基于混沌映射與高斯擾動的蝙蝠優(yōu)化算法

余玲珍 楊雪梅

（貴陽信息科技學院智能工程系，貴州 貴陽 550025）

群體智能優(yōu)化算法是以自然界生物覓食、避障等行為方式為靈感創(chuàng)造的一類啟發(fā)式方法，其包括粒子群優(yōu)化算法[1]、蝴蝶優(yōu)化算法[2]和灰狼優(yōu)化算法[3]等。由于蝙蝠算法[4]（BA）具有結(jié)構(gòu)簡單、收斂速度快和參數(shù)少等優(yōu)點，因此廣泛應(yīng)用于無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位[5]、圖像分割[6]和路徑規(guī)劃[7]等。作為一種有效解決復(fù)雜優(yōu)化問題的啟發(fā)式算法，雖然BA 算法廣泛應(yīng)用于實際問題中，但是該算法執(zhí)行后期存在尋優(yōu)精度不足、局部搜索能力較差的缺點。針對上述缺點，文獻[8]引入開關(guān)函數(shù)來控制蝙蝠個體有序發(fā)生變異操作，并將均勻變異和高斯變異加速算法定位到全局最優(yōu)解區(qū)域。文獻[9]將幾種邊界變異策略進行比較，并提出利用越界重置策略對飛越解空間的蝙蝠位置進行重新分配。文獻[10]針對BA 算法速度更新公式的不足，在速度更新公式中引入慣性權(quán)重因子來改變速度更新的方向，便于算法跳出局部最優(yōu)。

該文提出了一種基于混沌映射與高斯擾動的蝙蝠優(yōu)化算法（TGBA），該算法采用Tent 映射和高斯擾動策略對標準BA 算法進行了改進，并將測試結(jié)果與BA 算法、基于慣性權(quán)重的BA 算法（IWBA）[10]和新型BA 算法（IBA）[11]進行了比較。

1 蝙蝠算法

蝙蝠算法是受微型蝙蝠利用回聲定位系統(tǒng)覓食行為的啟發(fā)提出的一種新型群智能優(yōu)化算法[4]。在搜索過程中，蝙蝠通過相互傳遞各自的信息來尋找群體的最優(yōu)解。在整個解空間中，蝙蝠種群初始化、蝙蝠頻率、速度和位置更新計算如公式（1）～公式（4）所示。

式中：yi，j為第i只蝙蝠在第j維搜索下的空間位置；i=1，2，…，n；j=1，2，…，d；ymin，j為j維搜索的下邊界；rand為隨機數(shù)，rand∈[0，1]；ymax，j為j維搜索的上邊界。

式中：fi為第i只蝙蝠脈沖的當前頻率值；fmin為脈沖頻率最小值；fmax為脈沖頻率最大值；α為[0，1]中服從均勻分布的隨機數(shù)；vti和yti分別為第i只蝙蝠在t時刻的速度和位置；y*為t時刻全局搜索過程中的最優(yōu)位置。

當蝙蝠個體逐漸靠近全局最優(yōu)解時，采用局部搜索機制，局部位置更新公式如公式（5）所示。

式中：ynew為局部解；η∈[-1，1]的隨機數(shù)；At為所有蝙蝠在t時刻發(fā)出聲波的平均響度。

響度和脈沖發(fā)射率隨迭代次數(shù)增加而變化。當蝙蝠向獵物靠近時，響度A的值降低，脈沖發(fā)射率r增加。響度和脈沖發(fā)射率更新方式如公式（6）所示。

式中：為第i只蝙蝠在t+1時刻發(fā)出的響度；為第i只蝙蝠在t+1時刻發(fā)出的脈沖發(fā)射率；ri0為初始時刻蝙蝠個體發(fā)出的脈沖發(fā)射率；響度衰減系數(shù)β∈[0，1]；脈沖頻度增加系數(shù)γ＞0。

2 基于混沌序列與高斯擾動的蝙蝠優(yōu)化算法

2.1 基于混沌序列的種群初始化

種群的全局最優(yōu)解是一個未知量，并且無法提前確定具體位置。由于蝙蝠算法的種群初始化是通過隨機函數(shù)完成的，因此導(dǎo)致蝙蝠的覆蓋率具有一定的隨機性，影響蝙蝠算法的整體求解性能。采用混沌映射函數(shù)生成混沌序列的方法對種群初始化進行改進，有利于提高蝙蝠個體在初始解空間的覆蓋率。

分別采用Logistic 映射（LBA）、Chebyshev 映射（CBA）以及Tent 映射（TBA）3 種混沌映射函數(shù)生成不同的混沌序列，對蝙蝠種群進行初始化操作，并利用Sphere函數(shù)測試3 種映射方法優(yōu)化蝙蝠算法后的尋優(yōu)效果，仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 基于混沌映射的蝙蝠算法尋優(yōu)結(jié)果

