基于正則化與恒星日濾波的BDS多路徑誤差削減方法

李新忠 熊永良 徐韶光

1 西南交通大學地球科學與環境工程學院,成都市犀安路999號,611756

多路徑誤差是GNSS高精度定位的重要誤差源,可通過選擇合適的觀測站位置、改進接收機硬件設備、數據后處理建模方法進行抑制。通過數據后處理建模方式消弱多路徑誤差可以歸納為時間域和空間域兩種。其中,時間域建模方法利用多路徑時域周期重復性特點削弱多路徑效應的影響,也被稱為恒星日濾波;空間域建模方法包括格網法[1]、球諧函數法[2]等。應用恒星日濾波有兩個關鍵的步驟:首先需建立多路徑提取模型,廣泛使用的有經驗模態分解(EMD)[3]、小波濾波[4]、Vondrak濾波[5]、Kalman 濾波[6]等技術;其次是確定多路徑誤差的重復時間(multipath repeat time,MRT)[7]。

針對BDS系統星座特性[8],本文提出一種正則化與恒星日濾波的多路徑誤差削減方法,基于重構后的載波相位單差殘差,利用Tikhonov正則化提取多路徑誤差序列,對每顆BDS衛星分別進行多路徑誤差改正,在自舉法的基礎上進一步優化正則化參數,并通過實驗驗證該方法的正確性和有效性。

1 理論模型

1.1 單差殘差重構

在短基線載波相位差分定位過程中,經過站間、星間差分后,認為衛星軌道誤差、衛星鐘差、接收機鐘差、電離層誤差、對流層誤差等可忽略不計。載波雙差觀測方程可表示為:

(1)

式中,?Δ為雙差算子,上標jk為衛星編號,下標rb為接收機編號,ρ為星地間幾何距離,N為載波整周模糊度,m為多路徑誤差,ε為觀測噪聲。

在靜態短基線場景下,多路徑誤差具有周期特征,可以使用恒星日濾波對多路徑誤差進行改正。恒星日濾波方法采用雙差殘差的算法更為成熟,但使用雙差的過程中需要解決參考衛星變化或丟失的問題;單差殘差則沒有這么多的限制,只涉及到站間差分的殘差,并且在進行多路徑改正時,只需參考自身衛星多路徑的重復周期。

因此,在獲取雙差殘差的基礎上,采用Alber提出的“零均值”理論[9],求取單差殘差:

Ds=d

(2)

(3)

式中,ωi為基準站、流動站上衛星i的權重系數。通常認為,多路徑誤差的大小受衛星高度角的影響,權重系數ωi由衛星i的高度角來確定,即可用ωi=sin2(θ)定權。

1.2 Tikhonov正則化建模

1.2.1 Tikhonov正則化建模提取多路徑

由前文可知,轉換后的單差殘差即為多路徑建模的原始數據,由多路徑誤差m和觀測噪聲ε組成?？梢员硎緸?

φi=mi+εi,i=1,2,…,n

(4)

式中,下標i為觀測歷元,φi為轉換后的單差殘差序列,mi為需要提取的多路徑序列,εi為觀測噪聲。為分離多路徑序列mi,構造正則化目標函數:

J(mi)=

(5)

式中,ωi為由衛星高度角確定的權重系數,α為正則化參數。式(5)為Tikhonov正則化一階差分模型,相關文獻對不同形式的目標函數進行了探討[10],其結果沒有明顯區別。本文僅利用一階差分模型,因此式(5)可用矩陣形式表示為:

J=(φ-m)TW(φ-m)+αmTRm

(6)

式中,W為權陣,W=diag(ω1,ω2,…,ωn),R為正則化矩陣,m為多路徑誤差。

要得到式(6)中的多路徑序列,其極值需滿足的必要條件可表示為:

(7)

1.2.2 正則化矩陣R的確定

正則化矩陣采用選取相鄰兩個多路徑誤差之差的平方和確定,即

(8)

則有:

R=GTG

(9)

通過式(7)可以估計出相應的多路徑序列。而在實際處理過程中,通常采用高斯消元法等矩陣分解算法提高數據處理效率。

1.2.3 正則化參數α的確定

正則化參數α用來調節殘差與約束項之間的平衡,參數值的選取對解的優劣性是敏感的,因此選擇合適的正則化參數顯得尤為重要。采用自舉法(bootstrap)對多路徑建模誤差進行評估,來獲得正則化參數[11]。候選正則化參數的集合為α={0.1,1,10,50,100,…},對于集合中的每個正則化參數,通過式(7)分別確定其對應的多路徑序列。定義以下歸一化殘差(載波相位單差殘差的殘差)為:

