一道中考題的解法探析與教學建議

? 福建省漳州市第三中學 張小英

1 問題呈現

圖1

如圖1,△ABC內接于⊙O,AD∥BC交⊙O于點D,DF∥AB交BC于點E,交⊙O于點F,連接AF,CF.

(1)求證：AC=AF.

2 解法探析

2.1 思路1

圖2

(2)如圖2所示,作輔助線連接AO,CO,由第(1)問的結論,已知頂角度數,利用等腰三角形的性質得兩底角的度數,再由同一段圓弧所對的圓心角等于圓周角的兩倍,得圓心角∠AOC=150°,最后利用弧長公式求出弧長.

解法一：∵AD∥BC,DF∥AB,

∴四邊形ABED是平行四邊形.

(或∵AD∥BC,∴∠D=∠DEC.

∵DF∥AB,∴∠B=∠DEC.)

∴∠B=∠D.

∵∠B=∠AFC,∠D=∠ACF,

∴∠AFC=∠ACF.

∴AC=AF.

(2)如圖2所示,連接AO,CO.

由(1)得∠AFC=∠ACF,又∠CAF=30°,

∴∠AOC=2∠AFC=150°.

∵⊙O的半徑為3,

2.2 思路2

圖3

圖4

解法二：(1)如圖3,AD∥BC,DF∥AB,

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

∴∠ACF=∠AFC.

∴AC=AF.

(2)如圖4所示,連接OC,OF.

∵∠CAF=30°,

∴∠COF=60°.

∵⊙O半徑為3,

∴⊙O的周長為2πr=2π×3=6π.

由(1),可得AF=AC.

2.3 思路3

(1)如圖5,根據已知條件,結合所給圖形,連接AO,FO,CO,根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形這一判定定理,得四邊形ABED是平行四邊形,由平行四邊形對角相等的性質得∠B=∠D;再由圓周角定理,可得∠AOC=∠AOF;又因為圓的半徑相等,所以根據“SAS”得△AOC≌△AOF;最后根據全等三角形的對應邊相等,得到AC=AF的結論.

圖5

解法三：(1)如圖5,連接AO,FO,CO.

∵AD∥BC,DF∥AB,

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∴∠B=∠D.

∴∠AOC=∠AOF.

∵AO=FO=CO,

∴△AOC≌△AOF.

∴AC=AF.

(2)由(1),得△AOC≌△AOF.

∴∠CAO=∠FAO.

∵∠CAF=30°,

∵OA=OC,

∴∠CAO=∠ACO.

∴∠AOC=180°-2∠CAO=150°.

2.4 思路4

(1)根據已知條件,結合圖6,由在同一圓中同一段弧所對的圓周角相等,得∠1=∠2,∠4=∠5;由兩直線平行,內錯角相等,得∠5=∠6,∠2=∠3;再由等量代換,得∠1=∠3,∠4=∠6,接著將其兩兩相加可得∠AFC=∠ACF;最后,由三角形中等角對等邊,得出AC=AF的結論.

(2)同解法一.

圖6

∴∠1=∠2,∠4=∠5.

∵AD∥BC,DF∥AB,

∴∠5=∠6,∠2=∠3.

∴∠1=∠3,∠4=∠6.

∵∠AFC=∠3+∠4,
∠ACF=∠1+∠6,

∴∠AFC=∠ACF.

∴AC=AF.

(2)同解法一.

通過多種解法的探討,可以看出選擇不同的解題思路,所涉及的知識點和運算方法不同,這樣就可以實現“會一題懂一類”的解題訓練追求．

3 考生常見解題錯誤

3.1 平行四邊形與菱形混淆

3.2 對圓周角、弦與圓弧的關系一知半解

3.3 角表達錯誤

有部分考生解題過程基本正確,但是角的表達形式卻出現錯誤,例如將“∠AFC=∠ACF”表示成“∠F=∠C”等錯誤.可見,考生在平時的學習中不注重細節.

3.4 弧長公式表達錯誤

4 教學建議

從考生的整體答題情況來看,當屆考生對于定義、性質、定理等初中數學基本知識理解不透徹,將文字語言轉化為符號語言的能力不足,邏輯推理能力不足,反映了學生幾何直觀素養的培養有所欠缺.

教師在平時的教學中應該注重定義的引入與講解,保證學生能透徹理解每個定義,這也有助于學生對于定理的學習;對于有相互聯系的定義或者定理,應該教會學生如何區別與記憶,并及時提供相關配套練習,使學生能夠熟練掌握;在平時教學中應該讓學生加強記憶,利用課堂時間進行小測,促使學生將公式牢記于心.

此外,2022年福建省數學中考卷的第21題屬于幾何證明題,逆向思維是解決幾何證明題非常重要的思維方式,因此教師在平時教學中應該加強學生逆向思維的訓練,增加此類型的題目,在講解時多引導學生如何從結論出發通過逆向分析來解決問題.對于難度較大的題目,通常需要將正向思維與逆向思維相結合,根據結論和已知條件展開分析.

最后,初中數學幾何知識主要包括圖形、線、角等各方面的知識,其中包含各種基礎概念與計算公式,教學中應以概念、定理的講授為基礎,注重培養學生的數學核心素養,重點提升學生的圖形轉換能力,善于將信息技術融入課堂教學,全面培養初中生的幾何解題能力.