深化周期理解促進思維生長

■謝曉豐

三角函數的性質是高考的重要考點,周期性作為三角函數的性質之一,有其自身的規律和特點。下面結合不同題型,分析三角函數的周期性問題的求解方法與技巧。

題型1:根據結論求三角函數的周期

題型2:根據周期的定義求三角函數的周期

例2 求下列函數的最小正周期。

點睛:求三角函數的周期常用兩種方法,一是定義法,二是圖像法。

題型3:函數的周期性與其他性質之間的聯系

例3 已知函數f(x)是定義在R 上周期為2 的奇函數,若f(0.5)=1,求f(1),f(3.5)的值。

解:(方法1)由已知可設函數f(x)=sin(πx),所以f(1)=sinπ=0,f(3.5)=

(方法2)因為函數f(x)是定義在R 上周期為2的奇函數,所以f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),即f(1)=0。

因為f(0.5)=1,所以f(3.5)=f(3.5-4)=f(-0.5)=-f(0.5)=-1。

點睛:本題以抽象函數為載體,考查函數的周期性與奇偶性。

題型4:根據函數的周期性求參數的范圍

點睛:利用三角函數的周期性與單調性的關系,結合已知條件和圖像變換規律求出ω的臨界值,從而確定ω的取值范圍。