基于矩陣填充的隨機步進(jìn)頻雷達(dá)高分辨距離-多普勒譜稀疏恢復(fù)方法

胡雪瑤 梁 燦 盧珊珊 王在洋 鄭 樂* 李 陽

①(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院雷達(dá)技術(shù)研究所 北京 100081)

②(北京理工大學(xué)重慶創(chuàng)新中心 重慶 401120)

③(CEMEE國家重點實驗室電磁感知研究中心 北京 100081)

④(西安電子工程研究所 西安 710100)

1 引言

近些年，頻率步進(jìn)(Stepped Frequency,SF)波形被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)高精度探測領(lǐng)域[1-4]。它由一系列載頻線性步進(jìn)脈沖信號組成，通過相參合成這些信號獲得大帶寬效果，可以大幅提升雷達(dá)距離分辨率，同時避免因發(fā)射瞬時大寬帶信號增加的硬件系統(tǒng)復(fù)雜度[5]。頻率步進(jìn)波形的一種改進(jìn)方式是它的載頻步進(jìn)值隨機改變，通常也被稱之為隨機步進(jìn)頻(Random Stepped Frequency,RSF)波形[6]。與常規(guī)SF波形相比，RSF波形具有兩個顯著的優(yōu)點：首先，隨機跳頻的方式可以大幅降低信號被截獲或“碰撞”概率，從而提升雷達(dá)抗干擾能力；其次，由于載頻非線性變化，RSF波形解耦了高分辨距離和多普勒相位，產(chǎn)生圖釘型模糊函數(shù)，從而獲得了估計目標(biāo)多普勒速度的能力[7]。然而，由于RSF波形對環(huán)境的感知形式在慢時間-載頻(時-頻)是稀疏的，因而雷達(dá)在時-頻域?qū)夭ㄐ盘柕牟蓸邮请S機欠采樣，造成相參信息缺失，傳統(tǒng)匹配濾波(Matched Filter,MF)相參處理會演化為欠定估計，導(dǎo)致高分辨距離-多普勒譜中產(chǎn)生起伏高旁瓣[8,9]。此時，低信噪比目標(biāo)可能被高信噪目標(biāo)的旁瓣掩蓋，導(dǎo)致漏檢；或者起伏波動的旁瓣可能被檢測為假目標(biāo)，產(chǎn)生虛警。顯然，上述問題限制了RSF波形的廣泛應(yīng)用。

為了解決該問題，文獻(xiàn)[10-12]提出使用失配濾波器方法減輕高旁瓣對參數(shù)估計影響，但這類方法會降低目標(biāo)信噪比或雷達(dá)距離分辨率。文獻(xiàn)[13]提出使用RSF回波的包絡(luò)和相位設(shè)計用于高分辨率距離像合成的旁瓣抑制濾波器。然而該方法只能消除單個多普勒頻率下的起伏旁瓣；并且，當(dāng)不能預(yù)先獲得目標(biāo)的多普勒信息時，其旁瓣抑制性能仍有待提高。從波形設(shè)計的角度出發(fā)，可以通過設(shè)計跳頻序列來抑制旁瓣[14-16]，然而這些方法并沒有考慮到多目標(biāo)應(yīng)用場景，因此所設(shè)計的波形不能保證多目標(biāo)的旁瓣在相互疊加后仍保持在低功率水平。

隨著壓縮感知(Compressed Sensing,CS)技術(shù)的興起，該技術(shù)已被用于RSF波形中解決因隨機欠采樣造成的欠定估計問題[17-20]。其本質(zhì)是利用回波信號數(shù)據(jù)中的稀疏性，通過設(shè)計特定的測量矩陣尋找信號在高分辨距離-多普勒域的稀疏表示，實現(xiàn)低旁瓣稀疏恢復(fù)。但CS恢復(fù)性能在很大程度上受設(shè)計的測量矩陣制約，當(dāng)測量矩陣的稀疏基與場景中目標(biāo)參數(shù)的分布不完全匹配時(又稱“基不匹配”)，恢復(fù)性能會受到顯著影響[21]。文獻(xiàn)[22]提出結(jié)合機器學(xué)習(xí)的壓縮感知方法，通過網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)學(xué)習(xí)獲得更適應(yīng)場景特征的測量矩陣；然而，該方法的訓(xùn)練過程需要海量的樣本數(shù)據(jù)，且CS方法在高維度空間中使用一維矢量運算，導(dǎo)致計算復(fù)雜度激增。

