巧用“將軍飲馬”模型求解最值問題

? 哈爾濱師范大學教師教育學院 李傳煜

最值問題是近幾年中考的熱點,這類問題涉及到的知識很多,題型多樣,通常需要找到特殊情況,再結合特定的數學模型進行解決.本文中以全國各地中考題為例,對如何構建“將軍飲馬”模型求解最值問題進行了探討.

1 “將軍飲馬”模型

基本模型：兩定點+一動點.

圖1

已知兩定點A,B在直線l同一側,在直線l上找一點P,使得PA+PB最小.

解法：如圖1,作點B關于直線l的對稱點B′,連接AB′與定直線l的交點P即為所求的點,且PA+PB的最小值就等于AB′的長,其基本原理是“兩點之間線段最短”.

2 模型應用

2.1 求線段和的最值

圖2

例1(2022年山東德州)如圖2,正方形ABCD的邊長為6,點E在BC上,CE=2,M是對角線BD上的一個動點,求EM+CM的最小值.

分析：由題可知C,E是定點,BD為定直線,M是BD上一動點,且定點C,E在BD的同側.根據以上分析,可以聯想到“兩定點+一動點”的“將軍飲馬”模型.此類問題常通過平移、翻折、旋轉等方法轉化為“兩點之間線段最短”來求出最小值.本題定點C比定點E更容易找到其對稱點,進而將同側兩定點轉化為異側兩定點,求出EM+CM的最小值.

圖3

解析：如圖3,由正方形的性質,可知點A,C關于直線BD對稱.

連接AM,根據對稱性可知AM=CM.所以(EM+CM)min=(AM+EM)min.

根據兩點之間線段最短,當A,M,E三點共線時,AM+EM取最小值,即為線段AE的長.

因為BE=4,AB=6,所以

2.2 求幾何圖形周長的最值

圖4

(1)分別求反比例函數的表達式和直線AB所對應的一次函數的表達式.

(2)在x軸上是否存在一點P,使△ABP的周長最小?若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由.

分析：此處只分析第(2)問,要求△ABP周長的最小值,即求線段AP+BP+AB的最小值.由于A,B為定點,P為x軸上一動點,且定點A,B在x軸的同側,因此可聯想到“兩定點+一動點”的“將軍飲馬”模型.由題意可知AB的長為定值,因此只需要求AP+BP的最小值即可.

圖5

如圖5,過點A和點B分別作x軸的垂線,交x軸于點D,E.

所以CE=AD.又OE=6,OC=3,所以CE=AD=3.

作點A關于x軸的對稱點A′,連接A′P.

所以(AP+BP)min=(A′P+BP)min.

根據兩點之間線段最短,當A′,P,B三點共線時,A′P+BP取最小值,即為線段A′B的長.

由題意得A′(2,-3),所以

2.3 求拋物線背景下的線段最值及點的坐標

圖6

例3(2022年天津)如圖6,已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a>0)的頂點為P,與x軸相交于點A(-1,0)和點B.

(1)若b=-2,c=-3,①求點P的坐標;②直線x=m(m是常數,1

(2)若3b=2c,直線x=2與拋物線相交于點N,E是x軸的正半軸上的動點,F是y軸的負半軸上的動點,當PF+FE+EN的最小值為5時,求點E,F的坐標.

分析：此處只分析第(2)小問,由于P,N為拋物線上的定點,E為x軸上的動點,F是y軸上的動點,EF為定長,根據以上分析可聯想到“兩定點+兩動點”的“將軍飲馬”模型.由題意可知EF為定值,因此只需要求PF+EN的最小值,再通過題意求出直線EF的方程,進而求出點E,F的坐標.

解析：(2)由拋物線與x軸交于A(-1,0),可知a-b+c=0,又3b=2c,則b=-2a,c=-3a,所以拋物線的解析式為y=ax2-2ax-3a(a>0).

所以由拋物線y=a(x-1)2-4a,得P(1,-4a).

圖7

如圖7,作點P關于y軸的對稱點P′,連接P′F.

根據對稱性,可知P′F=PF.

作點N關于x軸的對稱點N′,連接N′E.

根據對稱性,得N′E=NE.

所以(PF+FE+EN)min=(P′F+FE+N′E)min.

根據兩點之間線段最短,當P′,F,E,N′四點共線時,P′F+FE+N′E取最小值,即為線段P′N′的長.

將x=2代入拋物線解析式,可得yN=-3a,則點N坐標為(2,-3a),所以N′(2,3a).

又點P′坐標為(-1,-4a),所以

設直線P′N′的解析式為y=kx+b.

解決“將軍飲馬”問題,究其本質就是利用“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”的基本原理,用幾何變換將若干原本彼此分離的線段組合到一起,即“化折為直”[1],進而解決問題.