10個人打水，如何排隊總時間最少

李井奎

在計劃經濟時代，由于物資短缺，排隊現象非常普遍，以至于排隊問題都驚動了當時的大數學家華羅庚。華羅庚先生也在這個問題上提出不少解決辦法，包括他特別提倡的統籌方法。

首屆華羅庚數學競賽小學組，就有這樣一道據說是華羅庚先生出的關于“排隊”的題目：10個人拎著水桶排隊在打水，10個水桶大小不一，請問他們該如何排隊，才能使排隊總時間最少？

我小女兒才六歲，她張口說應該讓大桶排后面、小桶排前面。我很驚奇，因為她這個答案是對的，盡管她只是猜的。

我們來用反證法證明我女兒這個答案是對的：只要不是按照從小到大，就會有挨著的兩個桶，大桶在小桶前面，假設大桶需要時間是T，小桶需要時間是t，當然T大于t。只要讓這兩個人調換一下位置，就可以節省T-t的時間。可見，只要不是按照從小到大排，就不是最優方案。

但是，這個從數學上看起來是最優的方案，一旦人們站好了排隊取水的位次，你讓他們按照你說的這個方案來實施，是不是對每個人都好呢？

遺憾的是，對于所有人而言的這個所謂“最優”，對于具體的個體來說，很可能并非如此。如果我拎的是最大的那個桶，已經排在了第一位，你讓我哪怕稍微跟后面一位換一換，這對我來說也是一種損害。

經濟學中有一個概念，叫做帕累托最優配置。意思是說，如果一個資源配置狀態在不使任何其他人的福利受損的情況下，就不能使你的福利得到改善，那么，這種狀態就是帕累托最優配置狀態。

按照這個概念，前面這一段所講的那種數學上用時最短的狀態，就不一定是帕累托最優配置狀態，因為雖然你從數學上證明從小桶排到大桶是最優的，但只要不是一開始人們就處于這種狀態，我們是無法在不使得任何人的排隊時間不增加的情況下，而使這種數學上的最優狀態得到實現。要解決這個問題，有幾個辦法。

第一個，就是假設存在一個絕對的獨裁者，他來做決定，讓人們按照從小桶到大桶去排隊。單純從這個排隊取水問題上來說，這個方法是可以帶來最短排隊時間的。

第二個，是假定使用簡單多數投票原則，只要多數人投票同意，就可以改動人們的排隊位次。比如我排在第一位，那么，大家投票讓我去最后一位，這樣贊成票會有9張，反對票可能就我這一張。然后再依次投別人的票，基本上可以保證多數原則下投票投出的結果與上述的最短時間排隊方案相一致。

除了這兩種政治意味很濃厚的方法之外，還有一個經濟學上的交易方法，從這里我們可以看到，自由交易在增進社會總價值上多么重要。

假如排隊者的每一分鐘時間值1毛錢，原來20分鐘的大桶排在10分鐘的小桶前面，拎小桶的人提出與拎大桶的人交換位置，給他1.5元錢作為補償。這樣一來，拎小桶的人可以節省20分鐘，雖然他付出了1.5元，但還是節省了5分鐘的價值。拎大桶的人確實是多等待了10分鐘，但他得到了1.5元，相當于賺到了5分鐘的價值。

如果各人對于時間的估價差別不大，這種交易仍然可以得到數學上最短的排隊時間結果。但是，如果有人對時間估值很高，情況就會是他們付錢給那些對時間估值不高的人，從而不見得使排隊時間最短，但這樣做卻可以使得社會總的價值最大。

不要小看排隊的學問，某種意義上說，這個排隊取水的問題，蘊含著“阿羅不可能性定理”“福利經濟學第一定理”這類高深的學問。由此可見，那些被許多人所抨擊的看似高深而無用、充滿著數學證明的經濟學定理，其實，它們所研究的現象，遍布于我們周圍的市井生活之中，只要我們深入想一想，這其中的道理并不難懂。

（摘自《南風窗》）