七巧板在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的應(yīng)用

劉伯蕤　秦屹

初中數(shù)學(xué)課程旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這種素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能，它反映了數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性。結(jié)合目前課程改革聚焦培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)展核心素養(yǎng)，筆者把“開展深度數(shù)學(xué)活動(dòng)”作為培養(yǎng)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要途徑。設(shè)計(jì)深度數(shù)學(xué)活動(dòng)，首先要基于課標(biāo)，立足于教材，關(guān)注單元和單課之間的聯(lián)系，并最終指向?qū)W生，為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)保駕護(hù)航。進(jìn)行教學(xué)反思后，我選擇了“七巧板”作為教具開展持續(xù)性且有深度的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

七巧板由宋代的燕幾圖演變而來，國外稱之為唐圖（Tangram）。明、清兩代都有關(guān)于七巧板的著作，并且廣泛流傳。一千多年以來，海內(nèi)外人士都把玩七巧板作為鍛煉發(fā)散思維的游戲。它是我們祖先留下的一件數(shù)學(xué)瑰寶。如何讓它在新課標(biāo)的指導(dǎo)下走入現(xiàn)代課堂，發(fā)揮它的作用，是我們教師的責(zé)任。筆者以人教版數(shù)學(xué)為例，展示兩個(gè)教學(xué)案例。

一、教學(xué)案例1

（一）教材分析

筆者以七年級(jí)上冊(cè)第四章“幾何初步”為例。這一章以圖形研究為主，基礎(chǔ)知識(shí)多，概念多而且抽象。學(xué)生理解起來會(huì)有一定的難度。因此設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生完成：動(dòng)手實(shí)踐—整理數(shù)據(jù)—比較分析—總結(jié)規(guī)律—實(shí)踐創(chuàng)造。完成數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，多維度研究七巧板，從而達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。

（二）教學(xué)過程

【問題1】教師繪制出如圖1的七巧板平面圖，且中間的小正方形邊長為1厘米。學(xué)生動(dòng)手測量七個(gè)組片的邊長（精確到0.1）、角度，并計(jì)算面積。完成實(shí)驗(yàn)表格1，并根據(jù)提示填空。

【問題2】邊長：我們發(fā)現(xiàn)組塊的邊長只有1、1.4、2、2.8，這四個(gè)長度差近似形成了0.4、0.6、0.8三個(gè)均勻遞增的臺(tái)階。這樣構(gòu)成了七巧板奧秘的第一個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

角：組塊的內(nèi)角都是45°的整數(shù)倍，所有的內(nèi)角形成了1∶2∶3的關(guān)系。為拼出豐富多彩的圖形奠定了第二個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

面積：七個(gè)組塊的面積之間存在著1∶2∶4的關(guān)系。可以折為16塊面積相等的小三角形，為互相替代、組合創(chuàng)造了第三個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

【問題3】學(xué)生按照示意圖（圖2）自制七巧板，跟隨教師拼出七巧板經(jīng)典圖形《小婦人》（圖3），并觀察兩圖。

師：圖3中的兩幅圖都是由幾個(gè)組塊拼出？圖形有什么不同？其中蘊(yùn)含了什么樣的數(shù)學(xué)原理？

生：都是7塊拼成，兩幅圖形一樣，但是第一幅圖比第二幅圖多了腳。是等積變形的數(shù)學(xué)原理。

【問題4】趁著同學(xué)們學(xué)習(xí)興趣高漲的時(shí)候，推出第二個(gè)實(shí)驗(yàn)。在了解各邊、各角的數(shù)量關(guān)系后，選用七巧板的1塊至7塊，按要求拼出下列圖形，把它們畫在表格中。

同學(xué)們經(jīng)過努力，拼出了四級(jí)大小不同的三角形、正方形和平行四邊形。

【問題5】分小組討論，試著用七巧板拼出凸多邊形，把圖形畫在表格中。

（三）情況說明

以逐層遞進(jìn)的問題串方式，引導(dǎo)學(xué)生揭示了七巧板可以拼圖的數(shù)學(xué)奧秘，再親自制作七巧板拼出了奇妙的小婦人圖形，增加了學(xué)習(xí)的興趣。再引導(dǎo)學(xué)生從單塊到多塊拼出多邊形。教學(xué)中布置了一些現(xiàn)實(shí)的、有意義、有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生動(dòng)手操作，從對(duì)幾何的初步認(rèn)識(shí)到在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)有很多規(guī)律和奧秘可以探究，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在動(dòng)力，點(diǎn)燃學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的熱情。這五個(gè)問題逐步遞進(jìn)推動(dòng)了有深度的數(shù)學(xué)活動(dòng)，把學(xué)生的思維條理化、簡明化、邏輯化、規(guī)律化，向縱深引導(dǎo)，從而培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)案例2

