過程中因摩擦產生的熱量被擺線齒輪和針齒吸收形成相應的升溫，有可能使傳動機構發生熱變形、產生熱膠合進而降低傳動精度。

圖1 RV-E 系列減速器結構Fig.1 Structure of RV-E series reducer

擺線齒輪與針齒嚙合過程中產生的瞬時摩擦熱量計算公式為

式中：σH為齒面的接觸應力；vr為輪齒和針齒之間的相對滑動速度；f為輪齒和針齒間的摩擦因數［6］；γ為能量轉換系數，一般取0.9～0.95 之間。

1.1 平均接觸應力的計算

擺線齒輪與針齒的接觸瞬間可以看作是兩圓柱體間的接觸，接觸情況符合赫茲接觸，且擺線齒輪和針齒的材料均為GCr15，因此可以使用簡化后赫茲公式來計算最大接觸應力，平均接觸應力為其最大接觸應力的π／4 倍［7］。計算公式如下：

式中：ρei為當量曲率半徑；Fi為法向接觸壓力；b為齒寬；E為彈性模量，取2.06×105MPa。

1.1.1 當量曲率半徑的計算

擺線齒輪曲率半徑可由以下公式求得：

式中：φi為嚙合相位角；K為短幅系數，按照下式計算：

針齒與擺線輪的嚙合點的當量曲率半徑為

1.1.2 法向接觸壓力的計算

（1）標準齒廓接觸壓力的計算

擺線齒輪傳動中受力情況如圖2 所示，齒輪在轉矩的驅動下運動，有一半的輪齒參與嚙合，每個嚙合齒上的瞬時壓力的作用方向均為瞬心［8］。

圖2 擺線輪受力簡圖Fig.2 Stress diagram of cycloid wheel

齒廓受力計算公式如下：

式中：Tc為單片擺線輪輸出轉矩，因減速器為兩片擺線輪，所以可以近似由Tc＝0.55T進行計算。

（2）修形齒廓接觸壓力的計算

本文作者以某型號RV-E 系列減速器為研究對象，其相關參數見表1。

表1 減速器相關參數Tab.1 Relevant parameters of reducer

在實際工作中，擺線輪齒廓修形一般采用等距＋移距的組合修形方式。因負等距＋負移距無法生成合理嚙合間隙，故修形多采用正等距＋負移距、負等距＋正移距、正等距＋正移距3 種組合修形方式［9］。給定相同的徑向間隙Δ＝0.006 mm，按照文獻［10］中的方法得到3 種修形方式的最佳修形量如表2 所示。

表2 最佳修形量Tab.2 Optimal modification amounts

修形齒廓與針齒嚙合時，不再是無間隙的嚙合，初始狀態下只有一對輪齒嚙合［11］，其余輪齒與針齒之間存在初始嚙合間隙，計算方式如下：

式中：Δrrp為等距修形量；Δrp為移距修形量。

3 種組合修形方式的初始嚙合間隙如圖3 所示。

圖3 初始嚙合間隙Fig.3 Initial engagement clearances

修形齒廓傳動中第i個齒的受力可以表示為

式中：δi為各嚙合點的總變形量；δmax為受力最大的一對輪齒的變形量；Fmax為最大受力。各參數計算方式如下：

式中：fmax為受力最大齒與針齒銷的彎曲變形量，變形量小可以忽略［12］；wmax為受力最大齒與針齒的接觸變形量；m為第m齒開始嚙合；n為第n齒結束嚙合；μ為泊松比0.3；E為彈性模量2.06×105MPa；rc為擺線輪的節圓半徑，rc＝azc。

當傳遞轉矩時，輪齒與針齒之間的總變形量大于初始嚙合間隙時，輪齒與針齒發生嚙合［13］，否則不會嚙合，這兩條曲線產生兩個交點對應兩個嚙合相位角，處于這兩個嚙合相位角之間的輪齒都處于嚙合狀態。

因為計算Fmax時需要δmax的數值，而計算δmax時又需要Fmax的數值，所以需要給出一個初始的Fmax的數值，由Fmax0開始迭代，計算公式如下：

綜上所述，Fmax的迭代流程如圖4 所示。

圖4 迭代流程Fig.4 Iteration flow

整合以上數據并代入公式（2）中可以得到標準齒廓與修形齒廓所受的應力如圖5 所示。隨著嚙合范圍的減小，輪齒所受壓力與應力增大，修形前后應力最大位置隨嚙合范圍的減小而前移。

