巧用反例教學,優化數學教學

? 江蘇省江陰市華士實驗中學 張 云

縱觀世界數學的發展史,發現反例對數學的發展有著顯著的推動作用,如非歐幾何的產生與無理數的發現等都與反例有著直接的聯系.事實告訴我們,反駁與證明是推動數學發展的原動力[1].因此,我們在教學中,應將目光鎖定反例教學,充分利用反例激發學生的質疑精神,提高學生的數學綜合能力.

近年來,筆者在教學實踐中,運用反例教學法獲得了一定的教學效益,特將該教學技巧與作用進行整理與分析,提出幾點拙淺的看法.

1 深化學生對概念的理解

概念是數學學習的基礎.吃不透概念,就如同一座高樓大廈沒有打好地基一樣,缺乏穩固性.只從正面去教授概念,學生難以發現概念的特殊之處與存在的陷阱.遇到考查概念內涵的練習,便會被變化多端的描述與情境變化干擾,導致各種錯誤的產生.若采用反例教學的方式,則能深化學生對概念的理解程度,不論情境發生怎樣的變化,都能一眼找出概念的內涵.

案例1“負數”的概念教學

負數是剛步入初中階段學習的一個概念,教材運用了半列舉的模式闡釋負數的意義,如11.8%,9,9.5這些大于0的數為正數,-7.8%,-3,-10.5這些在正數前添加了“-”號的數為負數.從字面上來看,這個解釋沒有問題,但學生理解的時候容易產生偏差,有些學生會簡單地理解為數字前只要有“-”號,就是負數.

為了深化學生對負數概念的理解,筆者嘗試用反例教學法,提出“-(-2)屬于正數的范疇還是負數的范疇“的問題.學生看到此問,立馬認識到負數概念中的內涵(正數前面有“-”號).因此,要從負數的內涵上理解其概念,才不會出現偏差.

反例的運用,讓學生認識到看似理所當然的概念,并非那么簡單.對于概念的理解,需做到“咬文嚼字”的程度,要仔細琢磨概念中每一個字詞的意義.有時,看似隨意的描述,可能含有很多豐富的內涵.反例在概念教學中的應用,能讓學生逐漸形成科學嚴謹的學習態度與思維方式,在對概念的理解與應用中樹立反例意識,從而完善對概念的理解.

2 突破學生的思維定式

隨著教學手段的進步,試題也越發變得靈活,對學生的解題能力也提出了更高的要求.但學生在學習中常會受之前認知水平與解題經驗的影響,形成思維定式,解決一些繁雜的問題時會產生困擾.實踐證明,反例教學的模式能有效地打破學生的思維定式,啟發學生產生新的解題思路與方法,提高解題能力.

案例2“二次函數增減性”的教學

問題說說函數y=8x2的增減性.

不少學生受之前所學一次函數y=ax+b(a≠0)的影響,心理上產生了思維定勢,覺得a=8>0,所以函數y=8x2呈遞增性.為了突破思維定式對學生認知的影響,筆者利用反例教學的方式,讓學生自主發現其中的奧秘,提出“當x1=3,x2=-6時,對應的函數值y1,y2分別是多少”的問題.

學生通過分析發現,二次函數與一次函數有著顯著的差異,它的增減性不能以未知數的系數作為參考,而應以它的圖象在坐標系中的對稱軸作為討論界限.

用反例法突破學生的思維定式,并非絕對的摒棄常規的正序思維,而是針對一些特殊的問題采用反例法教學,這樣教學效果更為明顯.其實,日常教學中仍然是常規思維訓練運用得更多,在此基礎上靈活運用反例法教學,能讓學生學會從不同的視角或層面看待問題,從而開拓視野,拓寬思維,為解題思路的拓展提供幫助.

3 減少計算錯誤的發生

運算能力是數學學習的基本技能,它決定了學生在數學道路上能走多遠.不論多巧妙的解題思路,若沒有精準的計算作為保障,只能無奈地以失敗告終.因此,沒有較強的運算能力,就無法談及解題能力的發展.而初中數學中的計算與小學相比,變得繁雜了許多,學生在計算上丟分的現象屢見不鮮.

