楊輝三角的“前世今生”

黃 雨 蘇里陽

(1.淮南第二中學 2.淮南市教研室)

楊輝三角是我國數學史上一顆璀璨的明珠,是我國為數不多的居于世界前列的數學成就,它的發現比歐洲的帕斯卡三角形早了近600年,是非常值得中華民族自豪的.而今天的數學學習者中大多數人已經不知道楊輝三角的發現者是誰,對楊輝三角的知識背景知之甚少.人教A版教材選擇性必修三第39頁有個專題是《楊輝三角的性質及應用》,但由于教師和學生的不重視,忽視對中國傳統文化的繼承和發揚,導致最近的一次數學測試中,命題者問楊輝三角是誰發現的,92.8%的人憑慣性思維選擇是楊輝,一個5分的選擇題,平均分僅有0.36分.故筆者認為有必要在這里探討一下楊輝三角的知識背景、性質及應用.

一、爭論

學術界和網絡上都存在著對楊輝三角發現者的爭論,有人認為是楊輝、有人認為是賈憲、還有人認為要早于賈憲.

首先我們要明白一個規則:史學家研究歷史通常來自兩個方面,一個是文字,一個是文物.既無文字記載,又無文物印證,僅憑猜測和想象是無效的.

楊輝三角原本叫“開方作法本源”圖(如圖1(1)),由元代數學家朱世杰推廣成“古法七乘方圖”(如圖1(2)),近代數學家華羅庚等人稱其為楊輝三角.南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中曾記載“出釋鎖算書,賈憲用此術”.此段話記載在明《永樂大典》中,因為八國聯軍的入侵,《永樂大典》所抄錄楊輝原著被掠走,今存英國劍橋大學博物館,國內僅存楊氏專著數十頁.

圖1(1)

賈憲,北宋人,身世所知甚少,有文字記載:近世司天算,師從楚衍,運算亦妙,有書傳于世.賈憲的學術專著久佚,幸賴南宋楊輝所著算法較多,保存了很多賈憲的方法,如釋鎖開方與增乘開方.賈憲開方作法本源圖,恰是二項六次式的展開式系數表,圖下有五句話說明,“左袤乃積數,右袤乃隅算.中藏者皆廉,以廉乘商方,命實而除之.”大體說,賈憲是用這張表所示系數借以開方,所以他名此表為“開方作法本源”,這些名詞在釋鎖開方中也都出現過.

從上述文獻中我們可以發現,現有史料中有明確記載的就是賈憲首先使用了“開方作法本源”,并為之命名.

二、性質

楊輝三角有很多有趣的性質,筆者就常見并重要的性質結合組合數的運算進行分析.其中m,n∈N.

圖2

圖3

圖4

圖5

5.將楊輝三角左對齊,對角線求和得到斐波那契數列,如圖6.

圖6

斐波那契(Fibonacci,約1175—1250),中世紀意大利數學家,是西方第一個研究斐波那契數的人,并將現代書寫數和乘數的位值表示法系統引入歐洲.

圖7

7.將楊輝三角中的奇數涂黑,得到謝爾賓斯基三角形,如圖8.

圖8

8.除了第二層自然數列包含了素數以外,其他部分的數字都完美避開了素數,如圖9.

圖9

9.可以被特定數整除的數字形成了奇妙的分形結構.如圖10(1)—(4),分別是能被2,3,4,5整除的數涂黑后的分形結構圖.

圖10(1)

圖11

三、應用

【例1】如圖12,在楊輝三角中,斜線l的上方從1按箭頭所示方向可以構成一個“鋸齒形”數列:1,3,3,4,6,5,10,…,則這個數列的第19項為

圖12

( )

A.55 B.110 C.58 D.220

【點評】本題利用了楊輝三角的第4條性質,斜向第三列為三角形數列,易解.

【例2】楊輝三角中的第5行除去兩端數字1以外,均能被5整除,則具有類似性質的行是

( )

A.第6行 B.第7行

C.第8行 D.第9行

【解析】由題意,第6行為:1 6 15 20 15 6 1,第7行為:1 7 21 35 35 21 7 1,

故第7行除去兩端數字1以外,均能被7整除,故選B.

【點評】本題利用了楊輝三角的第9條性質,易解.

【例3】以下數表源于“楊輝三角”的原理,該表由若干行數字組成,從第二行起,每一行的數字均等于其肩上兩數之和,表中的最后一行僅有一個數為

( )

1 2 3 4 5 …… 2013 2014 2015 2016
3 5 7 9 ………… 4027 4029 4031
8 12 16 ……………… 8059 8060
20 28 …………………… 16116

A.2017×22015B.2017×22014

C.2016×22015D.2016×22014

【解析】由題意,共有2 016行,第1行的第1個數字為(1+1)×2-1,第2行的第1個數字為(2+1)×20,第3行的第1個數字為(3+1)×21,…,第2 016行的第1個數字為(2016+1)×22014,故選B.

【點評】類比得到楊輝三角性質的過程,進行歸納推理,得出結果.

【例4】如圖13所示是豎直平面內的一個“通道游戲”,圖中豎直線段和斜線段都表示通道,并且在交點處相遇.若有一條豎直的線段為第一層,第二條豎直線段為第二層,以此類推.現有一顆小球從第一層的通道向下運動,在通道的交叉處,小球可以落入左右兩個通道中的任意一個,記小球落入第n層的第m個豎直通道(從左往右計)的不同路徑數為A(n,m)(m,n∈N*).

圖13

(1)求A(3,2),A(3,3),A(4,3)的值.

(2)猜想A(n,m)的表達式(不必證明),并求不等式A(10,m)≤84的解集.

【解析】(1)A(3,2)=2,A(3,3)=1,A(4,3)=3;

【點評】利用楊輝三角中的數與二項式系數的關系.

【例5】如圖14,把楊輝三角左對齊排列,將同一條斜線上的數字求和,會得到一個數列{an},其中a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,…設數列{an}的前n項和為Sn.

圖14

(1)求a8的值,并寫出an,an+1,an+2滿足的遞推關系式(不用證明);

(2)記a2022=m,用m表示S2020.

【解析】(1)由楊輝三角的性質可知,此數列為斐波那契數列.

故a8=21,an+2=an+1+an.

(2)因為a3=a2+a1,

a4=a3+a2,

a5=a4+a3,

……

a2021=a2020+a2019,

a2022=a2021+a2020,

相加得a2022-a2=S2020,

所以S2020=m-1.

【點評】本題利用楊輝三角的第5條性質,構成斐波那契數列.

楊輝三角還有很多有趣的性質,讀者可以查閱資料,發掘更多有趣的內容.楊輝三角的應用也非常廣泛,在信息技術、概率統計等領域都有其身影,希望讀者能繼承我國數學傳統文化,感悟數學價值,并發揚光大,讓世人知曉.