直角三角形內接定形直角三角形的面積最值

【摘? 要】? 解最值題的一般策略是動靜轉化，以靜制動，捕捉特殊瞬間，凸顯問題本質．從學生易接受的二次函數法和幾何法角度對直角三角形內接定形直角三角形的面積最值予以探究，豐富了解法．

【關鍵詞】? 直角三角形；內接；三角形面積最值；二次函數法；幾何法

1? 問題呈現及緣由

△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，D，E，F分別是AB，AC，BC上的點．若△DEF是兩直角邊DE與DF之比為定值λ（λ為正常數）的直角三角形，探究△DEF面積的最值．

文［1］利用三角法得到了直角三角形的任意內接直角三角形面積的最小值，并給出最小位置的作圖方法；文［2］用坐標法探求直角三角形的最大內接直角三角形，但錯誤較多，實不敢茍同．譬如“記E（t，0）（0≤t＜b）”，條件應為0≤t≤b；“令直線DE的方程為y=k（x-t）（k＞-ab）”，條件應為k＞0或k≤-ab（由于直線AB的斜率為-ab）；去絕對值混亂；定理2△DEF面積的最大值嚴重錯誤．

為此，本文分別用二次函數法和幾何法探究△DEF面積的最值，其中探究△DEF面積的最小值及最小位置的作圖方法有別于文［1］．2? 最值的探究

解法1? 二次函數法

如圖1，分別過點C，E，F作AB的垂線段，垂足分別為H，M，N．

設AM=y，BN=x．易得BH=a2c，AH=b2c，CH=abc．

由tanA=ab=EMy得EM=ayb；由tanB=ba=NFx得NF=bxa．

易得△DNF∽△EMD，所以DEDF=MDNF=EMDN=λ．所以MD=λbxa，DN=ayλb．

所以x+λbxa+y+ayλb=c，解得y=λbca+λb－λbxa．

S△DEF=12DE·DF=λ2·DF2=λ2（b2x2a2+a2y2λ2b2）=λ2［b2x2a2+a2λ2b2（λbca+λb－λbxa）2］

=λc22a2x2-λaca+λbx+λa2c22a+λb2．

當x=λaca+λbλc2a2=a3ca+λb時，S△DEFmin=λa2c22a+λb2-λaca+λb22λc2a2=λa2b22a+λb2．

此時y=λbca+λb－λbxa=λb3ca+λb，所以tan∠NDF=NFND=bxaayλb=λb2a2·xy=ab=tanA．

所以∠NDF=∠A．所以DF∥AC．所以當DE⊥AC時，S△DEFmin=λa2b22a+λb2（如圖2）．? 圖2

下面探究S△DEF的最大值，不妨設a≥b．

（1）當點D在點H下方時，∠DFE=∠DCE＜∠HCA，所以λ＜ba．

此時點F在B，C之間運動，故點N在B，H之間運動，所以0≤x≤a2c．

當x=0時，S△DEF=λa2c22a+λb2；

當x=a2c時，S△DEF=λc22a2（a2c）2-λaca+λb·a2c+λa2c22a+λb2=λ1+λ2a2b22a+λb2．

下面比較λa2c22a+λb2與λ1+λ2a2b22a+λb2的大小，只需比較c2與（1+λ2）b2的大小．

c2-（1+λ2）b2=a2-λ2b2=（a+λb）（a-λb）．

由于λ＜ba≤ab，所以a-λb＞0，即c2＞（1+λ2）b2．

所以當λ＜ba時，S△DEFmax=λa2c22a+λb2（如圖3）．

（2）當點D與點H重合時（易得λ=ba），顯然S△HCB≥S△HAC，S△DEFmax=S△HCB=12·a2c·abc=a3b2c2（參考圖3）．

（3）當點D在點H上方時，λ＞ba．此時點E在A，C之間，故點M在A，H之間，所以0≤y≤b2c．即0≤λbca+λb－λbxa≤b2c．解得aca+λb-abλc≤x≤aca+λb．

