基于罰函數(shù)算法的感應(yīng)式磁力儀優(yōu)化設(shè)計?

時洪宇

(1.中煤科工開采研究院有限公司，北京 100013；2.煤炭科學(xué)研究總院 開采研究分院，北京 100013)

感應(yīng)式磁力儀基于法拉第電磁感應(yīng)定律，是應(yīng)用最普遍的磁場測量傳感器之一，廣泛應(yīng)用于礦產(chǎn)資源勘探、物理研究等領(lǐng)域[1－7]。等效磁場噪聲和輕小化是感應(yīng)式磁力儀的核心指標(biāo)，前者決定了磁場強(qiáng)度的探測下限，而后者對于傳感器的實用性具有重要價值。因此，根據(jù)等效磁場噪聲和輕小化要求對感應(yīng)式磁力儀進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計具有重要意義。

為降低感應(yīng)式磁力儀噪聲及重量，國內(nèi)外研究主要從以下兩個方面進(jìn)行:一是感應(yīng)式磁力儀部件的優(yōu)化，比如高導(dǎo)磁率磁芯規(guī)格研究[8－11]以及低噪聲前置放大電路設(shè)計[12－14]；二是感應(yīng)式磁力儀參數(shù)的優(yōu)化配置。前者通過優(yōu)化設(shè)計磁芯、前置電路，進(jìn)而提升感應(yīng)式磁力儀的性能水平。但感應(yīng)式磁力儀包含多個參數(shù)且參數(shù)之間相互制約，單一最優(yōu)參數(shù)設(shè)計可能會降低其他參數(shù)性能。因此在設(shè)計中必須根據(jù)實際應(yīng)用需求，綜合考慮并優(yōu)化所有參數(shù)。感應(yīng)式磁力儀參數(shù)優(yōu)化配置的核心在于求解磁力儀參數(shù)數(shù)學(xué)模型[7，15－18]。Grosz 等[16]建立了低頻感應(yīng)式磁力儀數(shù)學(xué)模型。Coillot 等[17]使用牛頓算法求解磁力儀參數(shù)配置，但模型中并沒有考慮電流噪聲的貢獻(xiàn)。Duan 等[7]提出使用回溯搜索算法優(yōu)化感應(yīng)式磁力儀重量和體積。閆彬等[18]提出利用等高線圖求解最佳參數(shù)配置。

在給定感應(yīng)式磁力儀參數(shù)及等效磁場噪聲、輕小化約束下，本文提出使用罰函數(shù)算法求解感應(yīng)線圈匝數(shù)、線徑最優(yōu)配置。文中首先給出了磁力儀基本參數(shù)計算公式，進(jìn)而建立了等效磁場噪聲、重量的數(shù)學(xué)模型。針對無法直接求解感應(yīng)式磁力儀最優(yōu)參數(shù)配置解析解的不足，使用罰函數(shù)算法求解其數(shù)值解，最后進(jìn)行了實際測試與對比分析。

1 感應(yīng)式磁力儀原理

感應(yīng)式磁力儀敏感元件基本結(jié)構(gòu)如圖1 所示，感應(yīng)線圈以分層分段結(jié)構(gòu)繞制在骨架外以降低分布電容，拓寬磁力儀的工作頻帶。高磁導(dǎo)率磁芯安置在骨架中間位置，從而提高感應(yīng)線圈內(nèi)部的磁通密度。

圖1 感應(yīng)式磁力儀敏感元件基本結(jié)構(gòu)

感應(yīng)式磁力儀可等效為圖2 所示電路結(jié)構(gòu)[19－20]。感應(yīng)線圈等效為二階RLC 系統(tǒng)，兩端產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢經(jīng)前置電路放大后輸出；同時感應(yīng)電壓經(jīng)反饋電阻Rf轉(zhuǎn)換為電流后送入反饋線圈，形成一個閉合磁通負(fù)反饋回路，不僅能夠抑制輸出感應(yīng)電動勢的動態(tài)范圍，同時增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖2 感應(yīng)式磁力儀等效電路

感應(yīng)式磁力儀靈敏度如式(1)所示。

式中:ω為角頻率且ω＝2πf，Rs、Lp、C為感應(yīng)線圈直流電阻、電感和分布電容，Ls為反饋線圈電感，M為感應(yīng)線圈與反饋線圈之間互感值，Rf為反饋電阻，N為感應(yīng)線圈匝數(shù)，S為磁芯橫截面積，G為前置電路增益，μapp為磁芯相對磁導(dǎo)率，B為磁通密度。

2 感應(yīng)式磁力儀噪聲、重量數(shù)學(xué)模型

為了整體優(yōu)化感應(yīng)式磁力儀參數(shù)配置，必須首先建立其基本參數(shù)數(shù)學(xué)公式，磁芯相對磁導(dǎo)率μapp、感應(yīng)線圈直流電阻Rs、電感Lp分別計算如下。

