由結構力學的平面問題例說最小勢能原理

納新剛

(寧夏大學土木與水利工程學院，銀川 750021)

最小勢能原理作為有限元法的基礎，在彈性力學和結構力學的近似計算中均有重要應用。由于彈性力學的研究對象為一般及復雜形狀的構件、實體結構、板、殼等，因此能量法和有限元法是求解彈性力學問題的常用方法。相比之下，由于結構力學只研究桿狀結構，并且引用各種近似的計算假設來簡化問題，因此對于一些邊界條件簡單、平衡微分方程能夠積分為有限形式的結構力學問題而言，可直接采用靜力（動力）法進行求解[1]，并不需要借助能量原理作近似求解。正因為最小勢能原理在彈性力學中的地位十分重要，因此有關彈性力學中最小勢能原理的證明過程相當嚴密。相比之下，最小勢能原理在結構力學中的體系并不完整[2]，甚至有的結構力學教材并不介紹最小勢能原理[1,3]?？陀^地講，由于結構力學所涉及的問題具有多樣性，加之最小勢能原理求近似解的簡便性，因此在結構力學中闡述最小勢能原理很有必要。本文在教材[4]以平面問題為例證明勢能原理的基礎上，將研究對象由剛架換為連續梁，補充說明了位移法解的結構對成立最小勢能原理的重要性，以及平衡問題有初應變時的勢能法和位移法之間的對偶關系，有助于認識最小勢能原理在結構力學中蘊含的機理。

1 位移法典型方程的適用條件

1.1 物理方程

在結構力學中，物理方程用于描述材料的應力–應變關系。采用位移法計算時，材料的應力–應變關系必須是線性的，并且結構在卸載時的變形特性與加載時的變形特性相同。

1.2 幾何方程

幾何方程用于描述可能位移和可能應變之間的關系。采用位移法計算時，可能位移與可能應變之間的關系由虛力方程控制。當只考慮結構的彎曲變形時，虛力方程為

1.3 平衡方程

平衡方程用于描述可能外力和可能內力之間的關系。采用位移法計算時，可能外力和可能內力之間的關系由虛位移方程控制。當只考慮結構的彎曲變形時，虛位移方程為

1.4 真實狀態

聯立物理、幾何和平衡方程，就可描述結構的真實狀態。采用位移法計算時，結構的真實內力和位移可利用疊加原理得到。這里需指出，疊加原理只適用于線性彈性結構的小位移平衡問題[5]。下面以圖1 所示的平面問題為例，說明利用疊加原理建立位移法典型方程的過程。已知連續梁的截面抗彎剛度沿跨度不變，而剪切及軸向剛度對變形的影響可以忽略。

圖1 載荷示意圖

基本未知量的選取如下。取節點角位移θB和θC作為基本未知量。雖然支座A和D有角位移，但是為了簡化計算可不將它們選做基本未知量。

基本結構在載荷作用下的計算如圖2 所示。

圖2 載荷在附加約束中產生的約束力

基本結構在溫度變化下的計算如圖3 所示。

圖3 溫度變化在附加約束中產生的約束力

基本結構在單位θB和θC作用下的計算如圖4和圖5 所示。

圖4 單位 θB 在附加約束中產生的約束力

圖5 單位 θC 在附加約束中產生的約束力

基本結構在單位支座移動下的計算如圖6所示。

圖6 單位支座移動在附加約束中產生的約束力

1.5 位移法解的結構

對于等剛度連續梁而言，式（4）中的剛度系數可改寫為

設δ為式（4）中的系數矩陣，再令則δ的各階順序主子式為

式中，?:0 ≤s1≤l;0 ≤s2≤l;...;0 ≤sn≤l。

由于?關于si(i=1,2,...,n)具有輪換對稱性，故對于全排列中的任意一項“κj1,κj2,...,κjn”，都有

又因為“κ1,κ2,...,κn”的全排列共有n! 項，所以

在式（8）中，由于κi(s)(i=1,2,...,n) 是相互獨立的，因此至少存在一點s0，使得式（8）中的被積函數不為零。又因為的線性組合在 [0，l] 上是幾何可能的，因此還存在s0的某一去心鄰域U(s0,δ) ，使得式（8）中的被積函數不為零。又因為式（8）中的被積函數非負，所以

綜上所述，位移法典型方程的系數矩陣正定，且位移法有唯一解。

2 位移法和勢能法的對偶關系

在結構力學中，聯立物理、幾何和平衡方程然后解之的過程也被稱為靜力法，而位移法是靜力法求解某些平衡問題的一個特例。采用位移法計算時，由于結構的可能狀態用虛功方程來概括，因此其上的載荷和支座反力構成平面平衡力系，并且位移是微小的。又因為結構在載荷作用下的內力和位移可利用疊加原理得到，因此其物理方程還必須是線性彈性的。下面通過對勢能泛函的變分分析導出等剛度連續梁只考慮彎曲變形時的位移法典型方程，并證明在所有的幾何可能位移中，真實位移使結構的總勢能取極小值。

2.1 勢能駐值原理

假定物理方程是線性彈性的，并且結構的位移是微小的，那么等剛度連續梁由載荷產生的彎曲應變能表達式為

而外載荷所對應的彈性勢能為

式（19）即為位移法典型方程，但與式（4）有所不同，Ck處的支座反力并不能直接由式（19）得到。

通過以上討論可知：在所有幾何可能位移中，真實位移使結構的總勢能取駐值。

2.2 最小勢能原理

由式（16）可知，勢能泛函在真實位移處的二階變分為

通過以上討論可知：在所有幾何可能位移中，真實位移不僅使總勢能取駐值，而且使總勢能取極小值。此外由式（19）可以看出：雖然結構由于支座移動和溫度變化可能會產生內力，但這種情況下的內力由多余約束引起，因此結構的內力狀態始終由載荷與支座反力決定。綜上所述，等剛度連續梁在平面載荷與支座反力構成的平衡力系作用下，可能的小位移狀態由虛力方程控制，如果真實位移還能利用疊加原理進行求解，那么可能位移狀態下的總勢能在真實位移處取極小值。

3 總結

為便于理解最小勢能原理在結構力學中蘊含的機理，本文以等剛度連續梁為研究對象，在只考慮彎曲變形的情況下，討論了位移法典型方程的適用條件。在此基礎上，分析了勢能法與位移法之間的對偶關系。主要結論如下。

（1）位移法典型方程只適用于線性彈性結構的小位移平衡問題有唯一解的情況，并且要求結構受平面載荷與支座反力構成的平衡力系作用。

（2）等剛度連續梁在平面載荷與支座反力構成的平衡力系作用下，可能的小位移狀態由虛力方程控制，如果真實位移還能利用疊加原理進行求解，那么可能位移狀態下的總勢能在真實位移處取極小值。

（3）通過分析等剛度連續梁的彎曲變形，雖然從局部的視角解釋和驗證了最小勢能原理，但同一般情況下的最小勢能原理具有相同的實質，有助于對最小勢能原理的深刻認識。