一道平面幾何競賽題的探究

? 武漢外國語學(xué)校 黃 濤

1 競賽題呈現(xiàn)

圖1

題目如圖1所示,已知△ABC中,∠BAC=90°,四邊形ABDE,BCFG是兩個正方形,AB的延長線交DG于點P,求證：AC=2BP.

這是第一屆“創(chuàng)新杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽的一道試題.

圖2

分析：由題設(shè),可知∠ABC+∠DBG=180°.所以∠ABC=∠BDG+∠DGB,∠DBG=∠BAC+∠ACB.如果我們按圖2所示作∠HBC=∠BGP,則容易證明△BDP≌△ABH,△BPG≌△CHB,從而BP=AH=HC,因此AC=2BP.

圖3

如果從待證結(jié)論出發(fā)考慮,可在圖中作出2BP,如圖3,延長BP至點O,使PO=PB,則BO=2PB,從而問題歸結(jié)為證明AC=BO.而這只需要證明△BDO≌△ABC即可.因為易證△OPD≌△BPG,所以DO=BG=BC,而DB=BA,故利用“HL”可證△BDO≌△ABC.

反思：在圖1中,由上述的分析過程可以看出,BH是△ABC的中線,PB是△DBG的中線,且不難證明BH⊥DG.因此,針對本題可以得到下列結(jié)論：

過點B平分AC邊的直線必垂直于線段DG;過點B平分線段DG的直線必垂直于AC邊.

本題中△ABC是直角三角形,如果換成一般的三角形,還有上述結(jié)論嗎?

2 探究

2.1 探究一：弱化題目條件

命題1如圖4,分別以△ABC的兩邊AB和BC為邊向外作正方形ABDE和BCFG,過點B作直線BH⊥AC于點H,交DG于點P,則PD=PG,AC=2BP.

圖4

圖5

證明：如圖5,分別過點G、點D作BH的垂線,垂足分別為L,J.

∴∠L=90°,∠DJP=90°,GL∥DJ.

∵四邊形BCFG為正方形,

∴BG=BC,∠GBC=90°.

∴∠LBG+∠HBC=90°.

又∠HCB+∠HBC=90°,

∴∠LBG=∠HCB.

在△BHC和△GLB中,

∴△BHC≌△GLB(AAS).

∴GL=BH,LB=HC.

同理,可證得△BDJ≌△ABH.

又易證△PDJ≌△PGL,

∴PD=PG,LP=JP.

∴BJ+LB=2BP.

又BJ=AH,LB=HC,

∴BJ+LB=AH+HC.

∴AC=2BP.

相應(yīng)地,我們有如下命題：

圖6

命題2如圖6,分別以△ABC的兩邊AB和AC為邊向外作正方形ABDE和BCFG,P是線段DG的中點,直線PB交AC于點H,則BH⊥AC,AC=2BP.

圖7

證明：如圖7,延長BP至點L,使得PL=BP,連接GL.

易證△BDP≌△LGP,且LG∥BD.

∴∠LGB+∠DBG=180°.

∵∠DBA=∠GBC=90°,

∴∠ABC+∠DBG=180°.

∴∠LGB=∠ABC.

又LG=BD=AB,BG=BC,

∴△ABC≌△LGB(SAS).

∴LB=AC,∠LBG=∠ACB.

而LB=2BP,

∴AC=2BP.

∵∠LBG+∠CBH=90°,

∴∠ACB+∠CBH=90°.

∴∠BHC=90°.

∴BH⊥AC.

2.2 探究二：等價變換條件

在圖7中,如果連接LD,則四邊形DBGL是平行四邊形,即平行四邊形DBGL的對角線LB垂直于AC.平行四邊形的對角線互相平分,其交點正是對角線的中點,于是“中線”這個條件可以用平行四邊形的對角線等價代替,且對角線的長恰是相應(yīng)中線長的兩倍.于是我們不難得到如下命題：

圖8

命題3如圖8,分別以平行四邊形ABCD的邊AB,AD為邊向外作兩個正方形ABMX,ADNY,連接XY,CA,且CA的延長線交XY于點H,則AH⊥XY,且AC=XY.

這個命題正是武漢市1963年的一道數(shù)學(xué)競賽題.(我們僅僅添加了一個結(jié)論“AC=XY”.)

如果把正方形“砍掉”一半,變成等腰直角三角形,完全不影響命題的結(jié)論.于是有如下命題：

圖9

命題4如圖9所示,分別以△ABC的邊AB和BC為邊向外作等腰直角三角形ABD和BCG,其中∠ABD=∠CBG=90°.

(1)若P是線段DG的中點,直線PB交AC于點H,則BH⊥AC,AC=2BP.

(2)若BH⊥AC于點H,HB的延長線交DG于點P,則PD=PG,AC=2BP.

2.3 探究三：運動變換圖形

如果把圖4、圖6中的正方形繞點B旋轉(zhuǎn)至各種位置,是否還有相應(yīng)的結(jié)論呢?答案是肯定的,于是有如下命題：

圖10

命題5如圖10所示,四邊形ABDE,BCFG均為正方形.

(1)若P是線段DG的中點,直線PB交AC于點H,則BH⊥AC,AC=2BP.

(2)若BH⊥AC于點H,HB的延長線交DG于點P,則PD=PG,AC=2BP.

3 拓展

如圖11,△AOB與△COD均為等腰直角三角形,其中OA=OB=4,OC=OD=2,連AC,BD.E,G分別為AC,BD的中點,連EO,OG.求△EOG的面積.

圖11

圖12

解析：如圖12,延長EO交BD于點F.由命題4,可知EF⊥BD,BD=2OE.

令GF=a,FD=b,則

BF=BG+GF=a+b+a=2a+b.

在Rt△BFO與Rt△OFD中,有

OB2-BF2=OD2-DF2.

所以16-(2a+b)2=4-b2.

化簡,得a2+ab=3.