例析實(shí)際問題中的一元一次方程

? 江蘇省沛縣龍固中學(xué) 呂慧娟

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,實(shí)際生活中包含著豐富的數(shù)學(xué)信息,數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活也有其自己的價(jià)值,在處理現(xiàn)實(shí)問題時(shí),要能從數(shù)學(xué)視角使用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法尋找解決問題的方案.近幾年,各省市中考對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的考查逐漸加強(qiáng),一元一次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用是最簡單的應(yīng)用類型,要求學(xué)生能首先審清題意,從題意中找出已知量與未知量,然后用代數(shù)式表示題中涉及的量,找出等量關(guān)系,列出方程,最后解一元一次方程求出未知數(shù)的值,通過檢驗(yàn)得到符合題意的解.

1 購書方案中的一元一次方程

在圖書城購書,為了鼓勵(lì)人們多買書,圖書城會(huì)推出會(huì)員卡、貴賓卡.辦會(huì)員卡時(shí)的費(fèi)用較少,但買書時(shí)得到的優(yōu)惠也少;辦貴賓卡時(shí)的費(fèi)用較多,但買書時(shí)得到的優(yōu)惠也多.所以是否采用辦卡消費(fèi),辦什么卡最合算,必須根據(jù)購買圖書的數(shù)量來決定.當(dāng)然也會(huì)出現(xiàn)不同消費(fèi)方式費(fèi)用一樣的現(xiàn)象,此時(shí)可以建立一元一次方程求出購買圖書的數(shù)量.

例1為了開闊學(xué)生的視野,某校每個(gè)班級(jí)都準(zhǔn)備開辟圖書園地,八(2)班的同學(xué)每人都捐一本書,班委會(huì)成員準(zhǔn)備購買一些新書,其談話內(nèi)容如下：

班委A 我上次在這邊買了一套很好看的書,可惜有點(diǎn)貴,160元,據(jù)我了解這套書進(jìn)價(jià)只有100元.

班委B 你可以花20元辦一張會(huì)員卡,買書打八折.

班委C 哦,是的.不過我聽說還有一種優(yōu)惠方式,花100元辦一張貴賓卡,買書打六折

(1)班委A買的書,圖書城的利潤是多少?利潤率是多少?假如這位班委成員買了會(huì)員卡,能省多少錢?

(2)如果購買會(huì)員卡與購買貴賓卡得到同樣多的優(yōu)惠,那么購書的總價(jià)(指未打折前的原價(jià))是多少?

(3)在三種購書方式中,如果辦會(huì)員卡購書最省錢,求這批書的總價(jià)的范圍.

解析：(1)根據(jù)題意,可以計(jì)算出班委A上次買的一套書,圖書城的利潤和利潤率和他買一張會(huì)員卡時(shí)可以省下的錢.班委A購買圖書的利潤,就是售價(jià)減去進(jìn)價(jià),即60元,利潤率就是這套書的利潤除以進(jìn)價(jià),即60%.如果當(dāng)時(shí)他辦一張會(huì)員卡,可省下160-(20+160×0.8)=12(元).

(2)根據(jù)“辦貴賓卡與辦會(huì)員卡購書得到一樣的優(yōu)惠”,可以列出相應(yīng)的方程求解.設(shè)購書的總價(jià)(指未打折前的原價(jià))為x元時(shí),則由辦貴賓卡與辦會(huì)員卡購書得到一樣的優(yōu)惠,可得20+0.8x=100+0.6x,解得x=400.

因此,如果辦會(huì)員卡與辦貴賓卡得到同樣多的優(yōu)惠,那么購書的總價(jià)是400元.

(3)根據(jù)題意,先算出辦會(huì)員卡與不辦卡花錢一樣多時(shí)購書的總價(jià),然后再求范圍.設(shè)這批書的總價(jià)為y元,則20+0.8y=y,解得y=100.由(2)知,當(dāng)購買400元的書時(shí),兩種辦卡方式所花錢數(shù)相等.

因此,當(dāng)購書總價(jià)在100元與400元之間時(shí),辦會(huì)員卡購書最省錢.

評(píng)注：通過此題可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)購書總價(jià)小于100元時(shí),不辦卡最省錢;當(dāng)購書總價(jià)在100～400元之間時(shí),辦會(huì)員卡比較化算;當(dāng)購書總價(jià)大于400元時(shí),辦貴賓卡最省錢.而其中界點(diǎn)100元與400元,都必須根據(jù)一元一次方程求得.

2 動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的一元一次方程

動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),根據(jù)運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間,可以算出其運(yùn)動(dòng)的路程;根據(jù)動(dòng)點(diǎn)出發(fā)時(shí)的坐標(biāo)與運(yùn)動(dòng)路程,可得運(yùn)動(dòng)一定時(shí)間后動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).若兩個(gè)點(diǎn)同向而行,則兩動(dòng)點(diǎn)的路程差等于兩點(diǎn)的距離;若兩個(gè)點(diǎn)相向而行,則兩動(dòng)點(diǎn)的路程和等于兩點(diǎn)間的距離,據(jù)此建立一元一次方程可得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

例2如圖1,在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-30,點(diǎn)B表示的數(shù)為80.動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)以每秒6個(gè)單位長度的速度沿正方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)D從原點(diǎn)出發(fā)以每秒4個(gè)單位長度的速度沿正方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以每秒8個(gè)單位長度的速度先沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng),到達(dá)原點(diǎn)后立即按原速返回,三點(diǎn)同時(shí)出發(fā).

