建模思想在小學數學教學中的應用

單文霞

教師將建模思想應用到小學數學教學中，是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）所提倡的。但是，《新課標》僅提出“發展學生建模能力”“課內數學建模解決問題”等教學要求，并未提供確切的教學思路。此背景下，不少教師空有將建模思想用于小學數學教學中的想法，卻缺乏科學、合理的應用方案，導致建模思想在小學數學教學中的應用效果不如預期。研究建模思想在小學數學教學中的應用策略，可以豐富現有研究成果，同時為一線教師提供更多實踐教學的創新思路。小學數學教師有必要基于建模思想的理論研究內容、實際教學經驗進行相關研究，為教學工作的優化提供理論支持。

建模思想的本質在于通過建構數學模型的方式將實際問題轉化為數學問題，繼而解出答案，建模過程如圖1所示。

建模思想應用教學的關鍵在于處理實際問題與數學問題之間的關系。具體教學中，小學數學教師應當遵循教育規律，按照深入淺出、循序漸進的教學原則開展系列教學活動，引導學生感知、假設、抽象、應用數學模型，逐漸強化學生的模型意識。本文將結合北師大版六年級下冊“圓柱與圓錐”課程教學案例，分析建模思想在小學數學教學中的具體應用策略。

一、通過創設情境引導學生感知模型

由簡單到復雜、由具象到抽象是學生思維發展的基本規律。按照學生的思維發展規律開展教學活動，有利于學生逐級探索數學知識本質，促進其對建模思想的領悟與吸收。教學情境以教學主題為中心，借助音頻、視頻、文字等工具集中顯示生活化場景、游戲化場景，實現對數學教學內容的具象化。教師可以在課上創設教學情境，借助情境引導學生感知現實生活與數學知識的具體關聯，同時指導學生感知情境內容中蘊藏的數學模型，為培養學生的建模思想奠定基礎。比如，在“圓柱與圓錐”一課教學中，教師可以借助生活中常見的物體創設生活情境，在情境中滲透數學模型內容，讓學生經歷應用數學知識描述現實物體的過程，使學生對建構數學模型形成初步認識。

【情境導入】炎炎夏日，吃冰淇淋是最消暑的。你喜歡吃的冰淇淋是什么口味的？它的形狀是怎樣的？你能描述一下嗎？

【情境呈現】利用多媒體課件出示不同形狀的冰淇淋圖片（見圖2）。

【情境延伸】左邊的冰淇淋是什么形狀的，有什么特點？右邊的冰淇淋是什么形狀的，有什么特點？這些冰淇淋的形狀可以用平面圖形表示，還是用立體圖形表示？什么樣的立體圖形可以表示這些冰淇淋的形狀？

這樣，通過口頭描述、圖片展示的方式為學生創設生動的生活化教學情境，并為學生展現利用數學幾何知識抽象現實事物特征的過程，讓學生在情境中學會從數學的角度抽象出現實事物的數學特征，從而激發學生的建構模型意識。

二、通過提出問題驅動學生架設模型

數學模型的建構過程并不簡單，需要學生先分析數學問題的基本特征，只有應用數學知識將現實問題轉化為數學問題，才能建構數學模型、求解數學模型。由此可以推斷，數學建模思維的發展具有遞進性。教師把握學生思維發展特征，按照具體順序提出啟發性教學問題，可以逐步指導學生轉化問題、建構模型、解決模型，促進學生對建模思想本質的體會與理解。以“圓柱與圓錐”一課教學為例，為使學生在課程學習過程中學會架設數學模型的方式方法，教師可以依次提出以下問題，驅動學生架設模型。

問題1：有一圓柱體瓷質茶葉罐，高為30厘米，底面直徑為10厘米。張媽媽準備用毛線為茶葉罐編織一個毛線套，以免茶葉罐被磕碰。你能為張媽媽提供怎樣的編制方案？

問題2：張媽媽至少要準備多少毛線？

問題3：你有怎樣的計算方案？如何用數學語言表示？

以上三個問題的難度逐級遞增，且抽象程度也在逐漸升高。基于上述問題鏈，教師可以組織學生討論，并引導學生在討論過程中架設數學模型，解答實際問題。比如，教師可按照以下師生對話案例指導學生架設數學模型。

【師生對話案例】

師：張媽媽至少要準備多少毛線的問題可以轉化為什么問題？

生1：可以轉化為求茶葉罐表面積的問題。

師：那么如何求茶葉罐的表面積呢？

生2：茶葉罐是一個圓柱體，由兩個底面和一個側面構成，分別求出二者的面積之后求和即可。

生3：題目給出了茶葉罐底面的直徑，利用圓的面積公式S=πr2直接計算出茶葉罐底面積即可。

師：那怎么計算茶葉罐的側面積呢？

生4：將茶葉罐的側面展開，觀察茶葉罐側面的圖形是什么，再利用求面積的公式計算茶葉罐的側面積。

師：但是展開茶葉罐的側面積就意味著破壞了茶葉罐，這與張媽媽的預期不符。

生5：我們可以按照茶葉罐的規格應用紙板制作一個一模一樣的圓柱體，之后展開圓柱體的側面觀察其側面形狀，再利用數學公式計算側面積即可。

在這一案例中，教師以引導的方式不斷提出問題，引導學生將求準備毛線數量的問題轉化為求茶葉罐表面積的問題，將求茶葉罐表面積的問題轉化為求高為30厘米、底面直徑為10厘米的圓柱體表面積的問題，讓學生在發現問題、分析問題，嘗試用數學方法解答問題的過程中完成對數學模型的架設，在潛移默化的過程中實現對學生建模思想的有效培養。

