初中數學“后建構”課堂中問題鏈的設計研究*
——以二次函數最值問題為例

? 無錫市東絳實驗學校 陸金花? 無錫市太湖格致中學 陳 鋒

1 研究背景

2017年和2018年,江蘇省青年教師優秀課(初中數學)比賽別出心裁地分別從“前建構”和“后建構”兩個不同視角確定賽題,賽后蘇科版初中數學教材主編董林偉先生的總結中,創新性地提出了“后建構課”這一概念,由此引發了學界對“后建構課堂”這種新課堂組織形式的廣泛關注.

一般認為“前建構課堂”指的是在建構主義理論指導下的課堂教學,多為新授課;而“后建構課堂”指的是在新認知情境中重組或再構學生已有知識基礎,局部深入,以達到重建新的更為完整的認知結構的課堂教學.近年來逐漸興起的關于初中數學“后建構課堂”的課例研究,給目前乏善可陳的課堂研究注入了新活力.鐘鳴關于后建構課堂的章尾復習課展開一定的設計與應用;薛鶯基于單元復習設計和多元變式的應用提出關于“后建構課堂”的思考.不難發現,后建構課堂強調教師對知識的重新建構,即打亂原有的順序,重新建立知識體系,用一條主線將教師想要表達的內容串聯起來,在章節復習課和小專題課中作用尤為明顯.因此,筆者以兩個二次函數最值問題的專題課為例,嘗試分析與比較,借此探討并總結得出后建構課堂應用于初中數學專題課中的一些思考.

2 課例分析

后建構課堂注重知識技能再提升、思想方法再升華、活動經驗再積累和核心素養再落實,最重要的是重而不復,其關鍵之一則是需要厘清內容主線,逐步遞進,由一而終.本文中所展示的兩個二次函數最值專題課例,切入點有所不同,課堂整體結構和框架也大相徑庭,細想之下又覺自然,對最值的理解和內容的定位不同自然可以建構出不同的數學課堂.以下是課例正文.

課例一山重水復疑無路：三提“問”稍顯平庸

(1)復習舊知

問題1說一說,根據圖1你能獲得哪些信息?(頂點坐標、對稱軸、增減性……)

函數y=x2-2x-3圖1

函數y=-x2+2x+3圖2

問題2結合圖2,你能解決下列問題嗎?

當-1≤x≤0,x______ 時,函數有最大值;x______時,函數有最小值.

當0≤x≤2.5,x______時,函數有最大值;x______時,函數有最小值.

(2)知識應用

圖3

問題3數學來源于生活,生活中處處有數學,嘗試解決如下問題.

如圖3,通過測量發現,小明投籃時籃球沿拋物線軌跡行進,已知籃框在距離小明4.5 m遠,3.05 m高的地方.請同學們算一算籃球能達到的最大高度?

課例二柳暗花明又一村：三個“點”貫通主線

(1)課前提問

問題1拋物線是什么函數的圖象?

生：二次函數.

問題2函數圖象是由點組成的,點的運動形成圖象的高低變化,從而得到了函數的最值.動點問題涉及到的最值模型有哪些呢?

生1：定點與直線上點的連線段中,垂線段最短.

生2：圓上動點與直線上動點所連線段中,線段所在直線過圓心分別得線段的最小值和最大值.

問題3當拋物線上兩點都是動點,如何求兩動點所連線段的最小值?出示例題.

(2)課堂引入

【一個點】

圖4

問題1如圖4,請你在拋物線上找一點,使它到x軸的距離最小,最小值是多少?通過類比,可以提出一個有關點到直線距離的最值問題嗎?并求出點的坐標.

生1：能否在拋物線上找一點,使它到y軸的距離最小?

生2：能否在拋物線上找一點,使它到直線y=5的距離最小?

【兩個點】

問題2如圖5-1,連接BC,AC.P為直線BC上方拋物線上一個動點,過點P作PH平行于y軸,交直線BC于點H,求線段PH的最大值.

圖5-1

圖5-2

圖5-3

類比條件：改變條件PH平行于y軸,其余條件不變,提一個有關線段最大值的問題.

生3：如圖5-2,P為直線BC上方拋物線上一個動點,T為線段BC上一點,PT平行于x軸, 求線段PT的最大值.

生4：如圖5-3,P為直線BC上方拋物線上一個動點,G為線段BC上一點,PG⊥BC于點G, 求線段PG的最大值.

師：還可以這樣變(幻燈片展示),P為直線BC上方拋物線上一個動點,M為線段BC上一點,PM∥AC, 求線段PT的最大值.

(3)拓展延伸

【三個點】

圖6

問題3如圖6,P為直線BC上方拋物線上一個動點,你能提出一個與三角形面積有關的最值問題嗎?

