數學眼光，因對比而深刻

饒熾奎

一、研究背景

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。在提倡學生核心素養的當下，如何讓“找次品”這類“難課”簡單教，讓學生在收獲知識技能的同時感悟數學思想，發現現象背后的數學道理，就成了我想解決的問題。

二、課前思考

（一）教材分析

“找次品”是人教版小學數學五年級下冊數學廣角中的內容，包含兩個例題。例1是從“3個里面找一個次品”，初步感悟用天平找次品的推理過程。要求學生能說、會記，為例2研究“從8個中找一個次品”做鋪墊。根據教材的編排，教學例2時，教師要大膽放手，讓學生充分發散思維去找次品，再通過列表統計學生找次品的方法，觀察發現“一分為三”是最優的策略，最后從“10個、11個中找一個次品”驗證自己的發現是否合理。教材蘊含的數學思想非常豐富，有優化思想、演繹推理思想、幾何直觀、模型思想等。

（二）學情分析

通過研磨發現：一是學生容易想到用天平去找次品，二是在分物品時，學生基本上會把8個分成（4，4）來稱，9個分成（3，3，3）來稱，少部分學生會分成（4，4，1）來稱。

（三）設計理念

本課以培養學生“數學眼光”為目標，順應學生的經驗與思考，巧妙利用“對比—質疑”手段，喚醒學生思維，發現數學現象背后的道理。

三、教學設計

（一）教學目標

1.在不斷嘗試、對比、質疑中理解“一分為三”策略更優的道理，能解決簡單的“找次品”問題。

2.借助天平，會用“如果……那么”“接下來從……中找”的語言表達找次品的過程，發展演繹推理能力，感悟優化思想。

3.發展想象力，積累數學活動經驗，感受數學的魅力。

（二）教學重點

會“一分為三”地解決簡單的“找次品”問題。

（三）教學難點

理解“一分為三”是最優策略的道理。

（四）教學準備

希沃互動課件。

四、課堂實錄

（一）課題質疑，導入新課

師：（課件出示：找次品）今天我們學什么？你有什么疑問嗎？

生：什么是次品？怎么找次品？為什么要找次品？

師：（根據學生回答，相機板書課題、問號）

（二）自主探究，感受推理

1.嘗試解決從3個中找一個次品。

師：（課件出示問題：從3個乒乓球中找一個輕的次品）請你默讀，知道了什么？

生：有3個乒乓球，一個輕一些，要把它找出來。

師：那個輕的我們就看作次品。像這樣，不符合標準要求的物品就稱為次品。現在解決第二個問題，怎么找？

生：用手掂量，能確定嗎？

師：還有別的方法嗎？

生：用天平稱。

師：老師這里有一個天平，可是沒有砝碼，怎么稱呢？

學生討論。

2.反饋。

師：（準備好希沃互動課件）誰愿意到前面來稱一稱？邊操作邊說說怎么找，需要幾次。

生：（拖動課件上的乒乓球）天平兩端各放一個，如果平衡，次品就是外面的那一個，如果不平衡，次品就是上升的那一個，一次就能找出來。

師：誰來評一評，他講得怎么樣？好在哪里？

生：說得很清楚。

師：他怎么說的？（出示語言范式：天平兩端各放一個，如果平衡，次品就是天平外面那一個；如果不平衡，那么次品就是上升的那一個。）

師：是呀，用上“如果……那么”，就能把稱的情況講清楚。外面的這一個怎么沒有稱？

生：只要稱兩個，第三個可以想出來。

師：請大家按照這種方式跟你的同桌說一遍怎么稱的，可以邊說邊手勢比劃。

（三）展示交流，暴露思維

1.順應“一分為二”的學情，研究從8個中找一個次品。

師：（課件出示從8個中找一個次品）現在從8個里面找一個次品，你至少需要幾次找出來？

生：（獨立畫圖找一找）

師：邊稱邊講解，其他同學思考，和你的次數一樣嗎？

生：（邊稱邊講）把8分成（4，4），天平兩端各放4個，如果天平不平衡，次品在上升的4個里面，再把4分成（2，2），如果不平衡，說明次品在上升的2個里面。再把2分成（1，1），次品就是上升的那一個，需要3次找出來。

師：（幫學生把分法記錄在副板上）可以簡化一下語言，這樣說：如果……那么……，接下來從……中找。3次確定嗎？大家同意嗎？

生：同意。

2.研究從9個中找一個次品，體會從不利的角度去想。

師：從9個里面找一個次品（次品輕一些）你會找嗎？請用畫圖的方法記錄下你找的過程，再跟同桌交流，看誰的次數少。

生自主探究。

師：誰的次數最少？請到前面講解。

生：將9分成（4，4，1），如果平衡，那么次品就是天平外面那一個；如果不平衡，次品就在上升的4個里面。接下來從4個里面找，如果不平衡次品就在上升的兩個里面，接下來從2個里面找，次品就在上升的那個盤子里，需要3次找出來。