三、通過合作歸納組織學生抽象模型

建構數學模型的關鍵在于明確問題的主要特征。在小學數學教學階段，部分事物的數學特征較為明顯，可直接通過肉眼觀察發現，另外一部分事物的數學特征則較為隱蔽，需要應用推理、抽象的方式分析數學特征。為了讓學生基于事物的主要特征建構數學模型，教師有必要在課上組織教學活動，通過指導學生合作討論、交流抽象出事物的本質特征，為學生建構數學模型提供相應參考。比如，在“圓柱與圓錐”一課教學中，為使學生在課上自主抽象圓柱體表面積、圓柱體積、圓錐體積數學模型，教師可以在課上組織合作討論活動，指導學生抽象出數學模型。

1.抽象圓柱體表面積數學模型。在此活動中，教師為學生提供圓柱體模型，讓學生聯想計算圓柱體表面積的過程，形成基本的計算思路，即：先計算出圓柱體兩個底的底面積，之后計算出圓柱體的側面積，將底面積與側面積相加得到圓柱體的表面積。之后，教師可為圓柱體模型的關鍵數據賦值，并指導學生討論，如：假設這一圓柱體的高為h，底面半徑為r，那么這個圓柱體的表面積可表示為什么？假設這一圓柱體的高為h，底面直徑為d，那么這個圓柱體的表面積可表示為什么？在提出不同假設的過程中引導學生用數學符號表示圓柱體表面積公式，如S圓柱體=2πr2+2πrh，S圓柱體=１/2πd2+πdh等，使學生在分析、計算、表達的過程中完成圓柱體表面積公式的模型建構任務。

2.抽象圓柱體體積數學模型。在此活動中，教師可以先指導學生回顧圓錐體體積探究過程，并抽象出圓柱體體積的求解過程。在此過程中，教師可復制圓柱體的關鍵數據，如：假設一圓柱體高為h，底面半徑為r，那么它的體積可表示為什么？假設以圓柱體高為h，底面積為S，那么它的體積可表示為什么？在討論活動中指導學生用字母表示數抽象圓柱體體積的計算公式，由此歸納出V圓柱=πr2×h、V圓柱=Sh等圓柱體體積計算公式。

3.抽象圓錐體體積數學模型。在此活動中，教師可以為學生提供圓錐體模型、量筒、圓柱體模型、自來水等實驗工具，讓學生根據相應工具討論圓錐體體積探索過程。之后，教師再用字母表示數提出具體問題，引導學生在討論過程中抽象出圓錐體體積計算模型：假設圓錐體的高為h，底面半徑為r，那么它的體積該如何表示？提出問題引導學生從數學抽象的角度出發計算圓錐體的體積，從而完成對圓錐體體積計算模型的抽象：圓錐體體積計算模型為V圓錐體=1/2πr2h。

這樣，在組織學生合作回顧課程探究內容、總結數學計算規律、用字母代替數表示問題結果的過程中引領學生說出圓柱體的表面積、體積計算模型以及圓錐體的體積計算模型，進一步鍛煉學生的抽象建模能力。

四、通過評價反饋增強學生的模型意識

教師應用系統、客觀的評價體系為學生的學習情況做出評價，診斷出學生的學習問題，并為學生的未來學習與發展做出指導。在進行建模思想的應用教學后，教師應當根據建模思想的應用教學要求設計與之配套的教學評價體系，確保教學評價內容貼合學生建模思想發展情況，確保學生能夠在接受評價的過程中感悟自身學習發展方面的不足，從而調整自身的學習行為。為此，教師可以分析建模思想應用的構成要素，并針對不同能力設計評價行為指標，為建模思想應用教學的評價工作提供參考（見表1）。

以行為指標表作為評價參考，確保教學評價內容能夠契合學生建模思想生成、發展的學習需求。以北師大版六年級下冊“圓柱與圓錐”一課的建模思想應用教學為例，教師可著眼于數學建模思想應用子能力完善教學評價標準，為學生的模型建構行為、模型建構結果做出評價。

教師可著眼于學生建立現實模型的能力設計三級評價標準：①不能基于現實問題提出建模猜想或提出了錯誤的建模猜想；②可以基于現實問題提出建模猜想，但猜想不符合實際情況，或不可用于構建數學模型；③可以基于現實問題提出建模猜想，并且提出的猜想可被用于建構數學模型。其中，一級評價標準為“不合格”，二級評價標準為“合格”，三級評價標準為“優秀”。通過指出學生在建構現實模型表現的優劣情況，使學生能夠對照相應的評價標準反思自身的模型建構行為，指導學生根據具體評價有意識地調整自身的模型建構行為，不斷優化學生的建構能力。

五、結語

教學實踐表明，將建模思想應用到小學數學課程教學，對于激發學生的抽象意識，培養學生的模型觀念，提高學生的應用能力均有促進作用。建模思想的滲透應用應當遵循基本的教學規律。為此，教師有必要做好建模思想應用教學的目標設計、內容組織工作，靈活選用恰當的教學方法滲透建模思想，并落實配套評價，筑牢學生的建模思想。

編輯：陳鮮艷