矩陣填充(Matrix Completion,MC)[23,24]是一種通過使用其部分有限觀測數(shù)據(jù)在低秩約束下恢復(fù)矩陣中缺失數(shù)據(jù)的技術(shù)。文獻(xiàn)[25-27]中已展示了MC在多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷達(dá)中的有效性和優(yōu)勢，其已被用于恢復(fù)存在隨機稀疏軌跡的陣列方位或俯仰維的欠采樣數(shù)據(jù)，保證多維稀疏成像質(zhì)量。此外，MC技術(shù)也被證明在處理高維數(shù)據(jù)時具有效率高、恢復(fù)精度高等優(yōu)勢[28]。對于經(jīng)過快時間脈沖壓縮處理的RSF回波信號，由于其沿時-頻域呈現(xiàn)二維隨機欠采樣特性，因而時-頻維度中的回波數(shù)據(jù)也有所缺失，因此可以使用MC技術(shù)恢復(fù)未采樣的數(shù)據(jù)。

基于上述分析，本文提出了一種基于Hankel重構(gòu)矩陣填充的隨機步進(jìn)頻雷達(dá)高分辨距離-多普勒譜估計方法，實現(xiàn)低旁瓣譜稀疏恢復(fù)。首先，推導(dǎo)并建立了隨機步進(jìn)頻雷達(dá)單個粗分辨距離單元內(nèi)回波時-頻欠采樣模型；并利用Hankel矩陣變換重構(gòu)待恢復(fù)數(shù)據(jù)矩陣，證明了矩陣滿足低秩先驗特性，為基于矩陣填充的譜估計算法奠定了基礎(chǔ)。隨后，將低秩矩陣缺失數(shù)據(jù)恢復(fù)問題轉(zhuǎn)化為以填充后矩陣截斷核范數(shù)最小化為目標(biāo)、以填充后矩陣原采樣位置元素不變?yōu)榧s束的優(yōu)化模型，進(jìn)而采用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)求解模型，實現(xiàn)時-頻數(shù)據(jù)矩陣填充，恢復(fù)缺失相參信息，解決匹配濾波欠定估計問題。所提方法直接以矩陣形式進(jìn)行二維稀疏建模與求解，不僅有效避免了基不匹配問題，在保持良好重構(gòu)性能的同時還進(jìn)一步降低了運算量，極大地提升了運算速度。仿真和實測數(shù)據(jù)試驗驗證了方法的有效性和優(yōu)越性。

2 回波建模與信號特性分析

2.1 RSF回波建模及預(yù)處理

本文以調(diào)頻RSF雷達(dá)為例，其發(fā)射信號由一系列脈內(nèi)相同線性調(diào)頻、脈間不同載頻偽隨機調(diào)制脈沖組成，信號預(yù)處理流程如圖1所示。其中，第n個脈沖的載頻為fn=f0+UnΔf，f0為初始頻率，Un表示第n個脈沖(共發(fā)射N個脈沖)的載頻編碼，且Un ∈{1,2,...,M}，M為隨機步進(jìn)頻率總點數(shù)，Δf為最小頻率步進(jìn)間隔，MΔf為波形合成帶寬。因此第n個脈沖的發(fā)射信號可以表示為

圖1 調(diào)頻RSF信號預(yù)處理流程圖Fig.1 Diagram of the RSF chirp signal pre-processing flow

其中，s(t)表示雷達(dá)基帶信號，t表示脈內(nèi)快時間，B為脈內(nèi)調(diào)頻帶寬，Tp為發(fā)射調(diào)頻信號的脈寬，T為脈沖重復(fù)間隔。