師：當4和4稱的時候，一次就找出來了嘛，為什么還要稱呢？

生：因為不確定。

師：也就是說不僅要次數少，還要保證找出來，要從剩下的那個大數里面去找。從最不利的情況去思考，會讓方法更穩妥。（板書：從大數中找）

師：還有別的方法嗎？

生：（邊演示邊講解，其他學生發自內心地鼓掌。）

（四）對比質疑，發展眼光

1.對比把9分成（4，4，1）和（3，3，3）的稱法，有什么不一樣呢？

生：一個平均分了，一個沒有平均分。

2.對比把8分成（4，4）和9分成（3，3，3）的分法，為優化“一分為三”做鋪墊。

師：（課件出示圖1）你有什么疑問呢？

生：為什么總數多找次品的次數反而少呢？

師：你真善于思考。是呀，這是為什么呢？

生1：兩端的個數不一樣。要放3個。

師：這里的個數是怎么來的呢？它們的分法一樣嗎？8個能不能也2次找出來呢？趕緊再試試。

生：（興奮地）我找到了。（畫圖講解）

（五）數形結合，解釋道理

1.“一分為二”與“一分為三”進行對比。

師：（出示“一分為二”與“一分為三”的對比圖，如圖2。）都是從8個乒乓球里面找一個次品，怎么次數不一樣呢？你覺得是什么問題？快跟同桌討論討論。

生：（討論后還是不明白。）

師：（教師啟發）左邊的這種分法可以稱為“一分為二”，次品可能會在哪里？右面這種分法可以稱為“一分為三”，次品可能會在哪里？（相機板書：一分為二、一分為三）

生：左面的稱法次品可能會在天平的左邊、右邊，右邊的稱法次品可能會在天平的左邊、右邊、外面。

師：（邊說邊擦出第三個盤子）這有什么好處呢？

生：……

師：多了一個盤子，就能幫我們多想一種情況。而左邊這種分法其實也有第三個盤子，只不過那里面是0個，是空閑狀態，它想幫忙也幫不上啊！看來，“一分為三”比“一分為二”好。

2.對比“一分為三”的其他分法，歸納“盡量平均分，最多和最少相差1”。

師：這“一分為三”的稱法確實好，充分利用了第3個盤子，縮小了查找的范圍。是不是任意分3份都可以呢？展示（1、1、6）（2、2、4）（4、4、1）

生：發現有的分3份稱的次數并不是最少的。

師：看來這分三份是有講究的，請你們對比觀察，應該怎樣分呢？

生：平均分三份，不能平均分3份的，最多和最少相差1。

3.“一分為三”與“一分為多”進行對比。

師：你還有什么想法？

生1：會不會分4份稱的次數更少呢？

生2：會不會分的份數越多，稱的次數越少呢？

師：你很有問題意識，大家覺得呢？趕緊驗證一下你的想法吧。

生：（驗證發現：稱的次數會大于2次。）

師：（出示條形圖，數形結合，說明道理。）看來，只有“一分為三”才是最優策略。

（六）回顧小結，拓展應用

（出示從80個里面找一個次品）

五、課例反思

（一）合理取舍，抓住問題本質進行簡單而深刻的教學

“怎么分物品”就是找次品的核心問題，“一分為三”就是最優的策略。圍繞重要內容多角度探究，直達問題本源。

（二）選取典型素材，為學生搭建探究支架

抓住最典型的素材展開探究。通過分析，從3個中找必須探究，因為那是學會推理的開始。從8個中找的情況比較復雜，便于各種方法的對比，從9個中找比較容易想到一分為三，引發認知沖突。有了從9個中找的啟發，再回頭研究8個的主動性就更強一些。

（三）善用對比引質疑，發展數學眼光

應用“對比”這一教學策略，引起學生思考。第一次對比：天平外面的為什么不稱？感受推理的重要性。第二次對比：把9分成（4，4，1）和（3，3，3）進行對比稱，感受平均分的重要性。第三次對比：9個只需稱2次就能保證找到次品，8個卻需要3次，這合理嗎？第四次對比：同樣是從8個物品中找一個次品，為什么把8個分成（3，3，2）兩次就可以稱出來，而分成（4，4）卻需要3次？發現分法不同，把目光聚焦到“第3個盤子”上。第五次對比：把8個分成3份稱的不同情況進行對比，發現“使最大數與最小數的差為1”的這種盡量平均分的方法最好。第六次對比：“一分為三”和“一分為多”進行對比，通過數形結合發現，分的份數越多，第二次查找的范圍越大，再次確認“一分為三”就是最好的策略。

編輯：溫雪蓮