根據(jù)圖1 可知，利用混沌序列對蝙蝠種群進行優(yōu)化能夠明顯提高算法的尋優(yōu)精度和收斂速度。與Chebyshev 映射、Logistic 映射相比，Tent 映射具有更快的收斂速度和更高的尋優(yōu)精度。因此，該文采用Tent 映射方法來進行種群的初始化。

2.2 高斯擾動

標準蝙蝠算法的局部搜索機制是在當前的解空間中搜索最優(yōu)解，采用隨機游走的方式產(chǎn)生新的局部解。該搜索機制主要通過對平均響度進行調(diào)整，從而產(chǎn)生局部新解，但是這種搜索方式對當前全局最優(yōu)個體攜帶的信息利用率并不高，在蝙蝠種群中某只蝙蝠一旦找到局部最優(yōu)值，就會吸引其他蝙蝠向其靠攏，從而導(dǎo)致整個算法進入早熟收斂，優(yōu)化性能下降。為了克服標準蝙蝠算法中局部搜索的缺點，該文采用高斯擾動策略對當前全局最優(yōu)位置進行擾動，改進后的局部搜索機制如公式（7）所示。

式中：Gauss為數(shù)學期望為0、方差為1 的高斯分布。

2.3 TGBA 算法實現(xiàn)流程

基于混沌映射與高斯擾動的蝙蝠優(yōu)化算法（TGBA）的具體流程如下：1）初始化種群大小N、頻率fi、脈沖發(fā)射率ri和響度Ai等參數(shù)，引入混沌映射函數(shù)初始化蝙蝠種群位置yi（i=1，2，...d），并求解當前空間最優(yōu)值fmin和最優(yōu)解y*。2）蝙蝠個體根據(jù)公式（2）～公式（4）更新速度和位置。3）利用rand生成1 個隨機數(shù)，如果rand＞ri，那么利用公式（7）的機制對當前最優(yōu)解進行擾動，產(chǎn)生一個新的局部解ynew。4）將局部解ynew代入目標函數(shù)，計算其適應(yīng)度值Fnew。5）生成1 個隨機數(shù)，如果rand＜Ai且Fnew＜f（y*），那么將步驟3 產(chǎn)生的局部新解記作當前最優(yōu)解y*，按照公式（6）更新脈沖發(fā)射率ri和響度Ai。6）如果Fnew＜fmin，更新最優(yōu)值fmin和最優(yōu)解y*。7）重復(fù)步驟2～步驟6，直到算法達到設(shè)定的最大迭代次數(shù)Tmax。8）輸出最優(yōu)目標函數(shù)適應(yīng)度值fmin和全局最優(yōu)解y*。

3 仿真試驗

為驗證改進算法（TGBA）的尋優(yōu)性能，選取10 個基準測試函數(shù)進行仿真測試，并與BA 算法、IBA 算法和IWBA算法進行比較。

3.1 試驗環(huán)境與參數(shù)設(shè)置

該文仿真測試環(huán)境的硬件配置為Windows 10 操作系統(tǒng)，Intel（R）Core（TM）i52.50GHz 處理器，內(nèi)存為8G，軟件配置為MATLAB 2017b。參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置如下：種群大小N=40，響度A=1，脈沖發(fā)射率r=0.75，最大頻率fmax=1，最小頻率fmin=-1，最大迭代次數(shù)Tmax=1 000。

3.2 測試函數(shù)

該文選取10 個測試函數(shù)，測試維度為30/100，分別給出測試函數(shù)名、對應(yīng)的函數(shù)表達式、搜索范圍以及理論最優(yōu)值，其中f1（x）、f2（x）、f6（x）、f7（x）、f8（x）和f9（x）為單峰函數(shù)，可用于檢測算法的收斂能力。f3（x）、f4（x）、f5（x）和f10（x）為復(fù)雜的非線性多峰函數(shù)，存在大量的局部極值點，用來檢驗算法的種群多樣性、全局搜索能力以及逃離局部最優(yōu)等性能。

