連珠成鏈——整體認知一元一次方程

周艷

一、為什么要學習方程

剛步入初中的同學們在學習這一章時，往往存在這樣的困惑：一些問題既然可以用小學的算術方法來解決，為什么到了初中，還要用方程來解決呢？下面，我們就以小學階段同學們非常熟悉的“雞兔同籠”問題為例，來談談兩種解法的差別。

例1 今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？

算術法：我們假設35個頭全是雞的，那么足相應有35×2=70（只），而實際足有94只，多出了24只。在將雞當成兔子的過程中，每只兔子少算了2只腳，于是兔子有24÷2=12（只），雞的數量為35-12=23（只）。

方程法：假設籠中的雞有x只，則雞腳有2x只，根據“共有35頭”，可得兔子有（35-x）只，兔腳有4·（35-x）只。根據“共有94足”，可列出方程2x+4·（35-x）=94，解方程即可得出雞與兔子的數量。

從本質上來說，算術方法是根據題目中的已知數，再結合條件，推理求解未知結果，而列方程恰恰相反，方程法是把未知當作已知來用，用字母表示未知量后，結合題目中的數量關系，建立相應的等式去求解。從理解層面看，算術法中的假設并不是每個同學都能想到并熟練運用的，需要一定的技巧，但是方程打破了已知條件的限制，順應同學們的思維發展，更容易理解和應用。因此，較算術方法而言，方程法有一定的優越性。

二、“一元一次方程”的學習內容

在了解了為什么要學習方程后，下面，我們再來看看初中伊始，同學們接觸到的第一類最簡單、基礎的一元一次方程要學習哪些內容：（1）一元一次方程的概念；（2）一元一次方程的解；（3）一元一次方程的解法；（4）用一元一次方程解決問題。知道了要學習哪些內容后，就相當于知道了我們要“到哪里去”。一片片零散的知識碎片如同一顆顆明珠，將它們串聯在一起，便會得到一條完整的知識鏈。

三、“一元一次方程”的學習路徑

整個初中階段，所有與方程相關的探索學習都遵循圖1所示的路徑：

為了將一元一次方程的碎片知識系統化，下面，我們從4個方面來進行整體認知。

1.一元一次方程的概念

例2 ［蘇科版數學教材七（上）96—97頁］（1）籃球聯賽規則規定：勝一場得2分，負一場得1分。某籃球隊賽了12場，共得20分，怎樣描述其中數量之間的相等關系？

（2）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺，繩長、井深各幾何？

（3）我們知道，按圖2的方式搭n條小魚，需要［8+6（n-1）］根火柴棒。

若搭n條“小魚”用了140根火柴棒，怎樣用方程來描述其中數量之間的相等關系？

（4）今年小紅5歲，爸爸32歲。如果x年后小紅的年齡是爸爸年齡的1/4，怎樣用方程來描述其中數量之間的相等關系？

通過以上4個具體實例，我們得到2x+（12-x）=20，1/3x-4=1/4x-1，8+6（n-1）=140，5+x=1/4（32+x）這4個方程，在經歷歸納、抽象、概括、比較后，可以得到一元一次方程的共同特點，歸納得到一元一次方程是“只含有一個未知數（元），并且未知數的次數都是1（次）”的方程。

2.一元一次方程的解

首先，我們要知道什么是方程的解？方程的解是“能使方程等號兩邊的值相等的未知數的值”。那么，一元一次方程的解自然能理解為使一元一次方程兩邊的值相等的未知數的值。在例2的第（4）題中，我們可以得到一元一次方程5+x=1/4（32+x），分別將2、3、4、5代入，哪一個值能使方程兩邊的值相等？當x=4時，方程左邊的值為9，右邊的值也為9，因此x=4是一元一次方程的解。由此可知x=a是方程的解的形式。

3.一元一次方程的解法

對于一個一元一次方程，我們不可能將所有的數都代入試一遍，因此，我們需要找到解方程的通法。其實，解一元一次方程的過程就是利用等式的基本性質進行恒等變形，將一個復雜的方程最終轉化成x=a的形式。

例如，上述方程5+x=1/4（32+x），我們進行去分母，將方程中的分數轉化為整數，得到20+4x=32+x，移項，得3x=12，再化系數為1，得x=4。

4.建立一元一次方程模型，解決實際問題

一元一次方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型之一。方程的出現源于解決實際問題的需要。面對實際問題，我們通過對問題中的數量關系進行分析，建立一元一次方程，從而解決問題。

再探“雞兔同籠”問題。問題中的核心就是兩個相等的數量關系：雞頭+兔頭=35；雞足+兔足=94。我們可以設不同的未知數，從而得到多種解法。除利用上述方法得到方程2x+4（35-x）=94以外，同學們不妨嘗試設兔的數量是x只，或設雞足有x只，或設兔足有x只，便可以得到不一樣的方程。

而對于“2x+4（35-x）=94”這個方程而言，它不僅可以刻畫雞兔同籠問題，還可以被賦予銷售問題、行程問題、面積問題等不同背景，解決不同問題。如：

例3 超市里橘子單價為2元/kg，蘋果單價為4元/kg，小明共買了兩種水果35kg，用去94元，問小明購買的橘子和蘋果數量各有多少？

利用不同的設未知數的方法，可以得到不同的方程，而同一個方程又可以適用于不同的問題背景。最后，希望方程的學習可以給同學們帶來不一樣的精彩。

（作者單位：江蘇省南京市齊武路初級中學）