對2023年新課標Ⅱ卷第15題的思考

陳 超

(貴州省六盤水市第四中學)

2023年新課標Ⅱ卷第15題以直線和圓相交為背景,綜合考查交點坐標、弦長、點到直線的距離、三角形的面積公式等知識,文章給出了多種解法,并連同對變式的解析,比較各種解法的特點,總結出解決此類題目的分析思路和通解通法.在解題教學中,試圖以此來提高學生理解問題、轉化問題和解決問題的能力,發展數學運算的核心素養.

1.真題呈現

【試題分析】此題以直線與圓相交為背景,綜合考查交點坐標、弦長、點到直線的距離、三角形的面積公式等知識,通過給定三角形的面積求直線方程中參數的值,屬于逆向思維的題目,綜合性較強、難度適中,而且結論開放,只需寫出一個符合題意的值即可,比較靈活.重點考查學生求解三角形面積的知識、思想、方法,考查學生靈活地運用所學知識巧妙轉化問題的關鍵能力和數學運算的核心素養.

2.試題解析

【解析】遇到這種以直線和圓錐曲線相交為背景的題目,第一步是依據題意畫出草圖.畫圖需要注意抓住圓和直線的幾何特征去畫.圓的幾何特征,包括圓心的坐標和半徑,此題圓心C(1,0),半徑r=2;直線的幾何特征,包括斜率(或傾斜角)、截距、過定點等,直線l過定點A(-1,0),并且定點正好在圓上,設直線l與圓C的另一個交點為B.就可以依據這些特點畫出草圖,如圖1:

圖1

這種解法充分利用了直線方程中的參數與直線上點的坐標的關系,巧妙地將AC邊看成底,高就是點B縱坐標的絕對值,很容易通過面積求出|y0|,進而求出參數m.

還可以以哪條邊為底呢?顯然還可以以AB邊為底.例1的背景是圓,除了用弦長公式外,還可以用幾何法(勾股定理)求出弦長|AB|,高就是點C到直線l的距離,設為d,顯然d與參數m有關,也與三角形的面積有關.具體過程如下:

這種解法是將直線中的參數和三角形的面積用點到直線的距離和直線與圓相交的弦長聯系在一起,通過中間量——點到直線的距離d建立等式,并且求弦長時充分利用了圓的特點,巧用幾何法求解.雖然高中解析幾何強調將幾何問題代數化,但是解題時也不能忽視圖形的幾何特點和問題的幾何解法.

這種方法巧妙地將∠C用直線的傾斜角α表示,進而利用α與m之間的關系求出m,并且求解過程中運用了“齊次化”的方法將二倍角的正弦轉化成一倍角的正切.上述過程到底哪有問題呢?其實是把∠C與直線l的傾斜角α之間的關系搞錯了,準確地說是漏了一種情況,因為解法3局限于圖1,而圖1中α顯然是銳角,這樣就漏掉了α是鈍角的情形.如果是基于如下圖2的情形呢?

圖2

這提醒我們做題要全面考慮,特別是問題關鍵之處更要分析清楚,把所有的情況都考慮到.雖然例1只要求寫出一個值即可,但是把問題弄通弄透、追求真理,是不能打折扣的!

【解法4】(秦九韶公式)

解法4充分利用了三角形的三邊求三角形的面積,問題轉化為只需將|AB|表示出來即可求解.

3.試題改編

改編題目,往往可以嘗試改變條件、改變結論、條件結論互換等.改變條件,如:將例1中的直線方程中的參數m換個位置;將直線中的參數拿掉,而將參數設置在圓的方程中(圓心和半徑設參均可);將圓換成其他圓錐曲線等.改變結論,如:將三角形的面積改為其他可能的值;求三角形面積的最值等.條件結論互換,如例1是已知結論,求條件中直線方程中的參數m,完全可以改成條件中直線的方程、圓的方程已知,結論求三角形的面積等.

【變式1】已知直線l:x-my+1=0與圓C:(x-1)2+y2=4交于A、B兩點,寫出“當△ABC面積取最大值時”的m的值________.

【分析】考慮到此題還是涉及三角形的面積,那么例1中的3個公式、4種解法依然適用.

雖然變式1更改了例1的結論,將三角形面積為定值改成最大值,但是解法是類似的,本質都是考查3個公式、4種解法,并且也是解法1和解法3更為簡便,特別是解法3中只需sinC取最大值就行了,這種思路是相當好的.同樣地,如果將此題的圓改為其他的圓錐曲線,可能再用解法1和解法3,就不一定可行了,但是解法2依舊可行,解法2是此類題目的通解通法.在關注特定問題的特殊解法的簡便性時,也不能忘了通解通法的普適性.當然,解法1和解法3中蘊含的思想方法,特別是解法3中從角的角度考慮,一下子就將三角形的面積和直線的傾斜角產生了聯系,同樣值得特別關注.

4.一點思考和建議

秉通法、悟通性,提高分析、轉化和解決問題的能力.本文例1和變式1都有多種解法,但是其本質都是靈活運用三角形的面積公式求解,具有通性.解題時應充分挖掘三角形的面積公式和直線、圓之間的聯系,分析、轉化問題,進而解決問題.細致比較幾種解法的聯系與區別,總結通解通法.重視通性通法并非否定特定問題的特殊解法,相反這些特殊解法的出發點、用到的數學知識、蘊含的思想方法也都和通解通法是相通的,需要融會貫通.秉通法、悟通性,在教學中以通性通法貫穿引領,啟發、幫助學生領悟數學解題的本質.

勤總結、善反思,升華解題思想,構建方法網絡.解題之后應勤于總結,在總結通解通法的概括性、多樣性、相對性的同時;更要總結歸納試題所反映出的通性,提升運算能力,優化運算過程,形成一般性結論,建立數學模型.善于反思,反思試題及其變式的教學功能和價值,在解題教學中,提升學生的解題能力,形成解題策略,升華解題思想,構建網絡體系,進而真正發展其數學運算的核心素養.