注重聯(lián)系,關(guān)注生成,聚焦思維
——因式分解(分組分解)教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

? 江蘇省無錫市東林中學(xué) 盧曉雨

郭元祥教授指出：深度教學(xué)要基于知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu),通過對知識完整深刻的處理,引導(dǎo)學(xué)生從符號學(xué)習(xí)走向?qū)W科思想和意義系統(tǒng)的理解和掌握,并導(dǎo)向?qū)W科素養(yǎng).學(xué)習(xí)的本質(zhì)是理解學(xué)科思想,學(xué)會思維,創(chuàng)造新知.因此,設(shè)計(jì)真正能啟發(fā)學(xué)生思維,讓學(xué)生真正學(xué)會學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動顯得尤其重要.本文中以“因式分解(分組分解)”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與學(xué)科素養(yǎng).

1 課題分析

1.1 教學(xué)分析

“因式分解”是蘇科版七年級下冊第9章的內(nèi)容.初中階段,因式分解是代數(shù)式的恒等變形、解方程等的重要工具.因式分解內(nèi)容安排在整式乘法之后,目的是讓學(xué)生領(lǐng)會這兩種變形的互逆關(guān)系及各自的功能,避免二者混淆.前面幾節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了提公因式法因式分解,運(yùn)用平方差公式(兩項(xiàng))、完全平方公式法(三項(xiàng))因式分解,本節(jié)課主要解決四項(xiàng)多項(xiàng)式的因式分解問題.

1.2 學(xué)情分析

小學(xué)階段,學(xué)生學(xué)習(xí)了分解質(zhì)因數(shù);進(jìn)入初中,學(xué)生經(jīng)歷了由數(shù)到字母、由特殊到一般的過程,通過因式分解前面三節(jié)課的學(xué)習(xí),知道了因式分解與整式乘法之間的聯(lián)系,會運(yùn)用提公因式法、公式法因式分解.四項(xiàng)多項(xiàng)式的分組分解有幾種情況,學(xué)生不容易掌握,因此將其確定為本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn).

1.3 教學(xué)目標(biāo)

(1)學(xué)會觀察四項(xiàng)多項(xiàng)式的特征,能根據(jù)不同題目的特點(diǎn),選擇較合理的分組方法進(jìn)行因式分解.

(2)通過整式乘法逆推得出分組分解法因式分解的過程,發(fā)展逆向思維能力和推理能力.

(3)體會整式乘法與因式分解的對立統(tǒng)一關(guān)系.

2 教學(xué)過程

2.1 回憶舊知,引入課題

練習(xí)把下列多項(xiàng)式因式分解：

(1)25x2-100;

(2)x2(a-b)-y2(a-b);

(3)2x2y-x3-xy2;

(4)81x4-72x2y2+16y4.

教學(xué)說明：通過這四道小題,將學(xué)過的兩大方法作一個回顧與總結(jié).因式分解時,通常先看能否提公因式;提完后再看一下還有幾項(xiàng),對于剩下兩項(xiàng)或三項(xiàng)的分別觀察能否用兩種公式繼續(xù)分解;最后檢查分解是否徹底.這為接下來學(xué)習(xí)四項(xiàng)多項(xiàng)式的因式分解做好必要的知識鋪墊.

2.2 探究新知,四項(xiàng)溯源

類型1：兩項(xiàng)乘兩項(xiàng).

我們把多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則再來回顧一遍：

圖1

在計(jì)算(a+b)(c+d)時,注意先把(a+b)看成一個整體,即把多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成兩次運(yùn)用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則來處理,最后結(jié)果為四項(xiàng)(如圖1).下面請同學(xué)們一起總結(jié)這一種類型的多項(xiàng)式因式分解的步驟.第一步,兩兩結(jié)合,結(jié)合的原則是每一組都能提公因式;第二步,分別提出每一組的公因式;第三步,再提公因式,此時公因式是一個兩項(xiàng)的多項(xiàng)式.因式分解的最后結(jié)果是兩項(xiàng)乘兩項(xiàng).

類型2：三項(xiàng)乘三項(xiàng).

前面學(xué)習(xí)整式乘法時,教材上有一道例題是計(jì)算(x+y+4)(x+y-4),請同學(xué)們思考：如何運(yùn)用乘法公式迅速計(jì)算?學(xué)生答：把x+y看成一個整體,先運(yùn)用平方差公式計(jì)算,再運(yùn)用完全平方公式展開.教師追問：為啥結(jié)果恰好為四項(xiàng)?由平方差公式計(jì)算得到兩大項(xiàng),其中(x+y)的平方項(xiàng)再用完全平方公式展開,由“一項(xiàng)”變成三項(xiàng),最后的結(jié)果3+1,恰好也是四項(xiàng).那么滿足這種特征的四項(xiàng)多項(xiàng)式,你會因式分解嗎?請同學(xué)們說說你的想法.學(xué)生：也是分成兩組,但不像剛才那樣兩兩結(jié)合,而是有一個組合里放三項(xiàng),恰好是一個完全平方展開式,還有一項(xiàng)單獨(dú)一組(如圖2).先運(yùn)用完全平方公式,再用平方差公式因式分解,最后的結(jié)果一定是三項(xiàng)乘三項(xiàng).