(10)

(11)

當b=0時,φ為原始載波相位單差殘差。定義誤差統計方法為:

(12)

正則化參數確定為:

(13)

為進一步優化正則化參數,本文提出一種循環選取正則化參數的方法(circle-bootstrap)。具體計算流程為:

5)輸出min{E(αi)}對應的正則化參數αopt。

2 數據處理與分析

為驗證北斗衛星軌道周期和多路徑周期的一致性及正則化方法的可行性,計算單差殘差并提取每顆衛星的多路徑模型,對基線結果進行評估。本文使用Curtin大學CUT0、CUTC站采集的觀測數據,測站距離7.99 m,接收機型號為TRIMBLE NETR9,時間為2022-08-19～26(doy231～238),采樣間隔為30 s,截止高度角設置為10°。利用GNSS數據處理軟件RTKLIB和MATLAB平臺實現本文方法。

在北斗衛星導航定位系統中,由于GEO與 IGSO衛星獨特的地球同步運行方式,致使其運行軌跡在相鄰2 d具有較好的重復性,這兩類衛星對應的軌道重復周期約為1個恒星日;MEO衛星的運行軌跡在相鄰2 d內沒有重復,而在間隔7 d后,此類衛星的運行軌跡卻存在著較強的相關性,所以MEO衛星對應的軌道重復周期約為7個恒星日。圖1展示了部分衛星在前后2個周期(doy237～238、doy231～238)的載波相位殘差,可以看出,對于GEO與IGSO衛星在doy237和doy238的載波相位單差殘差具有極大的相似性,這種相似性表現為相同衛星在相鄰2 d同一觀測時段內,第2天的單差殘差曲線以一定的時間提前量,與該衛星在第1天的單差殘差曲線表現出重復性。同樣,MEO衛星在doy231和doy238的載波相位單差殘差具有極大的相似性,但所對應的時間提前量明顯與GEO與IGSO衛星存在差異。

圖1 部分衛星在前后2個周期(doy237～238、doy231～238)的載波相位單差殘差

恒星日濾波的關鍵之一是準確估計多路徑重復時間。本文在軌道重復時間法(ORTM)基礎上,根據廣播星歷將1 d分為24個時段,利用每h的軌道參數分段估計多路徑誤差的重復時間(multipath repeat time,MRT),分段改正。圖2展示了所有衛星對應的平均MRT和各時段對應的MRT估計值可以看出,GEO和IGSO衛星單差殘差在相應周期內對應的多路徑誤差重復時間各不相同,平均MRT約為239 s;每h分段的最大MRT出現在C02衛星處,達到258 s,差值為19 s。對于MEO衛星來說,在相應周期內,此類衛星的單差殘差對應的平均MRT約為1 698 s;每h分段的最大MRT出現在C24衛星處,達到1 709 s,差值為11 s。因此,僅利用平均MRT并不能完全適應每個時段,這就體現出利用分段思想估計MRT的優越性。

圖2 所有衛星對應的平均和分段多路徑誤差重復時間

在正則化提取過程中,由于在目標函數里加入了平方殘差項,在本質上對異常值不是魯棒的。因此采用三次樣條插值對單差殘差進行預插值,以替換異常值和填充缺失的數據值,為后續提取多路徑提供高質量的數據。本文將利用自舉法選取正則化參數的方法記作TB方法,利用循環選取正則化參數的方法記作TC方法。圖3展示了C01(左)、C07(中)于doy237,C28(右)于doy231利用TB(圖3(a))、TC(圖3(b))和小波濾波(圖3(c))方法提取的多路徑誤差。從圖3(a)和3(b)可以看出,通過Tikhonov正則化方法提取多路徑信號是正確可行的,多路徑信號比原始載波相位單差殘差更具平滑性。利用TC方法提取的多路徑誤差略優于TB方法,即在利用Tikhonov正則化方法提取多路徑誤差時,應盡可能地獲取最優正則化參數,其結果更準確。