為避免趨膚效應(yīng)對于磁芯高頻相對磁導(dǎo)率的影響，本文中采用的磁芯由高磁導(dǎo)率坡莫合金絲(1J85)緊扎粘結(jié)制成。磁芯的磁導(dǎo)率計算如式(2)所示[2]:

式中:μr為1J85 坡莫合金的初始磁導(dǎo)率，Nd為磁芯退磁因子，由式(3)計算:

式中:dc，lc分別為磁芯的直徑和長度。

感應(yīng)線圈采用銅質(zhì)漆包線繞制，假設(shè)繞線均勻緊湊，則其直流電阻值Rs可由式(4)計算[21]:

式中:ρ是銅的電阻率，大小1.75×10－8Ω?m2/m，dw為漆包線線徑(不包括絕緣層)，ti為絕緣層厚度，tb為繞線骨架厚度，κ為線圈與磁芯的寬度比。

感應(yīng)線圈電感由磁芯規(guī)格及線圈參數(shù)決定，電感值計算如式(5)所示[2]:

式中:μ0是真空磁導(dǎo)率，其值為4π×10－7H/m。

感應(yīng)式磁力儀等效磁場噪聲模型為一個閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)，如圖3 所示。噪聲源主要包括源阻抗熱噪聲vRs、前置放大電路電壓噪聲venp和電流噪聲流經(jīng)源阻抗產(chǎn)生的噪聲vinp，其在感應(yīng)式磁力儀輸出端產(chǎn)生的噪聲分別表示為voRs，voinp和voenp[3]。

圖3 感應(yīng)式磁力儀噪聲源模型

感應(yīng)式磁力儀等效磁場噪聲表示為輸出端總輸出電壓噪聲除以靈敏度，推導(dǎo)簡化后如式(6)所示:

式中:K是波爾茲曼常量，K＝1.38×10－23J/K，T是室溫(25 ℃)的絕對溫度表示，T＝298 K，inp為前置電路等效輸入電流噪聲，enp為前置放大電路等效輸入電壓噪聲。

感應(yīng)式磁力儀等效磁場噪聲本底可由式(7)表示[14]。可以發(fā)現(xiàn)，本底噪聲水平由前置放大電路等效輸入電流噪聲、感應(yīng)線圈匝數(shù)、線寬比及磁芯長度決定。

感應(yīng)式磁力儀重量包括敏感元件以及外殼的重量，其中敏感元件包括磁芯、骨架、線圈。本文中感應(yīng)式磁力儀的外殼、磁芯和骨架已經(jīng)給定，反饋線圈匝數(shù)較少(20 匝)，重量可以忽略，因此主要研究感應(yīng)線圈重量的最小優(yōu)化，線圈重量由式(8)計算，其中ρw為銅線密度。

3 感應(yīng)式磁力儀參數(shù)配置優(yōu)化

設(shè)計感應(yīng)式磁力儀等效磁場噪聲約束如下:本底噪聲NEMIFL≤15 fT/√Hz，NEMI100Hz＝0.1 pT/√Hz。在給定感應(yīng)式磁力儀等效磁場噪聲要求下，優(yōu)化感應(yīng)線圈繞線線徑以及匝數(shù)，使之能夠達(dá)到設(shè)計等效磁場噪聲的同時具有最小的重量，已知參數(shù)由表1 給出。

表1 感應(yīng)式磁力儀部分給定參數(shù)

由于預(yù)設(shè)的等效磁場噪聲優(yōu)化頻率較低(100 Hz)，可近似(1－ω2LpC)2＋(ωRsC)2≈1，因此表達(dá)式(6)可進(jìn)一步簡化為式(9):

因此，感應(yīng)式磁力儀等效磁場噪聲、重量約束下感應(yīng)線圈繞線匝數(shù)、線徑優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可表示為方程組(10):

式中:Wc(N，dw) 為需要優(yōu)化求解的目標(biāo)函數(shù)，NEMI100Hz(N，dw)＝為等式條件約束，NEMIFL(N，dw)≤15 fT/Hz 為不等式條件約束。

由于優(yōu)化方程組(10)是一個含有等式、不等式條件約束的極值求解問題，而且將式(4)、式(5)、式(7)、式(9)代入展開后方程組十分復(fù)雜，導(dǎo)致無法直接求解得到參數(shù)N，dw的解析解表達(dá)式。

針對無法直接推導(dǎo)解析解的難題，本文使用罰函數(shù)方法求解數(shù)學(xué)模型(10)的數(shù)值解。罰函數(shù)求解方法的基本原理是利用求解問題的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)構(gòu)造出帶參數(shù)的增廣目標(biāo)函數(shù)，把約束非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為無約束非線性規(guī)劃問題，進(jìn)而采用無約束優(yōu)化求解方法進(jìn)行求解。