圖2

類型3：兩項(xiàng)乘三項(xiàng).

剛才我們研究了兩項(xiàng)乘兩項(xiàng)、三項(xiàng)乘三項(xiàng)都有可能得到四項(xiàng)式這兩種情況.三項(xiàng)乘三項(xiàng)在不能合并同類項(xiàng)的情況下,結(jié)果應(yīng)該為九項(xiàng),但在滿足一些特殊構(gòu)造的情況下,很多項(xiàng)可以合并.那么,是否還有其他情況?大膽猜想一下：兩項(xiàng)乘三項(xiàng)有沒有可能得四項(xiàng)?在不能合并時,兩項(xiàng)乘三項(xiàng)結(jié)果應(yīng)該為六項(xiàng),從六項(xiàng)減少為四項(xiàng),少了兩項(xiàng),我們自然會聯(lián)想到哪種情況?學(xué)生：運(yùn)用平方差公式計(jì)算時,四項(xiàng)變成兩項(xiàng),減少了兩項(xiàng),其中有兩項(xiàng)正好抵消了.

利用平方差公式計(jì)算時也有技巧,要盡可能運(yùn)用公式,簡化運(yùn)算,而不是去套多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則.這里把a(bǔ)+b看成一個整體,第二個括號內(nèi)的a-b看成一個整體來計(jì)算.結(jié)合的原則是：能用平方差公式分解的結(jié)合在一起,還有兩項(xiàng)結(jié)合一般是能提公因式.

2.3 總結(jié)特征,科學(xué)分組

前面我們研究了三種類型的四項(xiàng)式,如果將一個四項(xiàng)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解,在不能提公因式的情況下,如何根據(jù)題目的特征,迅速找到合理的分組方案呢?對于四項(xiàng)多項(xiàng)式的因式分解,通常是先分成兩大組.有一種分組方式比較特別,它不是均衡地兩兩結(jié)合,而是其中的三項(xiàng)結(jié)合在一起,其他的情況大多都是兩兩結(jié)合.例如多項(xiàng)式a2-b2+ax+bx的特征,請同學(xué)們找找看.

學(xué)生：能找到兩個平方項(xiàng)的差,可以兩兩結(jié)合,分成兩組進(jìn)行分解(如圖3).

圖3

形如ac+bc+ad+bd的多項(xiàng)式?jīng)]有平方項(xiàng),在因式分解的時候當(dāng)然也就不可能運(yùn)用平方差或完全平方公式了,所以這種類型的多項(xiàng)式一定是兩次提公因式進(jìn)行因式分解,而且一定有兩種結(jié)合的方案,原則是能保證各小組可提取公因式.

2.4 例題教學(xué),實(shí)踐運(yùn)用

例把下列多項(xiàng)式因式分解：

(1)4xy-1-2x+2y;

(2)x2-2x-y2+2y;

(3)x2-1-y2+2y;

(4)x3-x2-x+1;

(5)x4+x3+x2-1;

(6)x5+2x4+x3-x.

教學(xué)說明：根據(jù)剛才探究的規(guī)律解決實(shí)際問題,引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)時先劃好平方項(xiàng),觀察數(shù)量、符號的異同,迅速判斷屬于哪一種類型.教學(xué)時,可以讓學(xué)生預(yù)判一下最后因式分解的結(jié)果是幾項(xiàng)乘幾項(xiàng).

2.5 總結(jié)回顧,完善結(jié)構(gòu)

學(xué)完了四項(xiàng)多項(xiàng)式的因式分解,請同學(xué)們完善因式分解的知識結(jié)構(gòu)圖.

教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生對因式分解內(nèi)容進(jìn)行整體回顧,并與整式乘法進(jìn)行比較,形成知識體系.

2.6 分層作業(yè),鞏固提升

練習(xí)1把下列多項(xiàng)式因式分解：

(1)a2-ab+ac-bc;

(2)2ax-10ay+5by-bx;

(3)2a-a2+6b+9b2;

(4)4x2-y2-4x+1;

(5)1-m2-n2+2mn;

(6)4y2-2y+3x-9x2.

練習(xí)2在計(jì)算形如(a+b)(a2+ab+b2)的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式時,先用多項(xiàng)式乘法法則展開,結(jié)果為六項(xiàng),其中有些項(xiàng)可以兩兩合并,最后結(jié)果也恰好為四項(xiàng).結(jié)合整式乘法的計(jì)算過程,思考：

(1)多項(xiàng)式a3+b3+3a2b+3ab2如何因式分解?

(2)多項(xiàng)式a3+b3+na2b+nab2(n≥2且為整數(shù))如何因式分解?

教學(xué)說明：練習(xí)1是鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,練習(xí)2讓學(xué)生自己再從整式的乘法開始,探究因式分解的方法,體現(xiàn)了對知識的發(fā)生及形成過程的深刻認(rèn)知.