怎樣利用反例教學法提高學生的運算能力,避免因計算錯誤而導致失分的現象,是筆者近些年一直在探索的問題之一.實踐中,筆者發現激發學生的潛能,提升他們的計算能力,反例教學法具有無可替代的重要作用.

案例3“完全平方公式”的教學

不少學生對于字母化的公式容易產生認識上的偏差,而完全平方公式又是初中階段非常重要的一個乘法公式.因此,教師可用實際數字代替字母讓學生進行反例訓練,如區別(8+5)2和82+52的結果是否一致等.學生通過具體數字的計算,明確用字母所表達的完全平方差公式的意義,避免大腦形成錯誤的記憶而導致運算的失敗.

有些教師受傳統思想的干擾,習慣性地使用題海戰術來訓練學生的計算能力,認為熟能生巧是提高運算能力的基本手段.眾所周知,大量刷題只能形成一種慣性的解題思維,離深刻理解算理與靈活運用算法還有很大的差距.將反例教學靈活地運用到計算訓練中,可以達到減負增效的效果,也能讓學生快速找出錯誤發生的原因.因此,重點突出、少而精的反例計算訓練,是提高運算能力的催化劑.

4 提升學生的思維品質

良好的思維品質對學生的終身可持續性發展具有深遠的影響.合理的思維練習對思維習慣的培養具有舉足輕重的作用,而優質思維品質的形成,需有良好的思維習慣[2].解題中,不少學生出現一聽就會、一做就錯的現象.深究其原因并非是偶然失誤所致,而是這部分學生的思維品質尚未達到該階段應有的水平.

案例4“三角形的三邊關系”的教學

本章節對三角形的三邊關系提出了一個規律：三角形的任意兩邊之和必然大于第三條邊,而兩邊只差必然小于第三條邊.不少學生在運用該規律時,往往只關注到其中一個條件,認為只要滿足這兩個條件中的一個,就能構成三角形.筆者發現,用正序教學法講解后,學生依然會出現這個錯誤.為此,筆者以通過例教學法,引發學生進行思考與分析：

問題在草稿紙上以2.5 cm,1.5 cm,1 cm為邊畫三角形.

學生以小組合作學習的方式畫圖,最終每組呈現的結果都是：無法畫出滿足該條件的三角形.為此,筆者要求各組討論：為什么無法以這三個數據構造一個三角形?

學生經過討論與分析后提出：雖然1.5+2.5>1,1+2.5>1.5,但是1+1.5=2.5,這與教材中所提到的“任意兩條邊相加都大于第三條邊”的條件不相符.可見,1+1.5=2.5這個條件導致了無法畫出三角形.

學生在這個反例教學中,更進一步地認識到此規律的重要性與實施過程中的意義.通過這個案例,學生也深刻認識到數學學習需講究周密性與嚴謹性,不能因為大部分條件能滿足,就認為是可行的,而應掌握數學概念、定理或規律的內涵,深刻認識每一個字詞句所代表的意義,才能做到靈活應用.

思維品質的培養需要經歷一個漫長的過程,而非一蹴而就的事.因此,教師應在教學中有意識、有計劃地滲透數學思想,在潤物細無聲中長期訓練學生的思維品質,讓每一個學生都能在學習中獲得良好的數學思維品質,為其終身可持續性發展奠定堅實的基礎[3].

總之,反例教學是響應新課標“輕負高效”教育理念的新視角與思路.這種教學方式能讓學生化被動為主動地參與學習,突破思維定式帶來的弊端.于教師而言,反例法為教學開辟了新蹊徑,啟發了新的教學思路,讓他們能從一個全新的角度去認識與看待數學事物.因此,反例教學不僅能促進師生的共同成長,還能有效地提升數學教學實效,為培養學生的數學能力與核心素養奠定基礎.