圖3 C01、C07于doy237,C28于doy231利用TB、TC和小波濾波方法提取的多路徑誤差

為體現方法的有效性,同時采用小波濾波方法進行數據分析,直觀地比較本文方法的相對性能。所選小波基函數為sym6,分解級數為4,濾波閾值使用MATLAB提供的默認閾值。從圖3(b)和3(c)可知,本文方法的去噪效果較好,提取的系統性多路徑誤差與殘差波動性一致,具有較好的保真度。同時,與經典的小波濾波相比,該方法提取的多路徑誤差曲線與小波濾波近似,濾波前后的載波相位殘差改善效果比小波濾波更優。

經上述過程后,就完成了恒星日濾波的2個關鍵步驟,即重復時間的計算和多路徑誤差的提取。因此,能夠將上一周期數據應用到當前周期,利用計算得到的時間提前量,從當前周期中減去前一周期建立的多路徑誤差。圖4展示了doy238對C04(左)、C06(中)、C19(右)應用TB、TC和小波濾波方法的恒星日濾波前后載波相位的SD殘差。由圖4(a)和4(b)可以觀察到,多路徑誤差得到有效抑制,濾波后的后驗單差殘差已經剔除原始單差殘差中的系統誤差,表現出隨機特性,效果較好的部分接近于白噪聲。從圖4(b)和4(c)中可以看出,正則化方法的效果略優于小波方法,進一步驗證了本文方法的有效性。

圖4 C04、C06和C19于doy238應用TB、TC和小波濾波方法恒星日濾波前后的載波相位SD殘差

doy238恒星日濾波緩解多路徑誤差前后載波相位單差殘差的均方根和改進量如圖5所示,可以看出,所有可見衛星對TB、TC和小波濾波的平均改進百分比分別為33.9%、40.5%和32.6%。鑒于BDS獨特的星座特性,分別統計每類衛星的改進量:對于GEO衛星,采用TB、TC和小波濾波方法,平均改進量分別為37.9%、45.9%、36.7%;對于IGSO衛星,采用3種方法的平均改進量依次為30.5%、38.2%、26.4%;對于MEO衛星,采用3種方法平均改進33.3%、37.5%、34.5%。由此可以得出,采用TC方法應用恒星日濾波后,改進效果最佳。另外,對于GEO衛星的多路徑改進的效果較其他兩類衛星更為顯著。

圖5 doy238恒星日濾波前后載波相位單差殘差的均方根和改進量

多路徑緩解后模糊度固定成功率的提高將進一步證明本文方法的優越性。doy238多路徑誤差改進前后的模糊度固定成功率如表1所示,經過恒星日濾波多路徑緩解后,TB、TC和小波濾波方法的模糊度固定成功率分別提高7.9%、8.2%、8.1%。

表1 doy238多路徑誤差改正前后模糊度固定成功率對比

doy238多路徑誤差改正前后均方根如表2所示,可以看出,N、U方向定位精度較E方向高,定位結果較優。3種方法改正效果都非常顯著,經過TB、TC和小波濾波后,E、N、U方向改進分別為23%、26.3%、41.7%,24.8%、26.3%、42.7%和22.4%、23.7%、41.7%。總體上TC方法的多路徑誤差改正效果更優。

表2 doy238多路徑誤差改正前后均方根對比

3 結 語

在靜態或準靜態場景中,多路徑誤差在某種程度上是具有系統性的,而不純粹是隨機的,應該將其視為一種信號,而非噪聲?；谶@一事實,可以借助重復性特征對其進行經驗性建模。本文針對北斗衛星獨特的運行方式,基于重構后的載波相位單差殘差,利用Tikhonov正則化提取多路徑誤差序列,對每顆BDS衛星分別進行多路徑誤差改正,進一步優化正則化參數,并通過實驗驗證該方法的正確性和有效性。準確估計多路徑重復時間是恒星日濾波的關鍵步驟之一。利用每h軌道參數分段估計的多路徑誤差重復時間略優于ORTM方法。利用Tikhonov正則化方法正確提取多路徑信號是可行的,多路徑誤差與原始殘差相比更具平滑性,并且利用TC方法提取的多路徑誤差要優于TB方法,這意味著應用Tikhonov正則化方法時,應盡可能估計出最優正則化參數。對于載波相位單差殘差,采用本文方法后,所有可見衛星在第2天的RMS平均提高40.5%;坐標殘差E、N、U方向分別提高24.8%、26.3%和42.7%。