3 教學(xué)思考

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)改灌輸為深度探究

傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)是給出三種類型的四項(xiàng)多項(xiàng)式,然后著重講解每一種類型多項(xiàng)式的因式分解方法,以及如何分組、如何提公因式或運(yùn)用公式,最后再配套習(xí)題進(jìn)行訓(xùn)練.這樣的設(shè)計(jì)割裂了新舊知識之間的關(guān)聯(lián).我們經(jīng)常埋怨學(xué)生的知識不成體系,孤立碎片化,遇到新問題思路打不開,其實(shí),根本的問題還是在課堂探究上,課堂教學(xué)設(shè)計(jì)沒有從源頭上掌握數(shù)學(xué)分析問題、解決問題的方法,簡單粗暴的訓(xùn)練僅僅讓學(xué)生掌握了一些淺表層的知識,而且隨著時間的推移還容易遺忘.本節(jié)課關(guān)注到多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式結(jié)果為四項(xiàng)的可能情況,緊緊圍繞新舊知識之間的聯(lián)系,展開深度探究,既較好完成了教學(xué)任務(wù),又再現(xiàn)了人類認(rèn)知新領(lǐng)域、解決新問題的科學(xué)方法,培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)和探究能力.深度課堂需要有深度的課堂教學(xué)設(shè)計(jì).“深度”不是增加知識的難度和廣度,而是設(shè)計(jì)要能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的前世今生、演化和生成過程.在深度探究過程中認(rèn)識和體會數(shù)學(xué)思想、方法的來龍去脈,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng),提升解決新領(lǐng)域新問題的綜合能力.

3.2 數(shù)學(xué)方法的背后要揭示本質(zhì)規(guī)律

之前在講四項(xiàng)多項(xiàng)式的因式分解時,因?yàn)閷Ρ举|(zhì)特征認(rèn)識不深刻,在教學(xué)中,讓學(xué)生去嘗試,去試錯,這樣分組不行再換一種結(jié)合的方式.其實(shí)是對四項(xiàng)式特征、四項(xiàng)式來源認(rèn)識不夠深刻.為什么分組時,有的是兩兩結(jié)合,有的是一三分組?有的是兩次提公因式,有的是運(yùn)用平方差、完全平方公式?受條件中什么因素控制?原來無論是運(yùn)用平方差還是完全平方公式至少都得有兩個平方項(xiàng),搞清楚本質(zhì)特征、規(guī)律,可以高效地進(jìn)行分組,可以對因式分解的結(jié)果進(jìn)行預(yù)判.通過關(guān)注四項(xiàng)式的生成過程以及因式分解的過程,得到因式分解的通法,即提公因式、反復(fù)提公因式,公因式有時是單項(xiàng)式,有時是多項(xiàng)式,所謂的公式法只不過是走了一個捷徑.比如運(yùn)用最簡單的平方差、完全平方公式進(jìn)行因式分解,如果我們沒有學(xué)過公式,那就要通過拆項(xiàng)、添項(xiàng)轉(zhuǎn)化成四項(xiàng)式,兩兩分組,兩次提公因式因式分解.

3.3 作業(yè)反饋再現(xiàn)課堂深度探究過程

課后的作業(yè)反饋,不僅僅是簡單操練本節(jié)課所學(xué)的知識點(diǎn)達(dá)到熟練的目的,掌握基礎(chǔ)知識是教學(xué)的基本表層目的,通過學(xué)科知識發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)和學(xué)科關(guān)鍵能力才是教學(xué)的根本目的.郭元祥教授指出：“知識之后”是對符號知識的超越和追問,是對知識所隱含的思想、意義、思維方式的深層追問.因此,作業(yè)設(shè)計(jì)不僅僅是讓學(xué)生掌握本節(jié)課必備的技能,更重要的是培養(yǎng)學(xué)生解決新問題的思維方式.兩項(xiàng)乘三項(xiàng)結(jié)果為四項(xiàng)的另一種情況的因式分解,放在課后讓學(xué)生通過整式乘法的計(jì)算過程探究因式分解的方法,是對學(xué)生思維品質(zhì)的鍛煉和提升,是技術(shù)主義取向基于知識處理對學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展和成長的關(guān)注.

總之,深度學(xué)習(xí),打造思維課堂,要改變以往的淺嘗輒止、追求短平快的速效課堂帶來的學(xué)生囫圇吞棗、食而不化的現(xiàn)象.這需要我們在教學(xué)設(shè)計(jì)上下功夫,在知識的生成上還原演化過程,在新舊知識的關(guān)聯(lián)處找切入點(diǎn),在知識運(yùn)用與遷移中把握本質(zhì)規(guī)律.因此,我們的教學(xué)設(shè)計(jì)要讓深度思維融入課堂教學(xué)的各個環(huán)節(jié),讓學(xué)生的核心素養(yǎng)落地生根,讓探究能力開花結(jié)果.