生5：P為直線BC上方拋物線上一個動點, 求△PBC面積的最大值.

教師總結：今天我們研究了拋物線中的動點問題,從一個點,兩個點再到三個點,完成了最值問題中點—線—面的轉變.

3 “后建構”課堂中問題鏈設計的思考

中國著名數學家姜伯駒先生曾經說過：數學帶給他的最大收益,是學會了長時間思考,而不是匆忙地去處理問題.因此,以一定的邏輯思路,按照整體建構下的數學內容主線,展開一系列深入的問題,激發學生再一次的知識建構,實現前建構與后構建的完美配合,是順其自然的學習中必不可少的.針對以上兩個專題課例,補充幾點關于初中數學“后建構”課堂中問題鏈設計的思考.

3.1 借助問題鏈精準定位,自然建構認知

函數是中學數學代數部分研究的核心內容之一,也是學生學習數學感覺最困難的內容之一,但是在經歷了一次函數和反比例函數的學習后,學生對研究函數的基本過程“概念—性質—應用”已經非常熟悉,所以本節課是基于學生已有的對函數的認知結構和知識結構的一次后建構,借助問題鏈精準定位,旨在把二次函數最值的相關知識點聯系起來,使學生知識實現螺旋式增長,從而提升數學核心素養.課例一中問題鏈的價值定位于當自變量的取值范圍不同時,利用函數圖象求最值,通過系列問題鏈范圍實現對最值問題的內化理解和思維提升.課例二中問題鏈的價值則定位于最值問題在函數圖象動點問題中的應用,用一個點、兩個點和三個點,勾勒出線段的最值、三角形的面積最值等學生熟悉的最值問題,體現了知識間的聯系,同時也讓學生深刻地體會了數學思想方法的魅力.在整個教學過程中,系列問題鏈讓學生參與編題且加大了課堂的開放性,讓學生能更深入地參與到課堂中.二者雖然定位不同,但都體現了執教者對二次函數最值問題的思考和認識,案例一更適合作為學完整章內容后的專題復習,而案例二更適合學完二次函數的性質后的后建構專題課.

3.2 借助問題鏈精確引領,揭示教學本質

數學家波利亞指出：“好問題如同蘑菇,他們成堆生長,找到一個以后,你可以在周圍找一找,很可能附近就有好幾個.”后建構課堂常以問題鏈的形式將孤立的零散的知識點聯系起來,這樣既有利于學生的思考,也有利于問題的分析和最終解決.課例二的系列問題鏈很好地利用了這一形式,針對問題1、問題2,學生再提問,然后所有學生一起解決問題.學生在提問題的時候必然會想到和之前教師給出的問題之間的聯系,也必然會以之前的問題為起點,拾級而上,在變中揭示不變的問題本質.不管是教師給出問題還是學生提出問題,最后都會在參與課堂的所有人心中留下深刻的印象.課后再次回想,大腦中留下的不再是單一的題目,而是豐富的、有內涵的動點引發的最值問題.

3.3 借助問題鏈精細拓展,整體提升素養

后建構課堂不是單一的知識點的重復或再現,也不是刻意加深解題印象,更不是以中考為導向的習題訓練課,只求“解對”不求甚“解”,而是在整個課堂中盡量改善固化的教學環節,避免單一的解題方法熄滅學生數學思維的火苗.相較于課例一,課例二的系列問題鏈的設計不僅表現亮眼,而且在引導學生思考和解決問題上也更勝一籌.如在“三個點”這一環節求三角形面積的最值時,學生非常熟練地說出分割法,即“鉛垂直、水平寬”,但僅僅掌握這一方法,對學生來說是遠遠不夠的.解決方法多種多樣,各有利弊,沒有哪一種方法永遠最優.作為教師,要清楚地意識到課堂是提升學生思維的主陣地,如何引導學生提升思維的發散性,對于有限的四十五分鐘時間來說至關重要.學生經過長期的鍛練,必然能融會貫通,舉一反三.

4 結語

課堂是初中數學教學實踐的主陣地,如何設計一節融整體性、思維性、趣味性為一體的課堂是每個教師的共同追求,而后建構課堂為我們提供了一種參考方向,可以運用我們的智慧在這種框架結構上串聯起一個個問題形成的系列問題鏈,循序漸進,由淺入深.未來,“后建構課堂”不僅局限于專題課,在試卷講評課、實踐活動課和單元復習課等課型中,也都可以發揮其應有的作用.相信在潛移默化的后建構課堂中,學生能夠牢固掌握“四基”,在應用數學知識解決實際問題的過程中切實提高“四能”,最終在學習和應用數學的二次建構中整體完成數學學科核心素養的穩步提升.