圖1

(1)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)7秒時(shí),C,D,E三點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為______,______,______.

(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)E距離為44個(gè)單位長度時(shí),求此時(shí)點(diǎn)C在數(shù)軸上所表示的數(shù).

(3)若點(diǎn)E回到點(diǎn)B時(shí),三點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),當(dāng)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中.

①是否存在某一時(shí)刻,點(diǎn)D在點(diǎn)C和點(diǎn)E之間,且與點(diǎn)C和點(diǎn)E的距離相等?若存在,請(qǐng)求出時(shí)間;若不存在,請(qǐng)說明理由.

②是否存在某一時(shí)刻,這三點(diǎn)中是否還有一點(diǎn)(除點(diǎn)D外)恰好在另外兩點(diǎn)之間,且與兩點(diǎn)的距離相等?若存在,請(qǐng)直接寫出時(shí)間;若不存在,請(qǐng)說明理由.

解析：(1)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度、時(shí)間及出發(fā)點(diǎn)的坐標(biāo)可得結(jié)果.點(diǎn)C表示的數(shù)為-30+6×7=12,點(diǎn)D表示的數(shù)為4×7=28,點(diǎn)E表示的數(shù)為80-8×7=24.

(2)根據(jù)題意列出一元一次方程求解.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則4t+8t=80-44或|4t-80|=44(t>10),解得t=3或t=31.故點(diǎn)C表示的數(shù)為6×3-30=-12,或6×31-30=156.

答：點(diǎn)C在數(shù)軸上所表示的數(shù)是42.

(3)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)列出一元一次方程即可求得結(jié)果.

評(píng)注：由數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo),可以求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.在原點(diǎn)兩側(cè)的點(diǎn),兩點(diǎn)之間距離等于它們坐標(biāo)絕對(duì)值的和;在原點(diǎn)同側(cè)的點(diǎn),兩點(diǎn)之間的距離等于它們坐標(biāo)差的絕對(duì)值.對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn),學(xué)會(huì)把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長,或者由線段的長轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo).

3 日歷表中的一元一次方程

在日歷表里,左右相鄰的兩個(gè)數(shù),差距為1,上下相鄰的兩個(gè)數(shù),差距為7.如果用正方形框住四個(gè)數(shù),那么左上與右下兩個(gè)數(shù)的差是8,右上與左下的兩個(gè)數(shù)的差是6.如果用一個(gè)十字架去框住五個(gè)數(shù),那么已知這五個(gè)數(shù)的任意一個(gè)數(shù)可以算出其他四個(gè)數(shù),設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x,可以用代數(shù)式表示出其他四個(gè)數(shù),已知這些數(shù)字的和,利用一元一次方程,可以求出其中每一個(gè)數(shù)字.

例3某年十月份的月歷如圖2所示,如果用一個(gè)凹字型方框去框月歷中的數(shù)字,設(shè)被框住的數(shù)字分別是a1,a2,a,a3,a4.

圖2

(1)直接寫出a1=______,a3=______(用含a的式子表示);a4-a2=______.

(2)如果將被圈住的五個(gè)數(shù)字相加,所得數(shù)字之和隨著凹字型的的移動(dòng)有所不同,小明說可能為106,小敏說可能為90,你覺得他們誰說得對(duì)?

(3)如果凹字型被圈住的幾個(gè)數(shù)為b1,b2,b,b3,b4,且b等于a的2倍與1的和,那么符合條件的b的值有多少個(gè)?

解析：(1)因?yàn)閍1=a-8,a2=a-1,a3=a+1,a4=a-6,所以a4-a2=a-6-(a-1)=-5.

故答案為：a-8;a+1;-5.

(2)由(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14=106,解得a=24;由(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14=90,解得a=20.8(不符合題意,舍去).

故小明的說法對(duì),小敏的說法不對(duì).

(3)a的值可以為9,10,11,14,15,16,17,18,21,22,23,24,25,28,29,30,因此2a+1的值可以為19,21,23,29,31,33,35,37,43,45,47,49,51,57,59,61.由于b的值可以為9,10,11,14,15,16,17,18,21,22,23,24,25,28,29,30,且b=2a+1,因此b的值可以為21,23,29.

評(píng)注：在凹字型框住的五個(gè)數(shù)字里,凹頭的兩個(gè)數(shù)字差為2,凹底的三個(gè)數(shù)字相鄰兩個(gè)數(shù)字的差為1,凹字兩邊上下每對(duì)數(shù)字的差均為7.在觀察日歷表中不同圖形框住的幾個(gè)數(shù)字之間的規(guī)律時(shí),只觀察數(shù)字之間的差即可,且任意觀察一種情況即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

實(shí)際問題中的一元一次方程,還包括工程問題中的一元一次方程.在工程問題中,常需要利用各部分工作量之和等于總工作量建立方程,根據(jù)工作量等于工作時(shí)間與工作效率之積列代數(shù)式.在一元一次方程的應(yīng)用中,還要注意設(shè)未知數(shù)的方法,能直接設(shè)未知數(shù)盡量直接設(shè),對(duì)于直接設(shè)卻不易列方程的,可以找出關(guān)鍵的未知量設(shè)元或者設(shè)輔助元.在背景復(fù)雜的應(yīng)用題中,要排除無關(guān)信息的干擾,善于抓住與數(shù)量有關(guān)的信息建立代數(shù)式或方程,從而求解.