例說換元法在解題中的應用

■徐 政

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量,可以把分散的條件聯系起來,把隱含的條件顯露出來,或者把條件與結論聯系起來,變為熟悉的形式,從而使復雜的計算或證明得到簡化。

一、最值問題

例1 (1)實數x、y滿足4x2-5xy+4y2=5,設

(2)求函數f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx,x∈R 的最小值及取得最小值時x的值。

評注:在三角恒等變換中,有時可以把一個代數式整體視為一個“元”來參與計算和推理,這個“元”可以明確地設出來,但要注意新元的取值范圍。

二、參數的值問題

例2 設a≥0,若y=cos2x-asinx+b的最大值為0,最小值為-4,則a+b的值為____。

評注:解含參數的一元二次函數在區間上的最值問題,應按照對稱軸與區間的相對位置進行討論。

三、恒成立問題

例3 已知函數g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1)在區間[2,3]上有最大值4和最小值1,設函數若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立,則實數k的取值范圍為_____。

解:g(x)=a(x-1)2+(1+b-a)。

評注:函數是方程與不等式的“中介”,它們既有區別,又聯系緊密。對于含參數不等式的恒成立問題,可通過分離參數,使問題轉化為函數的最值問題進行求解。

四、探索性問題

例4 已知函數f(x)=loga(3-ax),是否存在這樣的實數a,使得函數f(x)在區間[1,2]上為減函數,且最大值為1? 如果存在,求出a的值;如果不存在,請說明理由。

解:由函數f(x)=loga(3-ax),令t(x)=3-ax。因為a>0,且a≠1,所以函數t(x)為減函數。

因為f(x)在區間[1,2]上為減函數,所以y=logat為增函數,所以a>1。當x∈[1,2]時,t(x)的最小值為3-2a,f(x)的最大值為f(1)=loga(3 -a),所以解得故不存在這樣的實數a,使得函數f(x)在區間[1,2]上為減函數,且最大值為1。

評注:涉及復合函數f[g(x)]問題,常用換元法,可使問題簡化處理,但要注意換元后新元的取值范圍。

五、函數的零點問題

圖1

要使原方程有3 個實根,只需方程t2-(2+3k)t+2k+1=0在(0,1)和[1,+∞)上各有1個根。令φ(t)=t2-(2+3k)t+2k+1,t> 0。 由 題 意 得即解得k>0。

特別地,當φ(1)=0時,k=0,此時方程t2-(2+3k)t+2k+1=0 只 有1 個 根1,不符合題意。

綜上可知,當k>0,即k∈(0,+∞)時,原方程有3個不同的實數解。

評注:方程根的分布問題,可轉化為函數圖像的交點問題。本題重在對問題中變量的動態研究,通過解不等式使得問題圓滿獲解。