借助函數(shù)對(duì)稱性，巧解數(shù)學(xué)綜合題

■孫艷艷

函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)基本性質(zhì)中最為特殊的一個(gè)性質(zhì),在歷年高考命題中,函數(shù)的對(duì)稱性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合交匯,成為數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)研究的一大有力工具。

一、函數(shù)對(duì)稱性的一些重要“二級(jí)結(jié)論”

性質(zhì)1:函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱?等式f(a+x)=f(a-x)成立。

性質(zhì)2:函數(shù)y=f(x+a)是奇函數(shù)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱?等式f(a+x)=-f(a-x)成立。

推論1:等式f(x)+f(2a-x)=0成立?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱?函數(shù)y=f(x+a)是奇函數(shù)。

推論2:函數(shù)y=f(x+a)-b是奇函數(shù)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱?等式f(a+x)+f(a-x)=2b成立。

性質(zhì)3:函數(shù)y=f(a+x)與y=f(ax)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)y=f(a+x)與y=-f(a-x)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。

二、函數(shù)對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

1.函數(shù)值的求解

例1 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b。若f(0)+f(3)=3,則的值是( )。

分析:結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性和函數(shù)對(duì)稱性的性質(zhì),構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式,確定函數(shù)的周期,利用賦值求出函數(shù)的解析式,即得函數(shù)的值。

解:由f(x+1)為奇函數(shù),結(jié)合性質(zhì)2得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,則f(1)=0,且f(x+1)=-f(-x+1)。 ①

由f(x+2)為偶函數(shù),結(jié)合性質(zhì)1 得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2 對(duì)稱,則f(x+2)=f(-x+2)。 ②

熟練掌握一些函數(shù)對(duì)稱性及其對(duì)應(yīng)的關(guān)系式,可以較快構(gòu)建一些合適的關(guān)系式,為問(wèn)題的有效解決奠定基礎(chǔ)。

2.代數(shù)式的求解

例2 已知函數(shù)f(x)=(2x2-4x+3)·(ex-1-e1-x)-2x+1在區(qū)間[0,2]上的最大值為M,最小值為m,則M+m=。

分析:構(gòu)造函數(shù)g(x),結(jié)合關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,得到g(x)+g(2-x)=0,確定函數(shù)g(x)的中心對(duì)稱,利用對(duì)稱性的基本性質(zhì)即可求值。

由函數(shù)對(duì)稱性的基本性質(zhì),可知M+m=-1×2=-2。

抓住函數(shù)關(guān)系式的變形與應(yīng)用,構(gòu)建不同函數(shù)關(guān)系式之間的聯(lián)系,為進(jìn)一步利用函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)提供條件。

3.不等式的求解

例3 已知f(x-1)是定義在R 上的奇函數(shù),f(1)=0,且f(x)在[-1,0)上單調(diào)遞增,在[0,+ ∞)上單調(diào)遞減,則不等式f(2x-3)<0的解集為( )。

A.(1,2)

B.(-∞,1)

C.(2,+∞)

D.(-∞,1)∪(2,+∞)

分析:利用函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,通過(guò)自變量取值的分類討論,得到不等式的解集。

解:由f(x-1)是定義在R 上的奇函數(shù),結(jié)合性質(zhì)2得f(x-1)=-f(-x-1),即函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱。

當(dāng)x=-2 時(shí),代入上式得f(-3)=-f(1)=0,當(dāng)x=0時(shí),代入上式得f(-1)=-f(-1),即f(-1)=0。由f(x)在[-1,0)上單調(diào)遞增,在[0,+∞)上單調(diào)遞減,利用奇函數(shù)f(x)關(guān)于(-1,0)對(duì)稱知f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

對(duì)于不等式f(2x-3)<0,當(dāng)2x-3<-2時(shí),2x-3>-3,解得x<0;當(dāng)-2≤2x-3≤0時(shí),2x-3<-1,解得0≤x<1;當(dāng)2x-3>0時(shí),2x-3>1,解得x>2。

綜上可得,不等式f(2x-3)<0 的解集為(-∞,1)∪(2,+∞)。應(yīng)選D。

解題時(shí),注意分類討論的巧妙應(yīng)用,以及函數(shù)單調(diào)性的逆向應(yīng)用。

4.綜合應(yīng)用問(wèn)題

例4 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+2)為偶函數(shù),f(2x+1)為奇函數(shù),則下列選項(xiàng)中的值一定為0的是( )。

C.f(2) D.f(4)

分析:結(jié)合題設(shè)條件,確定函數(shù)的周期性,利用奇函數(shù)的性質(zhì)確定對(duì)應(yīng)的特殊值,為問(wèn)題的判斷提供有力根據(jù)。

解:由函數(shù)f(x+2)為偶函數(shù),結(jié)合性質(zhì)1得f(2+x)=f(2-x),則f(x+3)=f(1-x)。由函數(shù)f(2x+1)為奇函數(shù),結(jié)合性質(zhì)2 得f(1-2x)=-f(2x+1),所 以f(1-x)=-f(x+1),所以f(x+3)=-f(x+1),則f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+3)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)。因?yàn)閒(2x+1)為奇函數(shù),所以f(1)=0,所以f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(2+1)=-f(1)=0,B 正確。由f(2+x)=f(2-x),令x=2,可得f(4)=f(0),f(0)的值無(wú)法確定,D 錯(cuò)誤。由f(x+2)=-f(x),f(0)的值無(wú)法確定,可知f(2)的值無(wú)法確定,C錯(cuò)誤。同理,的值也無(wú)法確定,A 錯(cuò)誤。應(yīng)選B。

這里綜合函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性,結(jié)合幾個(gè)不同函數(shù)值的設(shè)置,巧妙得到函數(shù)值為0 的一個(gè)選項(xiàng)。