當x=aca+λb時，S△DEF=λc22a2（aca+λb）2-λaca+λb·aca+λb+λa2c22a+λb2=λb2c22a+λb2．

當x=aca+λb-abλc時，

S△DEF=λc22a2（aca+λb-abλc）2-λaca+λb（aca+λb-abλc）+λa2c22a+λb2=1+λ2a2b22λa+λb2．

下面比較λb2c22a+λb2與1+λ2a2b22λa+λb2的大小，只需比較λ2b2c2與（1+λ2）a2b2的大?。?/p>

λ2b2c2-（1+λ2）a2b2=λ2b4-a2b2=b2（λb+a）（λb-a）．

①當λ=ab時，λ2b2c2=（1+λ2）a2b2．S△DEFmax=λb2c22a+λb2=bc28a．

此時λ=tanA，所以∠DFE=∠DCE=∠A．所以DC=DA，即點D為AB的中點O（如圖4）．圖4

②當λ＞ab時，λ2b2c2＞（1+λ2）a2b2．S△DEFmax=λb2c22a+λb2（如圖5，點D在O，B之間）．

③當ba＜λ＜ab時，λ2b2c2＜（1+λ2）a2b2．S△DEFmax=1+λ2a2b22λa+λb2（如圖6，點D在H，O之間）．圖5圖6

綜上，在a≥b條件下，當點D在A，H之間（不含A，H；此時λ＜ba）時，S△DEFmax=λa2c22a+λb2（如圖3）；當點D與點H重合（λ=ba）時，S△DEFmax=S△HCB=a3b2c2（參考圖3）；當點D在H，O之間（不含O；此時ba＜λ＜ab）時，S△DEFmax=（1+λ2）a2b22λa+λb2（如圖6）；當點D與點O重合（λ=ab）時，S△DEFmax=bc28a（如圖4）；當點D在O，B之間（不含B；此時λ＞ab）時，S△DEFmax=λb2c22a+λb2（如圖5）．

解法2? 幾何法

S△DEF=12·DE·DF=12λ·DE2．因此S△DEF的最值取決于DE的最值．

由垂線段最短知，當DE⊥AC時，S△DEF最小，如圖2．

tanA=ab=DEAE=DEb－DF=DEb－DEλ，解得DE=λaba+λb，

所以S△DEFmin=12λ（λaba+λb）2=λa2b22a+λb2．

下面分情況探究S△DEF的最大值，不妨設a≥b．記斜邊上的高為CH，斜邊中線為CO．

（1）當點D在點H或點H下方時，圖7是△DEF的兩個極端位置．

由B，C，E，D四點共圓得∠DEE′=∠ABC；而∠DE′E＞∠A≥∠ABC，故∠DE′E＞∠DEE′，所以DE＞DE′．故S△DEF＞S△DE′F′．

tanA=ab=DEAD=DEc－DF=DEc－DEλ，解得DE=λaca+λb．

所以S△DEFmax=12λ（λaca+λb）2=λa2c22a+λb2，此時位置如圖7中的△DEF（當點D在點H時位置為△HCB）．圖7

（2）當點D在點O處時，圖8是△DEF的兩個極端位置，顯然DE=DE′，故S△DEFmax=S△DE′F′=12λ（c2）2=c28λ．而λ=tan∠OAC=ab，所以S△DEFmax=bc28a．圖8

（3）當點D在H，O之間時，圖9是△DEF的兩個極端位置．

由OC=OA得∠OAC=∠OCA＞∠DCA，所以DE＞DE′．故S△DEF＞S△DE′F′．

過D作DG⊥BC于G．

因為λ=tan∠DFE=tan∠CDG=CGDG，tanB=ba=DGBG=DGa－CG，所以DG=aba+λb．

因為tan∠DFE=λ，所以sin∠DFE=λ1+λ2=DGDF．解得DF=ab1+λ2λa+λb．

所以S△DEFmax=λ2·DF2=1+λ2a2b22λa+λb2，此時位置如圖9中的△DEF．圖9

（4）當點D在O，B之間時，圖10是△DEF的兩個極端位置．

由OC=OA得∠OAC=∠OCA＜∠DCA，所以DE＜DE′．故S△DEF＜S△DE′F′．

過D作DG⊥BC于G．由③得DG=aba+λb．

因為cos∠GDF′=cosB=ac，所以DGDF′=ac，解得DF′=bca+λb．

所以S△DEFmax=λ2·DF′2=λb2c22a+λb2，此時位置為圖10中的△DE′F′．圖10

3? 最小位置的作圖方法

當DE⊥AC時，S△DEF最?。纱丝山o出S△DEF最小時的準確位置及作圖方法．

作法? （1）過點A作AD1⊥AC，使D1與B在AC的同側，且AD1=λb；

（2）連接CD1交AB于點D；

（3）過點D作DE⊥AC于點E，作DF⊥BC于點F，連接EF．

圖11中的△DEF就是符合題意的面積最小的直角三角形．圖11

4? 內接等腰直角三角形面積最值

由前述結論S△DEFmin=λa2b22a+λb2，當λ=1時，S等腰△DEFmin=12aba+b2，當且僅當DE⊥AC時取得．

由前述結論S△DEFmax=1+λ2a2b22λa+λb2，當λ=1時，S等腰△DEFmax=aba+b2．直角頂點D在斜邊中點O與垂點H之間，且CD平分∠ACB．等腰Rt△DEF最大時的位置：若a＞b，如圖12①；若a＜b，如圖12②；若a=b，如圖12③．

參考文獻

［1］郭要紅．直角三角形的最小內接定形直角三角形［J］．數學通報，2006（09）：55-55．

［2］黃海波．直角三角形的最大內接直角三角形［J］．中學數學（初中版），2009（07）：46-46．作者簡介? 鄧文忠（1974—），男，陜西洋縣人，中學一級教師，第四屆縣級名師，縣教研先進個人;主要進行數學解題、中高考和競賽研究;發表文章150余篇．