高中數學教科書建模情境分析

鐘曉翠 張昆

摘? ? ? 要

數學建模是高中數學課程改革的重點內容，而問題情境是數學建模內容的主要載體。以人教A版、滬教版高中教科書為研究對象，從“內容分布”“類型及數量”“真實性水平”“表征特征”“建模層次”5個維度比較兩版教科書數學建模問題情境，研究發現如下幾項特點：兩版教科書中數學建模問題情境的內容分布相對集中；各類問題情境下多少不等，較少滲透“數學文化情境”；滬教版注重真實性水平中的“純現實情境”，而人教版更關注“真實情境”；表征特征相對突出“復合型表征”，對“綜合型表征”運用極少；人教A版重視“理解模型”，滬教版則更關注“建構模型”。據此得出數學建模問題情境在教科書編寫與教師教學方面的四點建議。

關 鍵 詞

高中數學教科書；數學建模；問題情境

引用格式

鐘曉翠，張昆.高中數學教科書建模情境分析[J].教學與管理，2024（06）：78-81.

一、研究背景

數學建模是將數學知識運用于其他研究領域的基本手段，不僅成為信息時代專業人才的必備技能，更成為數學教育領域不可或缺的教學內容[1]。數學建模問題情境則是學生學習數學建模的主要載體，它們從各個維度刻畫著數學建模的全貌，并蘊含著豐富的數學素養[2]。近年來，隨著數學核心素養概念的提出，設置合適的數學問題情境是培養學生發現問題、綜合運用知識、數學創造性思維等能力的優質教學資源，啟發學生處理情境任務獲得處理活動的經驗，已成為數學教學改革的重要議題[3]。因此，針對問題情境的整體特性進行深層次刻畫的研究受到數學教育界廣泛關注。陳志輝在Yeping Li等研究基礎之上，將數學情境劃分為6種類型，并將每類數學情境的分析因素確定為數學特征、表征特征和任務特征3個維度，提出了描述數學問題情境水平的六情境三維特征分析模型[4]。陳敏等關注學生在解決數學問題時，情境的構成對于認知所產生的正向或負向影響，由此提出了背景素材特征、語境呈現方式、語境干擾程度、任務挑戰水平4個維度的數學問題情境分析框架[5]。李保臻等通過對數學建模問題情境的內涵分析，從內容分布及編排、類型及數量、真實性水平、表征特征4個維度建立高

中教科書中數學建模問題情境比較分析框架[6]。

這些文獻對于本研究的選題、確定研究框架與形成研究過程都具有幫助，但是從數學建模的角度深層刻畫數學建模問題情境的研究較為少見。因此筆者在李保臻等數學建模問題情境分析框架的基礎之上，參考吳凌菲等對建模層次的劃分[7]，重新思考“建模層次”情境分析的必要維度，建立數學建模問題情境的五維特征分析框架。

二、研究設計

1.研究對象

人教A版（2019年）是與最新版《普通高中數學課程標準（2017版）》相配套的教科書，在國內具有廣泛的影響力。滬教版（2020年）是基于地方課程標準編寫的教科書，充分體現了“國家標準、上海特色、國際水平”的特點。因此選取了經過國家教材委員會審核通過的，分別由人民教育出版社于2019年出版以及上海教育出版社于2020年出版的普通高中數學教科書（分別簡稱為人教A版、滬教版）為研究對象。

2.分析框架

為了提高教科書中數學建模問題情境分析的可操作性，筆者參考了李保臻等人的數學建模問題情境分析框架，以及吳凌菲等人的建模層次劃分標準。在此基礎上，從五個主要維度展開分析：一是問題情境的“內容分布”維度，以揭示不同主題或知識點的布局和關聯；二是問題的“類型和數量”維度，以剖析各類題目的占比；三是問題情境的“真實性水平”維度，以評估其與現實生活相關程度及可信度；四是問題情境的“表征特征”維度，以識別其包含的各種文字、圖像和表格數據等表征方式的多元性；五是“建模層次”維度，以理解問題情境中涉及的數學模型和建模方法的復雜性和系統性。這樣的多維度分析能夠更全面、更系統地分析數學建模問題情境，同時對每個維度又進行水平劃分，以此建立數學建模問題情境的五維特征分析框架（見表1）。

表1? ?數學建模問題情境的五維特征分析框架

下面以滬教版“誘人的優惠券”的問題情境為例進行分析。

近年來，“雙十一”演變成為一年一度的購物狂歡節。從2009年開始，“雙十一”購物規則的復雜度不斷增大，而面對商家復雜的優惠規則，消費者都嘗試用足優惠。最近，某商家推出三種優惠券，分別是滿199元減20元、滿299元減50元、滿499元減110元。這些優惠券之間不可疊加使用，但它們可以與滿400元減50元的購物津貼同時使用（如圖1）。此外，這兩類優惠券有使用順序，必須先使用商家優惠券，再使用購物津貼。

