相對運(yùn)動中一類質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程的同倫攝動解1)

姜文安 劉若冰 顧葉彤 李浚超

(江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013)

理論力學(xué)課程是理工科專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，其中，動力學(xué)部分的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)是理論力學(xué)中的重要部分，而相對運(yùn)動中質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程是一個難點(diǎn)。因此，許多學(xué)者研究了相對運(yùn)動中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動[1-5]。劉榮萬[6]研究了相對運(yùn)動的第二類拉格朗日方程，給出系統(tǒng)運(yùn)動方程的一種新形式，并應(yīng)用于兩種相對運(yùn)動系統(tǒng)。梁軍[7]應(yīng)用雅可比橢圓函數(shù)方法，給出了一個相對運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程的隱式解。臧濤成等[8]推導(dǎo)了兩個質(zhì)點(diǎn)的相對運(yùn)動方程，并給出其在斜面滑塊中的應(yīng)用。夏吾吉[9]推導(dǎo)非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)系相對于慣性系的動量定理，并給出四種特殊情形的推論。陳立群[10]通過解耦自由質(zhì)點(diǎn)相對于地球的運(yùn)動方程的方法，推導(dǎo)了系統(tǒng)運(yùn)動方程的精確顯式解。王超等[11]基于VB 語言開發(fā)了質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動的演示軟件，并基于軟件繪制質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動的軌跡。然而，相對運(yùn)動中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程已有的隱式解不能清晰明了地反應(yīng)系統(tǒng)的動力學(xué)特性，且隱式解運(yùn)動響應(yīng)曲線的程序?qū)崿F(xiàn)比較復(fù)雜。因此，開展簡明扼要的顯式解析求解是十分必要的。

本文以相對運(yùn)動中一類質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程為例，基于同倫攝動分析方法[12-16]，先構(gòu)造系統(tǒng)的同倫方程，再結(jié)合Lindstedt–Poincare 方法和初始條件，推導(dǎo)了系統(tǒng)自由振動的固有頻率，求解了系統(tǒng)的位移近似響應(yīng)。

1 相對運(yùn)動中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程

考慮質(zhì)量為m的小環(huán)套在拋物形光滑金屬絲上，同時金屬絲以勻角速度ω0繞豎直軸轉(zhuǎn)動，如圖1 所示，則小環(huán)的運(yùn)動微分方程為[1-2,6]

圖1 小環(huán)在金屬絲上的運(yùn)動示意圖

式中，a為拋物線形曲線的常數(shù)，g為重力加速度。且“金屬絲+小環(huán)”的案例很早就引入《理論力學(xué)》教材，于紅軍等[17]對該案例做了詳細(xì)的介紹。

方程（1）為二階非線性常微分方程，《理論力學(xué)》及《高等代數(shù)》教材中的解析方法無法求解，相關(guān)的解析求解方法少有報道。因此，尋找合適有效的方法，求解系統(tǒng)（1）的動力學(xué)行為是很有必要的。

2 同倫攝動分析

為了應(yīng)用同倫攝動方法，構(gòu)造如下的同倫方程

假設(shè)系統(tǒng)的位移響應(yīng)和頻率有如下級數(shù)解

圖2～圖5 給出系統(tǒng)（1）在不同系統(tǒng)參數(shù)下的動力學(xué)響應(yīng)，其中藍(lán)色實(shí)線為方程（11）的同倫攝動解（圖中用HPM 表示），紅色的加號表示原系統(tǒng)（1）的四階龍格庫塔解（圖中用ode45表示）。由圖可見，系統(tǒng)在不同參數(shù)下的同倫攝動解和數(shù)值解都比較吻合，證明了本文方法是有效的。

圖2 系統(tǒng)（1）在參數(shù) A=1, a=4 下的動力學(xué)響應(yīng)

圖3 系統(tǒng)（1）在參數(shù) A=1, a=1 下的動力學(xué)響應(yīng)

圖4 系統(tǒng)（1）在參數(shù) A=0.5, a=4 下的動力學(xué)響應(yīng)

圖5 系統(tǒng)（1）在參數(shù) A=1.5, a=4 下的動力學(xué)響應(yīng)

3 結(jié)論

相對運(yùn)動中質(zhì)點(diǎn)的強(qiáng)非線性動力學(xué)方程，一般很難得到顯式的精確解，發(fā)展顯式近似解是一種可能的方案。本文基于同倫攝動分析方法，推導(dǎo)了相對運(yùn)動中一類質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動非線性微分方程的顯式解析解。結(jié)合Lindstedt–Poincare 方法和系統(tǒng)的初始條件，推導(dǎo)了系統(tǒng)自由振動固有頻率的顯式表達(dá)式。同時，求解了系統(tǒng)的顯式解析近似響應(yīng)。另外，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了解析分析的正確性，為相對運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動強(qiáng)非線性方程求解提供了一種新思路。