軸對稱問題中的數學思想

? 江蘇省蘇州市教育科學研究院附屬實驗學校 楊 敏

數學思想是數學學科的靈魂,是解決數學問題的萬能鑰匙.它包括轉化與化歸、分類討論、數形結合、數學建模、從特殊與一般等思想.在軸對稱的問題中也蘊含著以下數學思想.

1 轉化與化歸思想

在解決數學問題的過程中,將生疏的化為熟悉的、將抽象的化為具體的、將復雜的化為簡單的、將一般的化為特珠的以及將未知的化為已知的等,都屬于轉化思想的具體體現.

例1如圖1,已知直線l外有一點P,試在l上求兩點A,B,使AB=m(定長),且使PA+PB最短.

圖1

圖2

分析：當把點P沿直線l的方向平行移動到點C(如圖2)使PC=m時,那么問題就轉化為在直線l上求作一點B,使PB+PC最短.

作法：如圖2,①過P作PC平行于l,使PC=m;②作點P關于直線l的對稱點P′,連接P′C交直線l于點B;③在直線l上截取AB=m,使點A,B在PP′的兩旁,則A,B就是所求作的點.

點評：本題把已知一點求作兩點的問題轉化為已知兩點求作一點的問題,再利用軸對稱知識實現問題的解答.

圖3

例2如圖3,已知∠BAD=100°,AB⊥BC,AD⊥DC,分別在BC,CD上找一點M,N,使△AMN周長最小,并求此時∠MAN的度數.

分析：要使△AMN的周長最小,可使三角形的三邊轉化到同一直線上,也就是A,M,N在同一直線上.利用軸對稱,分別作點A關于BC,CD的對稱點A′,A″,讓這兩個對稱點替代點A,可以實現點A,M,N在同一直線上的目的,同時得∠AA′M+∠A″=80°,進而得到∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″),即可得解．

圖4

解：如圖4所示,分別作點A關于BC和CD的對稱點A′,A″,連接A′A″,交BC,CD于點M,N,此時線段A′A″的長就是△AMN周長的最小值．因為∠DAB=100°,由三角形內角和定理,得∠AA′M+∠A″=80°,由對稱軸的性質,可得∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,所以∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)=2×80°=160°,因此∠MAN=180°-160°=20°．

點評：本題通過軸對稱把一個三角形的三邊轉化到同一條直線上,從而實現了三角形周長最小的目的,最后利用軸對稱的性質求得相關角度.可以看出,在求線段、線段和最小值方面,軸對稱功不可沒.

2 分類討論思想

在解題時,有時需要把問題分為若干個小問題來解決,通過小問題的解決從而達到解決大問題的目的,這種解決問題的思想就是分類討論思想.

圖5

例3如圖5所示,由四個小正方形構成的“L”形圖中,請嘗試用三種方法添加一個小正方形使其成為一個軸對稱圖形.

分析：軸對稱圖形是沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.當沿著豎直的直線折疊時(如圖6),小正方形應添在左下邊;當沿著水平的直線折疊時(如圖7),小正方形應添在右上邊;當沿著傾斜的直線折疊時(如圖8),小正方形應添右下邊.

圖6

圖7

圖8

解：如圖6、圖7、圖8所示.

圖9

點評：在解答本題時,將對稱軸分為水平、豎直、傾斜三類,從而得到了三種方法.用分類討論思想可使我們考慮問題既不重復也不遺漏.

例4如圖9所示,在長方形紙片ABCD中,AB=1,E是AB的中點,F是CD的中點,H是BC上一點,沿AH將△ABH折疊,點B恰好落在直線EF上的G點．當△ADG為等腰三角形時,求AD的長．

圖10

②當AD=AG時,AD=AG=AB=1.

點評：在矩形ABCD中,因為AD的長不確定,所以△ADG為等腰三角形可能有三種情況.因為一個三角形有三條邊,所以當一個三角形是等腰三角形時,可能有三種情況,分類討論起到了化整為零的效果.

3 數形結合思想

數形結合,大致有兩種情況：一是借助數的精確性來說明形的屬性;二是借助形的直觀性來說明某種數量關系.因為數的精確和形的直觀,所以數形結合能幫助我們更好地理解和解決問題.

例5如圖11,一些數字均勻錯落分布在正方形中,王海運用軸對稱的方法,迅速求出了這組數字的和,請問你可以嗎?

圖11

圖12

分析：正方形是軸對稱圖形,經過對邊中點的直線和對角線所在的直線都是它的對稱軸(如圖12).從數字組可以看出,一條對角線上的數字都是5,以這條對角線為對稱軸折疊正方形后,對應位置上的數字之和均為10,共產生10個10(如圖11),所以正方形中數字之和為5×5+10×10=125.

點評：本題將數的運算與軸對稱圖形結合起來,找到解題的捷徑,體現了數形結合思想的價值.

圖13

圖14

點評：本題利用軸對稱變換,把分散的陰影部分集中起來,組成規則圖形,從而求得陰影部分的面積和.在解答過程中,觀察圖形發現兩個軸對稱圖形,即矩形與拋物線,因為它們的對稱軸重合,所以它們組成的圖形仍是軸對稱圖形.求圖形面積時,把點的坐標代入函數解析式求得對應線段的長,從而求得面積.通過圖形組合構圖,通過代入計算求得線段的長,體現了數形結合思想的應用.

數學知識是無限的,但數學思想是有限的,把握住有限的數學思想,不僅能高效地解決問題,而且能更深刻地理解數學知識.