四法破解一道高考絕對值不等式問題

■杜海洋

下面以一道含絕對值的高考試題為例進行探究,與大家共同學習與交流。

1.考題再現

(2019年高考浙江卷)已知a∈R,函數f(x)=ax3-x。若存在t∈R,使得|f(t+,則實數a的最大值是_____。

2.試題解析

評注:先利用絕對值的性質去掉絕對值符號,再利用非負數的乘積關系求出a的取值范圍。解答本題的關鍵是函數的有界性的應用。

評注:先利用絕對值的性質去掉絕對值符號,再利用函數值域成功進行變量分離,最后結合有界性求得結果。解法2是一種通性通法,即分離變量法的靈活運用。

評注:解法3 是利用不等式成立的條件進行求解的,結果取兩個不等式的并集,原因是題設條件為存在實數t。

評注:解法4與解法1類似,重點突出整體代換法的應用。當代數式不易化簡且又復雜時,利用整體代換法可大大降低思維的難度,提高解題效率。

3.解題感悟

在考題向多樣化發展的趨勢下,同學們在掌握基本知識和本質解法的基礎上還需適當進行總結。題中涉及函數與不等式的關系,其中函數的值域是本題最終的落腳點,去掉絕對值符號是解題的首要突破點,進一步的重心是怎樣解不等式。