第一，Sphere 函數(shù)，如公式（8）所示。

式中：xi為第i維分量；n為維度。

f1函數(shù)搜索范圍為[-100，100]，理論最優(yōu)值為0。第二，Schwefel2.22 函數(shù)，如公式（9）所示。

f2函數(shù)搜索范圍為[-10，10]，理論最優(yōu)值為0。

第三，Ackley函數(shù)，如公式（10）所示。

f3函數(shù)搜索范圍為[-32，32]，理論最優(yōu)值為0。

第四，Rastrigin函數(shù)，如公式（11）所示。

f4函數(shù)搜索范圍為[-5.12，5.12]，理論最優(yōu)值為0。

第五，Griewank函數(shù)，如公式（12）所示。

f5函數(shù)搜索范圍為[-600，600]，理論最優(yōu)值為0。

第六，Rosenbrock函數(shù)，如公式（13）所示。

f6函數(shù)搜索范圍為[-2.048，2.048]，理論最優(yōu)值為0。

第七，Noise函數(shù)，如公式（14）所示。

f7函數(shù)搜索范圍為[-1.28，1.28]，理論最優(yōu)值為0。

第八，Quartic函數(shù)，如公式（15）所示。

f8函數(shù)搜索范圍為[-1.28，1.28]，理論最優(yōu)值為0。

第九，Sumsquares函數(shù)，如公式（16）所示。

f9函數(shù)搜索范圍為[-10，10]，理論最優(yōu)值為0。

第十，Alpine函數(shù)，如公式（17）所示。

f10函數(shù)搜索范圍為[-10，10]，理論最優(yōu)值為0。

3.3 尋優(yōu)性能分析

為了減少隨機因素對算法尋優(yōu)性能的影響，對目標函數(shù)進行求解時分別將每種算法獨立運行30 次，記錄最優(yōu)值、最差值、平均值和方差，并對求解精度最高的解加粗。搜索維度為30 時的仿真結(jié)果比較見表1。

表1 4 種算法對目標函數(shù)的測試結(jié)果

由表1 可以看出，在同一搜索維度下，改進的TGBA 算法對單峰測試函數(shù)的求解精度比BA 算法、IBA 算法和IWBA 算法更高。對于復(fù)雜的多峰函數(shù)來說，TGBA 算法能夠準確找出函數(shù)適應(yīng)度最優(yōu)值。隨著測試函數(shù)維度增加，BA 算法、IBA 算法和IWBA 算法的最優(yōu)值、平均值和方差都大幅增加。而TGBA 算法的最優(yōu)值、平均值和方差基本保持不變。其中，對于函數(shù)f1（x）、f2（x）、f4（x）、f5（x）、f8（x）、f9（x）和f10（x），TGBA 算法的求解精度并沒有隨測試函數(shù)維度增加而降低，始終能夠找到目標函數(shù)的全局最優(yōu)解。綜上所述，隨著測試函數(shù)維度增加，與BA、IBA 和IWBA 算法相比，TGBA 算法仍能保持較高的求解性能，改進后的TGBA算法在尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性方面具有顯著的優(yōu)越性。

3.4 收斂速度分析

比較BA、IBA、IWBA 以及TGBA 優(yōu)化算法求解不同測試函數(shù)時的適應(yīng)度值收斂曲線，并給出4 種算法求解部分測試函數(shù)的收斂曲線，如圖2～圖3 所示。

圖2 Rastrigin函數(shù)的收斂曲線（30D）

圖3 Quartic 函數(shù)的收斂曲線（30D）

根據(jù)優(yōu)化算法求解測試函數(shù)的收斂情況可知，對于不同的測試函數(shù)，BA 算法與IWBA 算法收斂速度緩慢，算法的迭代曲線在早期便呈平滑狀態(tài)，算法進入早熟收斂，無法找出測試函數(shù)的全局最優(yōu)解。由圖2～圖3 可知，當函數(shù)維度為30時，IBA 算法在求解f4（x）和f8（x）過程中具有較快的收斂速度，并且能夠收斂到函數(shù)f4（x）的最小值。當函數(shù)維度增至100 時，求解維度增加，解的復(fù)雜性隨之增加，IBA 算法的尋優(yōu)性能驟降。隨著求解維數(shù)增加，IBA 算法的尋優(yōu)精度降低，收斂速度緩慢，在迭代過程中容易陷入局部最優(yōu)。而對于大多數(shù)單峰和多峰測試函數(shù)，TGBA 算法都能以接近直線的趨勢下降，收斂速度非常快，尋優(yōu)精度也遠超IBA 算法。最后,通過比較各函數(shù)的收斂曲線可知，與BA 算法和IWBA算法相比，TGBA 算法對單峰和多峰函數(shù)均能夠以較快的速度收斂到全局最優(yōu)解；與IBA 算法相比，TGBA 尋優(yōu)能力更強，具有更高的尋優(yōu)精度和更好的穩(wěn)定性。

4 結(jié)語

針對BA 算法在迭代后期收斂精度降低、易出現(xiàn)早熟收斂的問題，該文提出了基于混沌映射與高斯擾動的蝙蝠優(yōu)化算法。利用Tent 映射產(chǎn)生混沌序列，對蝙蝠種群進行初始化操作，提高了蝙蝠在解空間的覆蓋率，獲得了更豐富的種群。在產(chǎn)生局部新解的更新公式中對當前最優(yōu)解添加高斯擾動能夠提升算法的搜索性能，有效避免算法陷入局部最優(yōu)。仿真結(jié)果表明，與BA、IBA、IWBA 這3 種對照算法相比，TGBA 算法在尋優(yōu)精度、收斂速度和穩(wěn)定性方面表現(xiàn)更突出。