圖1? ?優惠券與購物津貼

根據五維特征分析框架中的各個維度對該案例進行深入剖析。首先，這個案例內容分布在滬教版必修第四冊第1部分第2節數學建模案例（二）；其次，它以生活中的一個常見場景“電商平臺使用優惠券”為背景，因此可以歸類為“生活情境”；再次，由于案例中使用的商家數據沒有明確出處，所以它屬于“準真實情境”；然后，這個情境的設計融合了故事情節和插圖，因此可以確定為“復合型表征”；最后，該情境需要我們運用所學的函數知識來構建新的數學模型，從而研究并解決問題，因此，我們可以將它歸類為“建構模型”的層次。

三、研究分析

基于數學建模問題情境的五維特征分析框架，系統解析人教A版和滬教版中數學建模問題情境內容的設置特色。

1.內容的分布

由表2可知，兩版教科書的數學建模問題情境內容在必修和選擇性必修中都有所涉及，但它們的分布特點各不相同。人教A版主要集中在“函數應用模型”和“統計模型”這兩個方面，比較注重這兩種模型在實際問題中的應用，而滬教版則主要分布在必修第四冊和選擇性必修第三冊的數學建模專題冊中，更注重數學建模的專題性和系統性。此外，滬教版也在課后閱讀、探索與實踐等欄目中散布了一些數學建模的實例，突出了其在實際問題中的應用性和實踐性。

表2? ?兩版教科書數學建模問題情境的內容分布

2.類型及數量

根據五維特征分析框架，對兩版教科書中數學建模問題情境的類型及數量進行了統計和分析，以剖析各類題目的占比（見表3）。

表3? ?兩版教科書問題情境類型及數量統計

由表3可知，人教A版和滬教版在“生活情境”占比上差異顯著，人教A版為24.24%，滬教版高達42.11%。兩版教科書都注重與日常生活問題相關的數學建模問題情境。在“文化情境”方面，兩版教科書占比均較低，需要適當增加數學文化、人文藝術以及中國傳統文化方面的內容。在“社會情境”和“科學情境”方面，人教A版和滬教版的占比均比較接近，表明兩版教科書在設置與社會、自然科學相關的數學建模問題情境方面有相似之處。但通過進一步的分析，在“社會情境”中人教A版更關注模型的應用，而滬教版則注重優化類問題。

3.真實性水平

根據五維特征分析框架，從“真實性水平”的4個層次統計兩版教科書中數學建模問題情境以評估其與現實生活相關程度及可信度（見表4）。

表4? ?兩版教科書問題情境真實性水平統計

由表4可知，人教A版和滬教版在數學建模問題情境的真實性水平上存在一定差異。在“構造式情境”方面，兩版教科書都注重對問題情境進行數學化分析和處理以適應學生數學建模學習的特點，占比分別為30.30%、29.82%。在“準真實情境”方面，滬教版更注重設置接近真實情境的問題情境，占比相對較高。在“真實情境”方面，人教A版更注重將現實生活、歷史文化和數學緊密聯系起來，設置真實的數學建模問題情境，占比高達51.52%。在“純現實情境”方面，滬教版因有獨立的數學建模分冊，方便師生參考實踐，故占比較高。

4.表征特征

根據五維特征分析框架，對兩版教科書中數學建模問題情境的“表征特征”進行統計分析，以識別情境中包含的各種文字、圖像和表格數據等形式的多元性（見表5）。

表5? ?兩版教科書問題情境表征特征統計

由表5可知，人教A版教科書在“單一型表征”上比例較高，達到42.42%，較為依賴單一故事情節呈現內容。而滬教版則相對較少使用這種形式，更注重多樣性。兩版教科書都注重“復合型表征”，將故事情節與插圖、表格結合，豐富呈現數學建模問題情境。但在“綜合型表征”上，兩版教科書都使用較少，需加強綜合運用多種方式表述問題。總體而言，人教A版更注重傳統故事情節的表述，滬教版則更注重表述的多樣性。兩版教科書在“復合型表征”方面表現較好，但在“綜合型表征”方面需改進。

