多結點力矩分配法精確計算研究

吳 昊

(西南交通大學土木工程學院，成都 610031)

力矩分配法是經典位移法的一種派生方法，由Hardy Cross 于1930 年提出[1]，主要適用于連續梁和無側移超靜定剛架等，計算時采用與位移法相同的基本結構，以桿端彎矩為目標，通過逐次放松約束，逐步逼近精確解，而且由桿端累計分配彎矩能夠方便地估算結點角位移，概念直觀，方法實用，適于手算，目前在中小型結構初步設計、定性分析和電算結果校核等場合仍發揮重要作用。電算技術的快速發展對結構分析方法的精度和效率提出更高要求，研究表明[2]，力矩分配法是增量形式的Jacobi 迭代法在求解位移法線性方程組中的應用，收斂性好，但用于多結點結構時只能得到漸近解，與結構力學的精確解不相符，且計算輪數一般不低于兩輪。

萬度[3]采用修正的轉動剛度和傳遞系數對敞口剛架和連續梁的力矩一次分配法進行了研究，該方法可簡化力矩分配法的計算過程。劉茂燧等[4]以多跨連續梁作為單元，通過推導連續梁桿端轉動剛度和傳遞系數遞推公式，經過一次分配即可得到任意跨連續梁桿端彎矩精確解。Dowell[5]根據桿端分配彎矩和傳遞彎矩的計算特點，基于收斂無窮幾何級數取極限的方法得到了力矩分配法求解一般連續梁和無側移剛架結構的閉合解公式。劉天一等[6]利用等比數列求和的方法，推導了含有3 個剛結點結構桿端彎矩的力矩分配法精確計算公式。朱曉江等[7]提出了力矩分配法的方程解法，將力矩分配法的漸近計算過程轉化為求解以各結點歷次分配力矩代數和為未知量的方程組，從而得到桿端彎矩精確解。以上研究對于完善多結點力矩分配法的應用具有重要意義，但計算過程相對繁瑣，且對于一般多結點結構缺少廣泛適用性。

本文在傳統力矩分配法基礎上提出一種以分配結點為約束對象、分層移除結點約束的計算策略，在不求解聯立方程條件下建立外載荷與桿端彎矩精確解之間的直接聯系，可為進一步考慮受彎桿軸向和剪切變形影響以及開展有側移結構力矩分配法精確解研究等提供參考。

1 基本思路

多結點力矩分配法應用的關鍵在于選取合理的放松策略以及確定相應的力矩分配系數和傳遞系數，為保證結點放松時轉動剛度和傳遞系數已知，傳統力矩分配法要求相鄰結點不同時放松且力矩分配與傳遞完成后將結點在變形后的位置上再次固定，繼續放松相鄰結點時產生的傳遞彎矩會使固定結點再次獲得彎矩增量即新的結點不平衡力矩，相當于每次放松結點只有一個或一組不相鄰剛結點滿足力矩平衡，由此可知，這種輪流放松結點的策略雖然能使結點不平衡力矩不斷減小，但有限次循環內無法將其完全消除。

結點不平衡力矩產生的根本原因在于結點附加約束和結點協調變形，如果采取將附加約束移除的去約束方式，即結點放松后保持放松狀態至計算結束，繼續放松其他結點過程中已放松結點能夠時時處于平衡狀態，傳遞彎矩會使已放松結點產生轉角增量，但不會在其中引起新的不平衡力矩，當放松最后一個或一組結點時，所有結點變形完全恢復至最終平衡位置，基本體系與原結構的差異全部消除。因此，與單結點力矩分配法一樣，所得桿端彎矩為精確解。以下結合圖1(a)所示受一般載荷作用的連續梁進行說明。

圖1 兩結點力矩分配法計算示意

上述計算過程可總結為分配結點不平衡力矩反號后經分配與傳遞使結點連續進入平衡狀態，各桿端通過結點協調變形獲得彎矩增量。放松結點1 時，因遠端結點2 處于放松狀態，桿端轉動剛度和傳遞系數均未知，有必要推導相應的計算公式。

2 轉動剛度和約束剛度、分配系數和傳遞系數

等直桿AB轉動剛度SAB定義為A端發生單位轉角時引起的A端彎矩，其大小與桿件線剛度i=EI/l和遠端支承情況有關，遠端結點固定以及遠端只與基礎相連的無側移桿轉動剛度為常數，當遠端為可動剛結點時，結點受力變形過程中其他匯交桿由于變形協調會產生約束作用，這種彈性約束可采用轉動彈性支座進行等效，彈性支座轉動剛度系數可由同一剛結點其他匯交桿（以下稱結點余桿）轉動剛度進行計算并定義為約束剛度，記作kr，反映結點余桿對桿端轉動的約束作用大小。單剛結點（如連續梁剛結點等）的約束剛度即相應的桿端轉動剛度。

遠端為轉動彈性支座且約束剛度kr的等直桿AB近端A發生單位轉角時的桿端彎矩，即形常數可由位移法或單結點力矩分配法進行計算，如圖2 所示。

表1 等直桿轉動剛度和傳遞系數

圖2 遠端轉動彈性支承等直桿彎矩形常數

3 計算要點

本文所提出的力矩分配精確計算方法采用與傳統力矩分配法相同的桿端內力符號和計算假定，但在基本結構選取、放松約束的方式以及力矩分配系數和傳遞系數確定方面有所不同。

（1）固定結點

附加剛臂將結點臨時固定，施加載荷計算固端彎矩。需要強調的是，不平衡力矩Rip=0 的結點，如相連各桿均無載荷且無集中力偶作用的結點等，無論是否附加約束，基本體系中其轉角位移均為0，因而可不作為分配結點，即選取基本結構時可只對不平衡力矩不為0 的結點附加約束，而不影響計算結果，將原結構等效為遠端固定、轉動彈性、鉸支或滑動等4 類基本桿件的組合。當結構中有懸臂、帶軸向支桿等彎矩靜定桿，或有對稱性可以利用時，先進行必要簡化。

