指向結構化的“圖解復習”
——以“垂線與平行線”整理與復習為例

◎ 江蘇省南京市浦口區實驗學校 張媛媛

《小學數學課程標準（2022版）》指出：“數學是研究數量關系和空間形式的科學?！睙o論數量關系還是空間形式都存在于結構之中，我們都需要用數學的眼光和思維探求其中的關系。數量或圖形關系能夠促進知識結構的建構，結構又能加深圖形或數量關系的理解。本文以“垂線與平行線”復習為例，通過結構化的解讀、梳理和提煉，讓學生認識整體板塊、搭建知識模塊、整合單元整體，引導學生在夯實圖形認識的基礎上梳理整體框架，溝通相互聯系，進而培養學生觸類旁通、自主學習的能力。

一、結構化解讀，認識整體板塊

結構化解讀是基于學生的已有認知和數學知識的邏輯順序，突出學習內容的結構化，凸顯教學的整體性和一致性，使學生在學習過程中形成良好的認知結構、思維結構和能力結構?！按咕€與平行線”是蘇教版四年級上冊第八單元的教學內容，共10個課時，主要內容包括：認識直線和射線，角的認識、度量和分類，認識垂線和平行線。從知識邏輯順序上，第一部分是基于二年級已學的線段和角，繼續認識射線、直線和角，學會角的度量，包括角的分類與畫出指定度數的角；第二部分是同一平面內不重合的兩條直線的位置關系，垂線與平行線的概念，以及作垂線和平行線的方法。

“垂線與平行線”單元學習序列的最后一課時是“整理與練習”，它是按照“回顧與整理”“練習與應用”“探索與實踐”“評價與反思”四個板塊來呈現的?！盎仡櫯c整理”板塊可以引導學生運用“圖解復習”的方式回憶舊知，溝通知識之間的聯系，促進學生形成合理的認知結構?！熬毩暸c應用”板塊側重于通過不同梯度的練習，幫助學生鞏固所學內容，增強學生的空間觀念，提高學生運用所學知識解決實際問題的能力?！疤剿髋c實踐”板塊，包含動手實踐、自主探索、合作交流，讓學生在操作中體會角、垂線和平行線的特征，從而對“垂線和平行線”這一單元有一個全新的認識?！霸u價與反思”板塊是對本單元所學知識的過程和方法的提煉與總結，通過自我評價、生生評價、師生評價的形式，培養學生自覺反思的意識，以此激勵學生不斷增強學習數學的興趣和學好數學的信心。

二、結構化梳理，搭建知識模塊

1.融通“線”的知識，建構圖解整理的框架

線的認識是小學數學空間與圖形的起源，直線、射線、線段是最簡單、最基本的圖形，也是研究其他復雜圖形的基礎。學生在二年級時已初步認識線段，但沒有歸納線段的本質特征，因此學生在四年級再次學習有關“線”的知識時需要進一步提煉。蘇教版四年級上冊第八單元通過尋找線段、射線、直線三種線的聯系與區別，讓學生深刻理解不同線的特征。復習這一單元知識時，學生應在課前進行自主整理，如利用表格整理、結構圖、思維導圖等多種方式經歷圖解整理和融通知識的再現過程，學生分享時可以清晰地說出線段、直線、射線的共同點和不同點。另外，在交流研討中，學生還會發現射線和線段都是直線的一部分。圖解融通以“線”為聚焦點，向端點、長度、形態這三塊進行關聯、辨析，形成“線”的結構，圖解整理的形式一目了然，清晰地呈現三條線的特點，也展現了知識點之間的聯系。

2.整理“角”的知識，經歷圖解比較的過程

“角”的知識在蘇教版教材中共涉及兩次。第一次是二年級初步認識角，重點落在感悟角的特征，第二次是四年級時學習角，是對角的概念、大小、分類進行了細化，其目的是側重理解和分析角的性質?；趯滩牡恼w把握，學生需要對“角”的知識重構和再認識。角是一個簡單又重要的平面圖形，角究竟如何而來？在二年級第一次接觸角時，從結構特征上發現角是由一點引出兩條射線所組成圖形。四年級再次學習時學生對角有了新認識，從旋轉運動上發現角可以看作一條射線繞它的端點，從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形，見圖1。像這樣從直觀到抽象，從靜態到動態的螺旋上升，概念升華，正符合小學生的認知發展規律。在復習過程中梳理“角”的來源，理清“角”的延伸，以追本溯源的形式讓學生慢慢地理出“角”的知識框架，才能最大限度地促進學生深度學習，延伸學生數學思維，提升學生復習效果。

