探究反比例函數圖象與其他圖形的結合

張新

［摘 要］反比例函數與其他圖形的結合是中考數學命題的熱點。文章結合幾則典例，探討反比例函數圖象與一次函數圖象、平行四邊形、相似三角形、圓的結合，旨在提高學生解決問題的綜合能力，培育學生的思維品質。

［關鍵詞］反比例函數；圖象；中考

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0019-03

反比例函數是初中階段學生學習的重點知識。中考數學當中，關于反比例函數的重難點考查，往往將反比例函數圖象與其他圖形結合，如與一次函數圖象、平行四邊形、相似三角形、圓結合，考查反比例函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質、平行四邊形的性質與判定、相似三角形的性質與判定、圓的有關性質，以及數形結思想、方程思想、轉化思想等。如何解決反比例函數與其他圖形的結合問題呢？筆者結合具體實例加以闡釋。

類型一、反比例函數圖象與一次函數圖象結合

反比例函數圖象與一次函數圖象結合，比較常見的題型是已知兩交點的坐標，求兩個函數的表達式；根據兩個函數圖象的位置關系與交點坐標解不等式；連接兩函數圖象交點與原點形成三角形，求三角形的面積。筆者對下面的問題進行了創新設計，構造以反比例函數圖象上一點、一次函數圖象與坐標軸兩交點為頂點的直角三角形，求未知點的坐標。

∴點P的坐標為（1，-6）或（3，-2）。

類型二、反比例函數圖象與平行四邊形結合

反比例函數圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，對稱軸是直線[y=±x]，而平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。過坐標原點任意畫兩條直線與反比例函數圖象有四個交點，這四個交點組成的四邊形是平行四邊形，當這兩條對角線相等時，形成的平行四邊形是矩形。

以下幾個問題：（1）已知點A（3，1），那么點B的坐標是多少？（2）如圖4所示，直線PQ是經過原點的一條直線，與反比例函數的圖象分別交于點P、Q，①四邊形APBQ是什么樣的四邊形？②已知點[A（3，1）]，點[P（1，t）]，則四邊形APBQ的面積是多少？（3）已知m、n分別是點A、P的橫坐標，當四邊形APBQ是正方形時，m、n應滿足什么條件？當四邊形APBQ是矩形時，m、n應滿足什么條件？

[P（1，3）]，由中心對稱的性質，得點Q的坐標為（-1，-3）。如圖5所示，分別過點A、B作y軸的平行線，分別過點P、Q作x軸的平行線，四條直線相交，得四邊形CDEF是矩形，由A、B、P、Q的坐標，得[CP=CA=2]，[DE=6]，[CD=6]，[DB=DP=4]，[BF=EQ=2]，[AF=QF=4]，所以[S四邊形APBQ=S矩形CDEF-S△ACP-S△PDB-S△BEQ-S△AFQ=36-2-8-2-8=16]。

類型三、反比例函數圖象與相似三角形結合

在反比例函數圖象所在的平面直角坐標系內，構造直角三角形、等腰三角形或等邊三角形，可以形成全等三角形或相似三角形。反比例函數的表達式顯示了自變量與因變量的乘積恒為比例系數[k]，而相似三角形的對應邊成比例，也可以轉化為乘積式，所以反比例函數的圖象也可以與相似三角形結合，構造反比例函數的綜合題。

[BC⊥x]軸于點C，與反比例函數交于點[D（m，1）]，連接AD、DE。（1）求k的值與B點坐標；（2）求[S△ADE]；（3）若點P是直線AB上的動點，是否存在點P，使得[△BCP]與[△BDE]相似？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由。

類型四、反比例函數圖象與圓結合

反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，而圓的對稱性也是如此，兼具軸對稱性與中心對稱性兩種特性，在平面直角坐標系內，反比例函數圖象與圓會產生交點，這里的交點既滿足反比例函數表達式，又滿足圓的有關性質，這樣就實現了反比例函數與圓這兩部分知識的綜合考查。

（2）由（1）可知，[A（-8，0）]，如圖10所示，延長線段AM，交y軸于點K，連接OP、PQ，∵[∠QPO=90°]，∴[∠QAO=45°]，∴[△AOK]為等腰直角三角形，∵[A（-8，0）]，∴[K（0，8）]，設直線[AK]的表達式為

（3）如圖11所示，過點P作[PF⊥AB]，交x軸于點E，交⊙P于點F和點H，分別過點F和點H作FH的垂線m、n，則垂線m、n即為⊙P的切線。過點F作[FG⊥OA]，交AB于點G。在Rt[△AOB]中，由勾股定理可得

反比例函數的圖象還可以與二次函數的圖象結合，兩者的結合并不是兩種圖形的簡單疊加，而是兩種圖形性質的綜合應用。學生一方面要牢固掌握這兩種圖形的基本性質，另一方面還要熟悉這兩種圖形結合時，其中的命題模式與解題方法策略。學生只有不斷積累解題經驗，鍛煉思維，才能更好地發展數學學科核心素養。