10個(gè)人打水，如何排隊(duì)總時(shí)間最少

李井奎

在計(jì)劃經(jīng)濟(jì)時(shí)代，由于物資短缺，排隊(duì)現(xiàn)象非常普遍，以至于排隊(duì)問(wèn)題都驚動(dòng)了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家華羅庚。華羅庚先生也在這個(gè)問(wèn)題上提出不少解決辦法，包括他特別提倡的統(tǒng)籌方法。

首屆華羅庚數(shù)學(xué)競(jìng)賽小學(xué)組，就有這樣一道據(jù)說(shuō)是華羅庚先生出的關(guān)于“排隊(duì)”的題目：10個(gè)人拎著水桶排隊(duì)在打水，10個(gè)水桶大小不一，請(qǐng)問(wèn)他們?cè)撊绾闻抨?duì)，才能使排隊(duì)總時(shí)間最少？

我小女兒才六歲，她張口說(shuō)應(yīng)該讓大桶排后面、小桶排前面。我很驚奇，因?yàn)樗@個(gè)答案是對(duì)的，盡管她只是猜的。

我們來(lái)用反證法證明我女兒這個(gè)答案是對(duì)的：只要不是按照從小到大，就會(huì)有挨著的兩個(gè)桶，大桶在小桶前面，假設(shè)大桶需要時(shí)間是T，小桶需要時(shí)間是t，當(dāng)然T大于t。只要讓這兩個(gè)人調(diào)換一下位置，就可以節(jié)省T-t的時(shí)間。可見(jiàn)，只要不是按照從小到大排，就不是最優(yōu)方案。

但是，這個(gè)從數(shù)學(xué)上看起來(lái)是最優(yōu)的方案，一旦人們站好了排隊(duì)取水的位次，你讓他們按照你說(shuō)的這個(gè)方案來(lái)實(shí)施，是不是對(duì)每個(gè)人都好呢？

遺憾的是，對(duì)于所有人而言的這個(gè)所謂“最優(yōu)”，對(duì)于具體的個(gè)體來(lái)說(shuō)，很可能并非如此。如果我拎的是最大的那個(gè)桶，已經(jīng)排在了第一位，你讓我哪怕稍微跟后面一位換一換，這對(duì)我來(lái)說(shuō)也是一種損害。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中有一個(gè)概念，叫做帕累托最優(yōu)配置。意思是說(shuō)，如果一個(gè)資源配置狀態(tài)在不使任何其他人的福利受損的情況下，就不能使你的福利得到改善，那么，這種狀態(tài)就是帕累托最優(yōu)配置狀態(tài)。

按照這個(gè)概念，前面這一段所講的那種數(shù)學(xué)上用時(shí)最短的狀態(tài)，就不一定是帕累托最優(yōu)配置狀態(tài)，因?yàn)殡m然你從數(shù)學(xué)上證明從小桶排到大桶是最優(yōu)的，但只要不是一開(kāi)始人們就處于這種狀態(tài)，我們是無(wú)法在不使得任何人的排隊(duì)時(shí)間不增加的情況下，而使這種數(shù)學(xué)上的最優(yōu)狀態(tài)得到實(shí)現(xiàn)。要解決這個(gè)問(wèn)題，有幾個(gè)辦法。

第一個(gè)，就是假設(shè)存在一個(gè)絕對(duì)的獨(dú)裁者，他來(lái)做決定，讓人們按照從小桶到大桶去排隊(duì)。單純從這個(gè)排隊(duì)取水問(wèn)題上來(lái)說(shuō)，這個(gè)方法是可以帶來(lái)最短排隊(duì)時(shí)間的。

第二個(gè)，是假定使用簡(jiǎn)單多數(shù)投票原則，只要多數(shù)人投票同意，就可以改動(dòng)人們的排隊(duì)位次。比如我排在第一位，那么，大家投票讓我去最后一位，這樣贊成票會(huì)有9張，反對(duì)票可能就我這一張。然后再依次投別人的票，基本上可以保證多數(shù)原則下投票投出的結(jié)果與上述的最短時(shí)間排隊(duì)方案相一致。

除了這兩種政治意味很濃厚的方法之外，還有一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)上的交易方法，從這里我們可以看到，自由交易在增進(jìn)社會(huì)總價(jià)值上多么重要。

假如排隊(duì)者的每一分鐘時(shí)間值1毛錢(qián)，原來(lái)20分鐘的大桶排在10分鐘的小桶前面，拎小桶的人提出與拎大桶的人交換位置，給他1.5元錢(qián)作為補(bǔ)償。這樣一來(lái)，拎小桶的人可以節(jié)省20分鐘，雖然他付出了1.5元，但還是節(jié)省了5分鐘的價(jià)值。拎大桶的人確實(shí)是多等待了10分鐘，但他得到了1.5元，相當(dāng)于賺到了5分鐘的價(jià)值。

如果各人對(duì)于時(shí)間的估價(jià)差別不大，這種交易仍然可以得到數(shù)學(xué)上最短的排隊(duì)時(shí)間結(jié)果。但是，如果有人對(duì)時(shí)間估值很高，情況就會(huì)是他們付錢(qián)給那些對(duì)時(shí)間估值不高的人，從而不見(jiàn)得使排隊(duì)時(shí)間最短，但這樣做卻可以使得社會(huì)總的價(jià)值最大。

不要小看排隊(duì)的學(xué)問(wèn)，某種意義上說(shuō)，這個(gè)排隊(duì)取水的問(wèn)題，蘊(yùn)含著“阿羅不可能性定理”“福利經(jīng)濟(jì)學(xué)第一定理”這類高深的學(xué)問(wèn)。由此可見(jiàn)，那些被許多人所抨擊的看似高深而無(wú)用、充滿著數(shù)學(xué)證明的經(jīng)濟(jì)學(xué)定理，其實(shí)，它們所研究的現(xiàn)象，遍布于我們周圍的市井生活之中，只要我們深入想一想，這其中的道理并不難懂。

（摘自《南風(fēng)窗》）