多次變形，巧妙放縮
———基本不等式的應用

■尤麗華

含有多元變量的代數式的最值(或取值范圍)問題,是一種常見的題型,也是高考命題的熱點之一。此類問題的形式多樣,變化多端,解法靈活多變,較難把握。

一、兩步基本不等式的放縮

例1 已知a>0,b>0,則的最小值為____。

分析:利用基本不等式分兩步放縮與處理,第一步消去參數a,第二步消去參數b,可得代數式的最值;也可以通過巧妙配湊,利用基本不等式分兩步放縮與處理,可得代數式的最值。

評析:分步消參法中,抓住代數式的基本特征,通過兩步走,合理消參,從而確定最值;分拆放縮法中,抓住代數式的基本特征,巧妙借助基本不等式進行放縮,從而確定最值。從不同的思維視角入手,都可以實現基本不等式的放縮與代數式最值的求解。

分析:對于含有兩個變量的三角函數式,利用基本不等式分兩次進行放縮,達到求解最值的目的。

評析:根據三角函數式的結構特征,先消參處理,再齊次化應用,兩次利用基本不等式進行放縮處理,最后求得最值。

例3 已知a,b,c是正實數,且b+c=6,則的最小值為____。

分析:通過恒等變形與轉化,先利用基本不等式進行合理分拆與消元處理,再結合代數式的配湊與放縮,得到代數式的最值;也可以利用常值代換,結合基本不等式進行放縮,得到代數式的最值。

評析:兩次利用基本不等式進行放縮處理,使得問題圓滿解決。兩種解法,兩種思維,有效地提高了發散思維能力。

二、三步基本不等式的放縮

評析:解題時,要注意放縮過程中,不等式的方向的正確判斷,以及不等式的基本性質的應用。