中考幾何探究性壓軸題解法突破
——以2022年陜西省初中學業水平考試第26題為例

?陜西省西安市西大附中浐灞中學 樊王曄

1 鏈接中考

例1(2022年陜西省初中學業水平考試數學第26題)問題提出：(1)如圖1,AD是等邊三角形ABC的中線,點P在AD的延長線上,且AP=AC,則∠APC的度數為______.

圖1

圖2

問題探究：(2)如圖2,在△ABC中,CA=CB=6,∠C=120°,過點A作AP∥BC,且AP=BC,過點P作直線l⊥BC,分別交AB,BC于點O,E,求四邊形OECA的面積.

圖3

問題解決：(3)如圖3,現有一塊△ABC型板材,∠ACB為鈍角,∠BAC=45°.工人師傅想用這塊板材裁出一個△ABP型部件,并要求∠BAP=15°,AP=AC．工人師傅在這塊板材上的作法如下：

①以點C為圓心,以CA長為半徑畫弧,交AB于點D,連接CD;

②作CD的垂直平分線m,交CD于點E;

③以點A為圓心,以AC長為半徑畫弧,交直線m于點P,連接AP,BP,得△ABP．

請問,若按上述作法,裁得的△ABP型部件是否符合要求?請證明你的結論．

解析：(1)∵AP=AC,

∴∠ACP=∠APC.

∵2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°,

∴2×(60°+∠PCD)+30°=180°.

∴∠PCD=15°.

∴∠APC=∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°.

故答案為：75°.

圖4

(2)如圖4,連接BP．

∵AP∥BC,AP=BC,

∴四邊形ACBP是平行四邊形．

∴BP=AC=6．

∵∠ACB=120°,

∴∠PBE=60°．

又l⊥BC,

∵∠ABC=30°,

(3)由作法可知AP=AC．

∵CD=CA,∠CAB=45°,

∴∠ACD=90°．

圖5

如圖5,以AC,CD為邊,作正方形ACDF,連接PF．

∴AF=AC=AP.

∵m是CD的垂直平分線,

∴m是AF的垂直平分線．

∴PF=PA．

∴△AFP為等邊三角形．

∴∠FAP=60°,即∠BAP=15°．

故裁得的△ABP型部件符合要求.

方法運用：本題考查了等邊三角形的判定及性質、等腰三角形的判定及性質、三角形內角和定理、平行四邊形的判定及性質、銳角三角函數、正方形、垂直平分線等,涉及的知識點較多,綜合性強,有一定的難度,解題的關鍵是要靈活運用以上知識點進行求解.其中第(2)問求解四邊形的面積,是通過添加輔助線,將其轉化為三角形的面積問題來解決的;第(3)問探究三角形部件的剪裁是否符合要求,主要是根據作圖的方法,通過添加輔助線來判斷,其中構造正方形ACDF、證明△AFP為等邊三角形是關鍵.

2 類題演練

例2(2021年陜西師大附中數學中考模擬卷第27題)(1)如圖6,△ABC為等邊三角形,AB=2 cm,則△ABC的面積為______.

圖6

圖7

(2)如圖7,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5．如果P是AD邊上一點,且AP=1,那么BC邊上是否存在一點Q,使得線段PQ將矩形ABCD的面積平分?若存在,求出PQ的長;若不存在,請說明理由.

圖8

(3)如圖8所示,有一個平行四邊形花園ABCD,AB=300 m,AD=100 m,∠A=60°,點E在邊AB上,且AE=AD．現需在花園內開辟四邊形區域AEFD種植一種紅色花卉．根據設計要求,F為花園內(含邊界)一點,滿足∠DFE=60°,同時過點F修建一條筆直的小路GH(點G,H為該花園入口,其中點G,H分別在平行四邊形ABCD的邊CD,AB上),且使GH平分該平行四邊形花園ABCD的面積．那么是否存在這樣的點F,使四邊形AEFD的面積最大且使GH平分該平行四邊形花園ABCD的面積?若存在,請求出此時四邊形AEFD的面積及線段GH的長度;若不存在,請說明理由．(小路寬度忽略不計.)

解析：(1)過點C作CD⊥AB,垂足為D.

∵△ABC為等邊三角形,

∴AD=BD,∠ACD=∠BCD=30°.

∵AC=2,

圖9

(2)如圖9,連接AC,BD交于點O,連接PO并延長,交BC于點Q.

∵四邊形ABCD為矩形,

∴AO=CO,PO=QO.

又∠AOP=∠QOC,

∴△APO≌△CQO.

同理,可得△POD≌△QOB,△AOB≌△COD.

∴S△APO+S△ABO+SBOQ=SQCO+S△CDO+SPDO.

∴PQ平分矩形ABCD的面積.

過點P作PH⊥BC,垂足為H.

由上述證明,可知AP=CQ=BH=1.

∴HQ=BC-BH-CQ=5-1-1=3.

在Rt△PHQ中,

(3)如圖10,連接DE,作DE的垂直平分線,再作FE的垂直平分線,兩條垂直平分線交于一點O,以O為圓心,OE長為半徑作圓,交CD于一點G.當點F位于點G時,四邊形AEFD的面積最大,理由如下.

圖10

∵AD=AE,∠A=60°,

∴當△DEF面積最大時,四邊形AEFD的面積最大.

又△DEF的邊DE為定值,且∠DFE=60°,

∴F為一個圓上的動點,且∠DFE為圓周角,DE,EF,DF為圓的弦.

∴作DE和EF的垂直平分線,交點O即為圓心.

再連接對角線AC,BD交于點P(如圖11),連接GP,并延長交AB于點H,易得△EGH為等邊三角形,所以GH=100 m．

圖11

3 突破策略

解決中考壓軸題可以遵循以下幾個策略.

(1)認真分析題意,從整體上把握試題的特點與結構;

(2)認真審題,明確目的性,挖掘隱含條件,提高準確性;

(3)仔細分析條件與結論之間、圖形與數式特征之間的關系,尋求合理的解題思路和方法;

(4)從較容易的小題入手,先易后難,步步為營,各個擊破,逐步擴大“戰果”.