圖1 角的結構圖

3.解構“位置關系”，感悟圖解分析的意義

對于兩條直線的位置關系，學生在生活中已有許多表象的認識，但由于小學生的空間想象能力不夠豐富，很難在腦海中架構出不同的位置關系模型。在復習時可以通過兩組對比作品（見圖2）來真正理解“平行”的本質，以及垂直與相交的關系。在對比作品（1）中，兩條線看似不相交，但通過延長發現它們終會相交，這與平行的本質“永不相交”沖突。在對比作品（3）（4）中，兩條直線都相交，只是圖2（4）的兩條線相交成的是直角，也就是說這兩條直線不僅相交，而且還是互相垂直的。

圖2 角的知識圖

學生通過圖與圖的對比，架構起同一平面內線與線、線與角之間的聯系，在對比中激活已有經驗，喚醒舊知。學生整體感悟兩條直線之間的關系結構圖，學習結構圖中的局部知識，融通不同概念之間的聯系，促進學生思維向深處蔓延生長，學生的思維水平和知識掌握程度在復習中不斷變化，由理論的單點結構發展成多元結構。因此，同一平面內線與線之間的“位置關系”在學生腦海中應運而生。

三、結構化提煉，整合單元整體

1.重構單元內容，促進核心素養落地

教師從學生已有認知思維和知識的邏輯順序出發，基于學習目標、核心內容、教學實施等幾個方面引導學生整合單元內容。課前布置任務讓學生自主嘗試整理，學生圍繞核心詞“線”“相交”“互相平行”“互相垂直”“角”，初步建立單元框架，如圖3。學生通過交流分享和思維碰撞，單元框架在辨析中不斷豐富，核心內容之間的內隱關系在學生的剖析中逐漸明確，線的特征、角的形成、位置關系在學生頭腦中留下印記，學生的空間觀念和推理意識得到發展，課后學生完善自主整理的單元知識圖，促進了學生思維的進階。

圖3 垂線與平行線整體框架圖

2.勾連關聯知識，推進“教學評”一體化

學生通過圖解融通的復習過程，已初步架構起線與角的聯系，那究竟如何運用這些知識解決思維層面的新問題以及操作層面的新難題，評價習題就顯得尤為重要。基于同一數學模型設計兩道評價題，如圖4所示。

圖4 同一數學模型設計兩道評價題

學生在做習題1時，發現以A點為起點有線段AB、AC、AD、AE；以B點為起點有線段BC、BD、BE；以C點為起點有線段CD、CE；以D點為起點有線段DE；學生觀察并記錄得到4＋3＋2＋1。習題2模型類似于習題1，只是由找“線”變為找“角”，基本的數學方法和數學思想是一致的。這樣一組系統性、實踐性、應用性和反思性的練習，讓學生深刻地感受到知識的相通，自然會加深對圖形本質屬性的理解，從而達到“做一題”而“通一類”的效果，培養學生舉一反三的能力。兩道評價練習的完成情況恰能反映學生從知識層面的學習到能力層面的培養及應用層面的實踐，從而實現教學評的一致性。

3.拓寬知識結構，構建深度學習課堂

深度學習著眼于學生對數學本質的理解，有助于學生思維從低階向高階發展，“垂線與平行線”的學習結合學生對角的已有認知，在整理與復習時學生認識到角其實是一個平面圖形，與線段、平面圖形類似，它的度量需要一個標準單位度量，即1°角，含有幾個1°角，角的大小就是幾度。畫角工具除量角器以外，用一副三角尺也可以畫角，通過引導學生合作探究，三角尺可以畫哪些度數的角，在交流和計算中進一步增強對角的度量的認識。同時學生在畫角、算角、量角的過程中逐步熟悉三角尺，加強對兩把形狀不同的三角尺的區分，學生觀察、計算、比較，發現直角三角形每個角都是15的倍數，它們的和或差也是15的倍數。學生參與豐富的數學活動，凸顯角的本質，延伸對角的度量。顯然，學生在這樣的活動驅動下對角的認識從淺顯走向深度，優化認知結構，空間觀念得到發展。

“垂線與平行線”這一單元知識是相輔相成的，線段、射線、直線的認識是為角的定義抽象作鋪墊；角的度量是經歷從靜態過渡到動態分類和靈活比角、畫角。整個復習以“線的知識”“角的知識”“位置關系”為線索，在結構化“圖解復習”過程中，融通、關聯，再關聯、再融通，形成一個完整的、嶄新的知識體系。只有這樣循序漸進地復習，學生的能力才能得到發展，綜合素養才能得到提高。