重通法育素養(yǎng) 溯源頭探本質(zhì)
——以2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷理科第20題的解法探究為例

肖皓月 官聖淇 張 君

(四川省溫江中學(xué))

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷緊扣黨的二十大報(bào)告精神,反映新時(shí)代基礎(chǔ)教育課程理念.試題總體設(shè)計(jì)角度新穎,注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì),突出理性思維,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系,滲透數(shù)學(xué)文化,積極引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注重對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng),發(fā)揮高考“指揮棒”作用.高考是高中課堂教學(xué)的風(fēng)向標(biāo),本文以2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷理科第20題為例,從通性通法到秒殺解法,從不同的切入點(diǎn)探討該題的解答,為解決此類解析幾何試題提供參考.

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷理科第20題,是一道以解析幾何拋物線為背景設(shè)置的函數(shù)(最值)問(wèn)題,形式新穎,綜合性強(qiáng),對(duì)考生的能力要求較高,特別是對(duì)高水平的考生區(qū)分較好.圓錐曲線中的最值(或取值范圍)問(wèn)題一直是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的熱點(diǎn)題型之一,常考常新,不斷創(chuàng)新,形式各樣,多以壓軸題形式出現(xiàn).此類問(wèn)題對(duì)考生的代數(shù)恒等變形能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、推理論證能力等都有較高的要求,同時(shí)突出對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,具有較好的選拔性與區(qū)分度,備受命題者青睞.

1 真題呈現(xiàn)

(1)求p的值;

2 真題剖析

2.1 第(1)問(wèn)解法探究

第(1)問(wèn)思維導(dǎo)圖如下:

2.2 第(2)問(wèn)解法探究

第(2)問(wèn)思維導(dǎo)圖如下:

3 解法探究

3.1 第(1)問(wèn)解答

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則y1+y2=4p,y1y2=2p,

所以2p2-p-6=0.

又p>0,解得p=2.

3.2 第(2)問(wèn)解答

3.2.1 思路一:綜合條件,線參法化為二次函數(shù)最值

解法1：設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),

當(dāng)直線MN斜率不存在的時(shí)候,設(shè)直線MN:x=s,則M(s,y3),N(s,y4),

當(dāng)直線MN斜率存在的時(shí)候,設(shè)直線MN:y=kx+t,

則(x3-1)(x4-1)+(kx3+t)(kx4+t)=0,

所以(x3-1)(x4-1)+(kx3+t)(kx4+t)=0,

所以(1+k2)x3x4+(kt-1)(x3+x4)+t2+1=0,

即t2+6kt+k2=4,

又t2+6kt+k2=4,

解法2：設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),易知直線MN斜率必不為0,則設(shè)直線MN:x=my+n,

則(x3-1)(x4-1)+y3y4=0,

所以(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4=0,

所以(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2=0,

所以(m2+1)(-4n)+m(n-1)(4m)+(n-1)2=0,

所以4m2=n2-6n+1,

又4m2=n2-6n+1≥0,

解法3：設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),易知直線MN斜率必不為0,則設(shè)直線MN:x=my+n,

又有解法2知4m2=n2-6n+1,

以下同解法2.

解法4：設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),易知直線MN斜率必不為0,則設(shè)直線MN:x=my+n,則設(shè)直線MN與x軸交于Q(n,0).

以下同解法3.

思路一主要思想是設(shè)直線方程,最終轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題.

3.2.2 思路二:點(diǎn)參法轉(zhuǎn)化函數(shù)最值問(wèn)題

解法5：設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),

則(x3-1)(x4-1)+y3y4=0,

則x3x4-(x3+x4)+1+y3y4=0.

則由三角形面積的坐標(biāo)式可得:

3.2.3 思路三:合理運(yùn)用條件,引入角度參數(shù)

由拋物線定義,|MF|=|MF|cosθ+2,

又t2=(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ,

3.2.4 思路四:極坐標(biāo)法簡(jiǎn)化運(yùn)算

又t2=(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ,

以下同解法6.

要求S△MNF的最小值,即求(1-cosθ)(1+sinθ)的最大值.

以下同解法7.

4 追本溯源

圓錐曲線中面積最值問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題,此類問(wèn)題常與函數(shù)、三角、不等式等知識(shí)有機(jī)結(jié)合綜合考查.此題解法一方面注意選取合適的面積公式,從而求得面積表達(dá)式.另一方面要合理使用條件將面積表達(dá)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,我們可以追溯到2015浙江高考19題,讀者可仿照上文中解法給出第(2)問(wèn)對(duì)應(yīng)的解法.

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)求△AOB的面積最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

5 題后反思

這道高考題,考察拋物線中三角形面積最值問(wèn)題,以拋物線為載體,將拋物線、三角形、函數(shù)等多項(xiàng)內(nèi)容結(jié)合起來(lái)考察知識(shí)、思想方法、能力綜合功能,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高.知識(shí)方面:考察直線方程、韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離、三角形面積公式、拋物線定義與性質(zhì)、基本初等函數(shù)(二次函數(shù)、基本初等函數(shù)、三角函數(shù)等)性質(zhì),基本不等式等多項(xiàng)知識(shí);思想方法方面:考察到函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論數(shù)學(xué)思想;能力方面:考察數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、直觀想象能力、邏輯推理能力、數(shù)據(jù)處理能力.

圓錐曲線面積最值問(wèn)題本質(zhì)其實(shí)就是函數(shù)最值問(wèn)題,解決此類問(wèn)題常分兩步:第一步:選擇合適的面積公式.可用公式法或割補(bǔ)法或者坐標(biāo)法求取三角形面積.第二步:轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.這一步也尤為重要,一方面我們可以選擇線參法或者點(diǎn)參法,將面積轉(zhuǎn)化為雙元問(wèn)題,然后根據(jù)題設(shè)條件,尋求雙元之間關(guān)系,轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題,最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.另一方面,在一些情況下若涉及焦半徑等,可以選擇角度為參數(shù)或者極坐標(biāo)法,直接將面積轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題,極大減輕計(jì)算量.

數(shù)學(xué)教學(xué)中,解決此類問(wèn)題,教師應(yīng)把握問(wèn)題本質(zhì),落實(shí)素養(yǎng)導(dǎo)向.應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多角度多方法進(jìn)行探索,感悟其中的變與不變,總結(jié)多種解題方法,感悟其中數(shù)學(xué)思想.重視通法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng),追根溯源,探索問(wèn)題本質(zhì)!