5.建模層次

根據五維特征分析框架，對兩版教科書中數學建模問題情境建模層次的3個水平進行統計分析，以理解問題情境中涉及的數學模型和建模方法的復雜性和系統性（見表6）。

表6? ?兩版教科書問題情境建模層次統計

由表6可知，人教A版和滬教版中“理解模型”占建模層次總數的比例分別為45.45%、31.58%，人教A版中“理解模型”的占比最高，而滬教版相對較少。進一步分析發現，人教A版“理解模型”最多的原因是其數學建模問題情境多呈現在“練習”和“習題”欄目中，數量較多。兩版教科書中“應用模型”的占比分別為34.85%、22.81%，“應用模型”在各自教科書的建模層次中均處在次要位置，說明兩版教科書在學生能否篩選出合適的模型解決需要運用多種知識的常規性問題方面不夠重視。兩版教科書中“建構模型”的占比分別為19.70%、45.61%，人教A版中“建構模型”占比最少，滬教版中占比最高。說明人教A版提供給學生進行完整的數學建模活動的機會較少，這不利于從數學建模整體角度上培養學生的核心素養，而滬教版有專門的數學建模專題冊，形成完整的建模知識體系，有利于學生數學建模素養的整體培養。

四、結論與建議

人教A版和滬教版教科書中數學建模問題情境內容的“內容分布”“類型及數量”“真實性水平”“表征特征”“建模層次”的分析說明了它們在數學建模問題情境設置上的特點。通過對人教A版和滬教版中數學建模問題情境類型和情境水平的比較分析，說明它們在建模問題情境設置上的共性和差異。研究發現：（1）兩版教科書中數學建模問題情境的內容分布較為集中，其中人教A版主要涉及“函數應用模型”和“統計模型”兩個方面，滬教版則主要分布在數學建模專題冊內。（2）在情境類型與數量方面，各類型問題情境下多少不等，人教A版更側重“社會情境”，而滬教版則側重“生活情境”，且兩版教科書對數學文化情境滲透較少。（3）在真實性水平方面，人教A版注重“真實情境”水平，對“純現實情境”水平關注較少，滬教版則關注較多。（4）在表征特征方面，人教A版與滬教版更突出“復合型表征”，對“綜合型表征”的應用較少。（5）在建模層次方面，滬教版更關注“建構模型”，但人教A版卻反之。

1.教學建模問題情境應貫穿高中數學始終

教科書中應確保數學建模知識覆蓋全面。通過上述對比發現，人教A版數學建模內容集中在“函數應用模型”及“統計模型”方面，使其在自始至終且循序漸進的建模問題情境內容方面略有不足，而滬教版有專門的建模專題冊，形成完整的建模知識體系，但其建模情境也較為零散，不利于學生深入透徹地理解數學建模。教科書的編寫可通過系列的數學建模問題情境，聯系必修、選擇性必修及選修內容，幫助學生構建螺旋上升知識體系。以此促進學生對數學建模的理解和應用，提高數學素養和解決問題的能力。

2.教科書應適當增加數學建模文化情境

教科書在設置數學建模問題情境時，應考慮情境類型的平衡。人教A版和滬科版教科書的“文化情境”在情境類型與數量上的占比都是最小的，這不利于培養學生的數學文化素養。因此，高中數學教科書可以從中華優秀傳統文化等方面入手，適當增加數學建模文化情境的數量，培養學生的數學文化素養。

3.教科書應提高數學建模問題情境的真實性

人教A版中的“真實情境”數量較多，表現出對數學與現實生活聯系的重視，但“純現實情境”相對較少，可能導致學生在學習過程中感到數學建模距離自己較為遙遠。而滬教版的“純現實情境”占比相對較高，學生可以自主探究以及實踐參與可行的“純現實情境”問題解決過程，以此培養創新意識與科學精神，并更深刻地感悟數學的價值。

4.教師在教學中應幫助學生提高閱讀質量和理解效果

人教A版在單一型表征方面較為突出，但復合型表征和綜合型表征方面略顯不足；滬教版在復合型表征方面表現較好，但綜合型表征方面仍有待提高。在編寫教科書時，可考慮使用多種方式呈現數學建模問題情境，提高內容的豐富性和多元性，同時教師應根據高中教科書和實際教學內容、學生的認知水平，靈活運用多種表征方式，提升學生對數學建模問題情境的理解和興趣。

參考文獻

[1] 黃健，徐斌艷.國際視野下數學建模教與學研究的發展趨勢——基于第14屆國際數學教育大會的分析[J].數學教育學報，2023，32（01）：93-98.

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A數學素養的視角[J].上海教育科研，2016（09）：46-49+54.

[7] 吳凌菲，胡典順.2021年高考試題數學建模素養考查情況探析[J].教學月刊·中學版（教學參考），2022（Z1）：22-27.

[作者：鐘曉翠（1991-），女，廣東廣州人，淮北師范大學數學科學學院，碩士生；張昆（1965-），男，安徽合肥人，淮北師范大學數學科學學院，中學高級教師，博士。]

【責任編輯? ?王澤華】