指向“通性通法”的一類數(shù)式大小比較問題

張隆億

(福建省永春第一中學(xué))

章建躍博士指出,解題教學(xué)中注重“通性通法”是一種追求長期利益的有效途徑.其中,“通性”指的是數(shù)學(xué)概念所蘊含的基本性質(zhì),它們是解決問題的關(guān)鍵特征.而“通法”則強調(diào)利用這些基本性質(zhì)所提供的思想方法來解決各類問題.在解題教學(xué)中,深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和背后的通性,學(xué)生不僅能夠解決當前問題,還能夠應(yīng)用這些通性通法解決更廣泛和復(fù)雜的問題,也使他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實際生活中受益終身.

命題手法1 已知方程f(a,b)=0,比較a,b的大小

這類試題以方程f(a,b)=0為條件,比較a,b的大小.一般以選擇題形式進行考查,往往以指數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式為載體,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng),注重考查思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力,具有良好的區(qū)分度.將方程f(a,b)=0轉(zhuǎn)化為m(a)=n(b),觀察方程左右兩邊結(jié)構(gòu),通過放縮同構(gòu)為不等式g(a)≤g(b).構(gòu)造函數(shù)y=g(x),結(jié)合函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性將不等式g(a)≤g(b)轉(zhuǎn)化為a,b的大小,從而達到化繁為簡的目的.

【例1】(2020新課標Ⅰ理科12題)若2a+log2a=4b+2log4b,則

( )

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

【分析一】方程2a+log2a=4b+2log4b左右兩邊式子結(jié)構(gòu)比較相近,結(jié)合選項比較a與b2,2b的大小,變形為2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b,不等式兩邊的結(jié)構(gòu)相同,構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x,所以不等式可化為f(a)

【評析】本解法將方程2a+log2a=4b+2log4b轉(zhuǎn)化為2a+log2a=22b+log2b,觀察方程左右兩邊結(jié)構(gòu),通過放縮同構(gòu)為不等式2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b.構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x,結(jié)合函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性將不等式f(a)

【分析二】設(shè)t=2b,則方程2a+log2a=4b+2log4b可化為2a+log2a=2t+log2t-1.構(gòu)造函數(shù)f(t)=2t+log2t-1-2a-log2a,則函數(shù)y=f(t)在(0,+∞)上為增函數(shù)且有零點t=2b.由f(a)=-1<0,f(2a)=2a(2a-1)>0得a<2b<2a,所以b

【評析】本解法將方程f(a,b)=0轉(zhuǎn)化為含參數(shù)t的方程g(t)=0,構(gòu)造函數(shù)y=g(t),則函數(shù)y=g(t)有零點t,結(jié)合函數(shù)y=g(t)的單調(diào)性及零點存在定理確定零點的范圍,從而得到零點t=2b與a的大小關(guān)系,從而達到化繁為簡的目的.

命題手法2 已知不等式f(a,b)<0,比較a,b的大小

這類試題以方程f(a,b)<0條件,常將變量a,b分離,同構(gòu)為g(a)g(b)),利用函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性比較a,b的大小.一般以選擇題形式進行考查,往往以指數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式為載體,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),注重考查思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力,具有良好的區(qū)分度.

( )

1.利用x=lnex,x=elnx(x>0)進行冪指、冪對轉(zhuǎn)換同構(gòu)

2.對等式、不等式兩邊取指數(shù)、對數(shù)進行同構(gòu)

(1)積型aea1)?a+lna

(3)和差型ea+a

命題手法3 已知不能直接比較大小的確定常數(shù)a,b,c,比較a,b,c的大小

( )

A.a

C.c

【評析】本題是三個不能直接比較大小的含指數(shù)、對數(shù)的確定常數(shù)比較大小的選擇題.解法中挖掘出了公共的常量0.1,將三個數(shù)轉(zhuǎn)化為三個函數(shù)值,再通過兩邊取對數(shù)得到lna-lnb=0.1+ln(1-0.1),構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],結(jié)合函數(shù)f(x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1]的單調(diào)性,得到f(0.1)c,進而得到c

在教學(xué)中,我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn),學(xué)過和練過的知識在考試中卻無法取得高分.究其原因:我們在講練習(xí)時注重具體題型和技巧,卻忽視了培養(yǎng)學(xué)生的“通性通法”,導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)沒有得到有效提升,造成教與學(xué)脫鉤,教學(xué)效率低下.因此,我們應(yīng)該遵循“課程標準”,重視基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握途徑,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).這樣的改進不僅能夠帶來眼前的利益,也能為學(xué)生的長遠發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)競賽亦如此,2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題(A卷)第一題:如圖,在凸四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,對角線BD上一點P滿足∠APB=2∠CPD,線段AP上兩點X,Y滿足∠AXB=2∠ADB,∠AYD=2∠ABD.證明:BD=2XY.

這道平面幾何題對學(xué)生的要求體現(xiàn)了近年來數(shù)學(xué)競賽對平面幾何能力的要求,強調(diào)了基本知識、定理和方法的應(yīng)用.然而,賽后反饋顯示,許多學(xué)生在面對條件“∠AXB=2∠ADB,∠AYD=2∠ABD”以及“∠APB=2∠CPD”時感到束手無策,不知所措.這提醒我們在平時訓(xùn)練學(xué)生時要更加積極地探索解題思路的合理性,盡管存在多種思路與方法,但通性通法應(yīng)成為首選.

通過對近年來高考和高考模擬中數(shù)式比較題的分析,我們可以發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律:對數(shù)函數(shù)模型、三角函數(shù)模型等典型函數(shù)模型的數(shù)式大小比較問題,頻繁出現(xiàn)在各類考試的選擇題中,難度有大有小.雖然形式看起來可能有很多變化,但萬變不離其宗.如果我們能從數(shù)式大小比較問題的通性通法入手,深入了解構(gòu)造函數(shù)法適用條件及解題步驟,然后運用函數(shù)的單調(diào)性,突破數(shù)式大小比較解題障礙點.學(xué)生通過運用“通性通法”,能夠靈活應(yīng)用已學(xué)知識解決問題,不僅在短期內(nèi)取得好成績,還能培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力,為長期發(fā)展打下基礎(chǔ).此外,我們在教學(xué)中不僅要關(guān)注一題多解,更需要關(guān)注多題一解,注重通性通法,淡化技巧,回歸數(shù)學(xué)本質(zhì),鼓勵學(xué)生勤動手、勤反思,多操作、多思考,提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),感受了“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語言表達世界”的精神內(nèi)涵.