（一）教材分析

八年級(jí)下冊(cè)第十七章“勾股定理”，不僅是平面幾何的重要定理，而且在三角學(xué)、解析幾何學(xué)、微積分學(xué)中都是理論基礎(chǔ)，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響，沒有勾股定理，就難以建立整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。勾股定理的教學(xué)，要重視學(xué)生觀察、猜想能力的培養(yǎng)，也要重視從特殊到一般理論的嚴(yán)密邏輯思維能力的培養(yǎng)。為此，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)逐層遞進(jìn)的問題串。

【問題1】師：先設(shè)定中間的小正方形的邊長為1，大家利用勾股定理求出其他直角三角形的邊長。

師：如何把題設(shè)改為七巧板組合成的大正方形邊長為1，再求其他直角三角形的邊長？

趁著學(xué)習(xí)熱情空前高漲的時(shí)機(jī)，我又提出問題：若設(shè)大正方形的邊長為2、3……有沒有一種方法能簡化運(yùn)算？

生：可以把第一題中的小正方形邊長設(shè)為a，根據(jù)第一題的結(jié)論，那么大正方形的邊長就為2■a，列出方程，求出a的值，再代入代數(shù)式中，就可以解決問題。

【問題2】在學(xué)習(xí)了勾股定理和二次根式的基礎(chǔ)之上，把實(shí)驗(yàn)二、三中的圖形分別算出周長和面積，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算的練習(xí)。

設(shè)小正方形的邊長為1；2；…a，按要求填表4、表5。

【問題3】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，能否以七巧板為數(shù)學(xué)工具進(jìn)行勾股定理的圖形證明。

【問題4】通過對(duì)七巧板與勾股定理相結(jié)合的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以了解到一系列的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)：

大△的勾、股=中△的弦

中△的勾、股=小△的弦

小△的勾、股=正方形的長

中△的勾、股=平行四邊形的長

小△的勾、股=平行四邊形的短邊

小△的弦=平行四邊形的長邊

（二）情況說明

第一個(gè)問題是由鞏固勾股定理基本概念入手，逐步加入二次根式，分母有理化的運(yùn)用，再由特殊到一般的推進(jìn)過程，使學(xué)生在解題的過程中熟練運(yùn)用了數(shù)學(xué)語言，把方程思想、代數(shù)的代入思想、轉(zhuǎn)化思想及劃歸思想，進(jìn)行自然呈現(xiàn)。同時(shí)加深了對(duì)無理數(shù)的感性認(rèn)識(shí)。用七巧板來證明勾股定理，并獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以數(shù)形相互驗(yàn)證，“見數(shù)思形，以形解數(shù)”。案例2中的問題串，可以根據(jù)學(xué)情分開使用，也可以聯(lián)系實(shí)際分層使用。在練習(xí)的時(shí)候注重單元與單課之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)知識(shí)的整體觀與聯(lián)系觀。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中始終關(guān)注學(xué)生認(rèn)識(shí)過程的表達(dá)、梳理和反思，有助于學(xué)生認(rèn)知水平的提升和認(rèn)識(shí)方式的建立，從而推動(dòng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高。

三、課堂反思

（一）教具的選取

在初中學(xué)習(xí)中，選擇七巧板這一中國古老玩具作為教具，進(jìn)行邊、角、面積、周長的計(jì)算，利用圖形的組合進(jìn)行勾股定理的證明。在持續(xù)三年的關(guān)注中，深入地進(jìn)行挖掘，并把它作為數(shù)、形之間聯(lián)系的橋梁，進(jìn)行多維解析。教師在使用的時(shí)候要注重原生態(tài)為題的習(xí)題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高階思維的深度學(xué)習(xí)活動(dòng)，為提高學(xué)生的核心素養(yǎng)提供有效的幫助。

（二）數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)

在以上的教學(xué)實(shí)踐中，教師不斷地鼓勵(lì)學(xué)生，培養(yǎng)他們勤思考、勤動(dòng)手、多交流的習(xí)慣，這是學(xué)習(xí)開始階段的重要一環(huán)。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，不斷地提高“四基”，發(fā)展“四能”，避免了傳統(tǒng)教學(xué)中重理論，輕過程；重知識(shí)，輕智慧；重解析，輕探究的不足。在活動(dòng)中，滲透了數(shù)學(xué)思想，進(jìn)行科學(xué)學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)。這樣學(xué)生具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)，也具備了從數(shù)學(xué)角度看待問題、解決問題、思考問題和用數(shù)學(xué)方法解決問題的能力。

（三）情感態(tài)度的培養(yǎng)

在以上的教學(xué)實(shí)踐中，融合情感、態(tài)度、價(jià)值觀。會(huì)用七巧板豐富健康的課余生活，在學(xué)習(xí)的同時(shí)挖掘數(shù)學(xué)歷史，傳承中華文明并發(fā)揚(yáng)光大，讓學(xué)生熱愛祖國文化，增強(qiáng)民族自豪感、自信心。

編輯：曾彥慧