本文基于罰函數(shù)方法將有條件約束優(yōu)化數(shù)學(xué)模型(10)轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化數(shù)學(xué)模型(11)，構(gòu)造罰函數(shù)P(g，r(k))并去逐漸逼近原目標(biāo)函數(shù)Wc。其中g(shù)＝(N，dw)，r是懲罰因子，C為懲罰因子降低系數(shù)。

利用MATLAB 軟件基于罰函數(shù)優(yōu)化算法編程求解N，dw，得到優(yōu)化數(shù)值解N＝20 216，dw＝0.1 mm。

4 感應(yīng)式磁力儀性能測試及分析

感應(yīng)式磁力儀前置放大電路如圖4 所示，考慮磁力儀探頭感應(yīng)線圈的高輸入阻抗特性，基于低噪聲、高輸入阻抗結(jié)型場效應(yīng)管(Junction Field Effect Transistor，JFET)和集成運算放大器搭建第一級差分放大。R4與C2、R7與C4組成二階低通濾波器，Rf為感應(yīng)式磁力儀磁通負(fù)反饋電阻。

圖4 感應(yīng)式磁力儀前置放大電路

感應(yīng)式磁力儀前置放大電路傳遞函數(shù)可由式(12)計算，約為760 倍(100 Hz)。

將前置放大電路輸入端IN 與地端GND 短接，同時采用動態(tài)信號分析儀35670A 測量前置放大電路輸出端OUT 的電壓噪聲譜密度，并進(jìn)一步除以傳遞函數(shù)(12)，得到前置放大電路等效輸入電壓噪聲，如圖5 所示，約為＠10 Hz，＠100 Hz，1/f轉(zhuǎn)折頻率約為50 Hz。

圖5 前置放大電路等效輸入電壓噪聲

為了驗證理論分析結(jié)果，根據(jù)優(yōu)化前給定參數(shù)(表1)及基于罰函數(shù)方法求解得到的參數(shù)值(N＝20 216，dw＝0.1 mm)制作感應(yīng)式磁力儀樣機(jī)，如圖6所示。磁力儀外殼及骨架采用聚酰亞胺材料加工，具有耐高低溫(－200 ℃～300 ℃)、機(jī)械強(qiáng)度高等優(yōu)點。在電磁屏蔽室磁屏蔽筒內(nèi)測試感應(yīng)式磁力儀靈敏度、等效磁場噪聲指標(biāo)，并對結(jié)果進(jìn)行分析。

圖6 實際制作感應(yīng)式磁力儀

首先使用螺線管磁場發(fā)生裝置產(chǎn)生1 nT 標(biāo)定磁場，使用動態(tài)信號分析儀35670A 采集不同標(biāo)定頻率下的輸出電壓幅度，測得感應(yīng)式磁力儀靈敏度，如圖7 所示。

圖7 感應(yīng)式磁力儀靈敏度

撤去標(biāo)定磁場，感應(yīng)式磁力儀在屏蔽筒內(nèi)近零磁場環(huán)境下工作，測量磁力儀輸出電壓噪聲，并除以磁力儀靈敏度得到等效磁場噪聲，如圖8 所示。

圖8 感應(yīng)式磁力儀等效磁場噪聲

由圖7、圖8 看出，感應(yīng)式磁力儀靈敏度為100 mV/nT(平坦區(qū))，等效磁場噪聲水平約為NEMI100Hz＝0.11，NEMIFL＝20，與設(shè)計等效噪聲參數(shù)基本一致。由于在諧振頻率后感應(yīng)線圈呈容性，因此實測與理論噪聲曲線存在偏差。感應(yīng)式磁力儀理論與實測性能指標(biāo)對比由表2 給出，感應(yīng)線圈實重(31 g)略大于理論結(jié)果(26.8 g)，這是由于實際中無法實現(xiàn)緊密均勻繞線所致。

表2 感應(yīng)式磁力儀性能參數(shù)

5 結(jié)論

感應(yīng)式磁力儀是磁場監(jiān)測及研究的重要儀器，等效磁場噪聲及輕小化是制約其磁場探測水平及實用性的核心指標(biāo)。為得到最佳的感應(yīng)式磁力儀，實際設(shè)計過程中必須對其參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化配置。本文根據(jù)感應(yīng)式磁力儀指標(biāo)要求，建立了感應(yīng)式磁力儀參數(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并針對無法得到優(yōu)化參數(shù)解析解的不足，提出使用罰函數(shù)算法求解其數(shù)值解。實測結(jié)果與理論分析基本一致，驗證了所提出求解算法的準(zhǔn)確性。