（2）放松結點

為確保結點放松時轉動剛度和傳遞系數已知或可計算，將所有分配結點劃分為若干計算層，其中，遠端只與基礎相連桿件所連分配結點歸為首層，相鄰分配結點歸為新的一層，依次向內分層，每層含1 個或多個分配結點。按照同層相鄰分配結點不同時放松但可間隔放松或依次放松、放松后不重新固定的原則，從首層結點（始結點）開始，由外向內逐層移除結點約束，直到放松末層結點（終結點）。

始結點放松時，相鄰分配結點均處于固定狀態，可能有相鄰結點處于放松狀態；其他層結點放松時，至少有一個遠端結點處于放松狀態；終結點放松時，所有結點全部處于放松狀態。各分配彎矩使相應遠端產生傳遞彎矩和轉角增量，其他匯交桿通過協調變形獲得彎矩增量，計算時將傳遞彎矩反號后按各匯交桿轉動剛度的比例分配，并繼續向同層和下一層相關放松結點傳遞和分配，經過一系列的結點平衡后最終傳向支座。因此，分配彎矩向放松結點的傳遞過程為單向傳遞。

（3）疊加

將各桿端固端彎矩、分配和傳遞彎矩疊加得最終桿端彎矩，進而用疊加法作彎矩圖。

4 算例

例1：用力矩分配法計算圖3 所示三跨連續梁。

解：該結構具有2 個剛結點，采用傳統力矩分配法計算時，所有結點均作為分配結點，基本結構如圖3(b)所示，從C結點開始，通過輪流放松結點進行力矩分配與傳遞，主要過程及結果（計算三輪）列于表2 中，彎矩單位為kN·m。

表2 傳統力矩分配法計算

采用本文方法計算時，由載荷作用特點，可只取C結點作為分配結點，按單結點力矩分配法進行處理，基本結構見圖3（c），而且，因結點B處不平衡力矩為0，無需計算相應的轉動剛度和分配系數。計算C結點處分配系數時，B結點處于放松狀態，由kr=SBA=EI分別代入式（1）和 式（2）可 得SCB=8EI/7 和CCB=0.25 ，SCD為已知，相應的分配系數μ，傳遞系數C，固端彎矩MF，分配與傳遞彎矩等主要結果見表3所示，彎矩單位為kN·m，各桿端最終彎矩均為精確解。

表3 精確力矩分配法計算

對比表2 和表3 可知，傳統力矩分配法盡管分配系數計算簡單、傳遞系數為常數，但過程繁瑣，計算量大，結果近似，而本文方法計算量小，結果精確。

例2：用力矩分配法計算圖4 所示六跨連續梁。

圖4 六跨連續梁結構

解：由載荷作用特點，取全部結點作為分配結點并按順序分層，可選順序包括B→F（5 層）、F→B（5 層）和B→D←F（3 層）等，為減少力矩分配與傳遞次數，選B→D←F順序，即以結點D為中心將分配結點分為3 個計算層，結點B和F為首層，C 和E為第2 層，D為末層，同層分配結點均不相鄰，可同時放松，當放松第2 層及末層結點時，轉動剛度和傳遞系數需計算確定。轉動剛度S，分配系數μ，傳遞系數C，固端彎矩MF，力矩分配和傳遞過程以及位移法結果等如表4 所示，彎矩單位為kN·m。

表4 六跨連續梁精確力矩分配法計算

由表4 可知，各層剛結點下方只有一條平衡線，即最終平衡時只經歷一輪完整力矩分配和傳遞過程，結點約束全部移除，相應的不平衡力矩全部消除，所得結果與位移法完全一致，為精確解。

例3：已知各桿EI為常數，用力矩分配法計算圖5 所示剛架，并作彎矩圖。

圖5 無側移超靜定剛架

解：由載荷作用特點，取所有剛結點作為分配結點并分為2 個計算層，結點A，C和E為首層，D為末層，其中，首層各結點均不相鄰可同時放松。由于E結點為復剛結點，D結點放松時的傳遞彎矩反號后按EF桿，EI桿的轉動剛度比例分配并向支座傳遞。具體計算過程和最終彎矩圖分別如圖6 和圖7 所示。

圖6 力矩分配與傳遞計算過程

圖7 彎矩圖（單位：kN·m）

5 結論

（1）將分配結點依次分層并按照同層相鄰結點不同時放松、放松后不重新固定的原則逐層移除約束的計算策略，一方面能夠使各分配彎矩直接或通過已放松結點向支座傳遞，從而快速消除結點不平衡力矩，另一方面各分配結點只經過一輪完整力矩分配和連續傳遞變形即恢復至最終平衡位置，結果精確，計算量小。

（2）按順序放松結點時，分配彎矩和向各放松結點的傳遞彎矩可由遠端轉動彈性支承等直桿與約束剛度有關的轉動剛度和傳遞系數計算得到，公式形式簡潔，便于應用。

（3）各分配彎矩向放松結點的傳遞是以支座為終點的單向連續傳遞過程，傳遞彎矩使結點產生轉角增量，結點余桿通過協調變形獲得彎矩增量，計算時將傳遞彎矩反號后按結點余桿轉動剛度的比例分配并向相鄰結點傳遞和分配，直至支座。