圖5 應力對比Fig.5 Stress comparison

1.2 相對滑動速度的計算

此次分析針齒固定且無針套的相對滑動速度，計算公式［14］如下：

式中：ωH、nH分別為擺線針輪傳動機構的輸入軸的角速度和轉速。

1.3 摩擦因數的計算

摩擦因數的數值與多種因素相關，可由下式計算不同嚙合位置的摩擦因數：

式中：x為嚙合處的粗糙度因子；η為潤滑油動力黏度；Fti為嚙合處的切向載荷；vn為切向速度；s1、s2為齒輪與針齒的表面粗糙度；d為擺線輪的分度圓直徑。

整合以上數據并代入公式（1）中進行計算，得出擺線齒輪與針齒嚙合過程中的瞬時摩擦熱的計算結果如圖6 所示，擺線輪修形前后瞬時摩擦熱量的最大數值基本一致，但峰值的位置會隨著嚙合范圍的減小而發生前移。

圖6 瞬時熱量對比Fig.6 Instantaneous heat comparison

2 嚙合的周期性熱量

擺線針輪傳動機構工作過程中摩擦產生的熱量分別傳遞給針齒和擺線齒輪，引入一個分配因子β進行熱量分配。齒輪的瞬時摩擦熱量可以表示為

擺線齒輪的輪齒與針齒的嚙合是周期性的，所以熱量在單個輪齒的產生也呈周期性變化，在計算擺線齒輪的穩態溫度場時還需要把計算得出的瞬時摩擦熱量平均分配到擺線齒輪輪齒的每一個嚙合周期內。計算過程［7］如下：

式中：qi為不同嚙合位置的熱量；T為嚙合周期；aH為接觸面的半寬，由赫茲公式演化而來。

計算結果見圖7，周期熱量隨著嚙合范圍的減小而增大，峰值位置仍處于同一嚙合相位角上。

圖7 周期熱量對比Fig.7 Cycle heat comparison

3 齒輪表面對流換熱

在擺線針輪傳動機構工作過程中，產生的摩擦熱量會傳遞給擺線齒輪和針齒，剩下的熱量通過與潤滑脂的對流散失。

齒輪齒面對流換熱系數計算公式［15］：

齒輪端面對流換熱系數計算公式：

式中：λ為導熱率；ω為擺線輪自轉角速度；ν為運動黏度；ρ為密度；c為比熱容。

4 穩態溫度場有限元分析

擺線齒輪在與針齒嚙合的過程中產生摩擦熱使得齒面齒輪溫度上升，上升的溫度傳遞給整個擺線齒輪和針齒，并通過對流散失一部分熱量，最終整個齒輪的溫度會趨于平衡達到一個穩定的狀態，稱為穩態溫度。

在有限元分析軟件中設置材料熱傳導系數為44 W／（m·℃），施加邊界條件，設置環境溫度為22 ℃并求解，計算得到的結果如圖8 和圖9 所示。

圖8 標準齒廓整齒（a）及單齒（b）溫度場Fig.8 Temperature fields of whole tooth（a）and single tooth（b）with standard tooth profile

圖9 修形齒廓整齒及單齒溫度場Fig.9 Temperature fields of whole tooth and single tooth with modified tooth profile：（a）positive isometric＋negative displacement correction；（b）negative isometric＋positive displacement correction；（c）positive isometric＋positive displacement correction

從圖9 可以看出：熱量沿齒寬方向呈現對稱分布，沿徑向分布梯度變化較大，嚙合區域溫度明顯高于非嚙合區域。達到穩態以后齒輪的最高溫度為41.7 ℃。

修形齒廓溫度分布規律與標準齒廓大致相同，3種組合修形方式均可以使擺線輪穩態溫度降低。降溫效果由小到大分別為正等距＋負移距、負等距＋正移距、正等距＋正移距。由于修形后齒輪的嚙合范圍減小，在溫度場的溫度分布相較于標準齒廓更加集中，嚙合處的溫度梯度的密集程度隨著嚙合范圍的減小而增加。

5 結束語

本文作者在假定針齒與針齒套不產生相對滑動的前提下，通過對擺線齒輪的標準齒廓以及組合修形后的齒廓分別計算并進行對比分析，結論如下：

（1）3 種組合修形方式產生的初始嚙合間隙中，正等距＋正移距修形產生的嚙合間隙遠大于其余兩種修形方式，潤滑空間更大。

（2）齒輪修形前后嚙合產生的瞬時摩擦熱量最大值基本保持不變，峰值位置會發生變化；周期熱量隨嚙合范圍的減小而增大，且熱量峰值集中于輪齒的相同嚙合相位角上。

（3）擺線齒輪達到穩態溫度后，溫度沿齒寬方向呈對稱分布。常用組合修形方式均可以減低齒輪溫度，在相同徑向間隙為0.006 mm 時，降溫效果最佳的修形方式為正等距＋正移距修形。修形齒廓單齒溫度的集中程度大于標準齒廓，且隨嚙合范圍的減小而增大。