假設(shè)發(fā)射信號經(jīng)理想點目標(biāo)調(diào)制后幅度為A，回波信號可表示為

其中，τ表示回波信號的雙程時延。基于“走-停”模型假設(shè)[29,30]，時延τ可以近似表示為

其中，r,v分別為目標(biāo)的初始距離和相對雷達(dá)的徑向速度，c為光速。

回波信號經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換、下變頻、濾波處理后可表示為

其中，l=0,1,...,L-1為脈內(nèi)快時間采樣索引，L為一個脈沖內(nèi)的快時間采樣總點數(shù)，ts代表快時間采樣間隔。

信號經(jīng)快時間脈沖壓縮處理后可表示為

提取不同脈沖目標(biāo)所在CRRC(如圖1所示)信號，回波時-頻采樣模型可以表示為

將上述點目標(biāo)回波模型推廣至多目標(biāo)情景，可以得到RSF雷達(dá)時-頻回波信號一般表達(dá)式為

其中，K表示一個CRRC內(nèi)的目標(biāo)數(shù)量，αk,rk和vk分別表示第k個目標(biāo)的復(fù)振幅、初始距離和相對徑向速度。

2.2 回波信號矩陣形式變換及特性分析

考慮式(7)對目標(biāo)αk,rk和vk的估計本質(zhì)是對整個觀測譜的重建，即估計每個高分辨距離-速度單元內(nèi)的散射強度，再通過對應(yīng)的柵格位置確定估計目標(biāo)的幅度、距離、速度參數(shù)等。因此，完成MN個單元散射強度的重建即可獲得目標(biāo)參數(shù)rk和vk。顯然，網(wǎng)格的格點數(shù)取決于重建觀測譜的精細(xì)程度，精細(xì)程度越高，需要的網(wǎng)格越密，格點個數(shù)越多。考慮網(wǎng)格間距要小于或等于波形距離、速度分辨率，因此設(shè)置的距離和速度單元分別最少為M,N個。綜上，待估計的高分辨距離和多普勒參數(shù)數(shù)量(M×N)遠(yuǎn)大于采樣數(shù)據(jù)量(N)，即RSF回波的兩維隨機欠采樣問題。此時，若直接采用傳統(tǒng)匹配濾波方法進(jìn)行相參處理，參數(shù)估計會演化為欠定估計問題，導(dǎo)致譜中高旁瓣基底產(chǎn)生。針對上述問題，本文提出了一種基于矩陣填充的方法補全缺失的采樣數(shù)據(jù)，避免欠定估計。

首先，將式(7)中的回波信號重新排列為矩陣形式。流程如圖2所示，根據(jù)載頻編碼順序?qū)⒉蓸訑?shù)據(jù)重新排列至相應(yīng)的時頻采樣位置，空白采樣位置處設(shè)置為0。此時，在重新排列的欠采樣矩陣Y中，第n行第m列元素可以表示為

上述欠采樣矩陣也可以視作是來自于完備矩陣的隨機稀疏觀測，即：

其中，Δ為等效時頻滿采樣矩陣，Ω為載頻編碼模式Un對應(yīng)的時頻數(shù)據(jù)集合。本文的目的即通過欠采樣矩陣Y恢復(fù)滿采樣矩陣Δ。

基于式(7)，由第k個目標(biāo)構(gòu)成的時頻滿采樣矩陣中第n行第m列元素可以表示為

顯然，式(10)可以改寫為兩個向量的乘積：

其中，兩個向量分別為第k個目標(biāo)關(guān)于速度和高分辨率距離的導(dǎo)向矢量，分別為

根據(jù)矩陣乘積秩定理[31]，兩個矩陣相乘得到新矩陣，其秩不大于相乘前任意一個矩陣的秩，因此上述第k個目標(biāo)的時頻滿采樣矩陣秩為1。進(jìn)一步地，由K個目標(biāo)組成的等效時頻滿采樣矩陣可以視為由單個目標(biāo)組成的滿采樣矩陣的線性組合，因此可以得到：

其中，

根據(jù)矩陣秩的不等式性質(zhì)[32]可知，由K個目標(biāo)組成的時頻滿采樣矩陣的秩滿足：

2.3 Hankel矩陣變換及特性分析

矩陣填充方法要求待恢復(fù)矩陣滿足低秩特性。為了保證該前提，本文引入了雙重Hankel變換重新構(gòu)造待恢復(fù)矩陣，從而增強回波信號等效滿采樣矩陣的低秩特性。具體地，首先定義一個維度為N1×(N-N1+1)的Hankel矩陣：

其中，第n個塊矩陣是一個維度為M2×(M-M2+1) 的Hankel矩陣，該矩陣由矩陣Δ的第n行所組成，即：

其中，N1和M2分別是構(gòu)造一階和二階Hankel變換矩陣的維度參數(shù)。

對具有雙重Hankel形式的時頻觀測矩陣ΔH進(jìn)行分解可以得到：

其中，

顯然，由式(20)可知：

而經(jīng)Hankel構(gòu)造變換后，矩陣的維度可達(dá)N1M2×(N-N1)(M-M2+1)，因此變換后的雙重Hankel矩陣具有更優(yōu)異的低秩特性。

3 基于ADMM的數(shù)據(jù)恢復(fù)算法

根據(jù)第2節(jié)的分析，單個粗分辨距離單元目標(biāo)信號具有稀疏性質(zhì)，且經(jīng)Hankel重構(gòu)后的時頻回波矩陣還具有了低秩特性。

因此結(jié)合矩陣稀疏-低秩特性，利用矩陣填充算法可以恢復(fù)存在數(shù)據(jù)缺失的觀測矩陣YH(由原始觀測矩陣經(jīng)雙重Hankel構(gòu)造變換得到)，進(jìn)而得到時頻滿采樣矩陣估計值建立下述優(yōu)化模型

其中，PΩ是觀測投影操作，可以表示為

其中，ΩH表示矩陣經(jīng)雙重Hankel變換后數(shù)據(jù)所在位置的集合，(·)p,q表示矩陣第p行、第q列元素，其中，P=N1M2,Q=(N-N1+1)(M-M2+1)。

由于低秩問題的求解是NP-hard的，通常通過核范數(shù)來近似表示矩陣的秩函數(shù)，即低秩優(yōu)化問題可以建模為

針對上述優(yōu)化問題，現(xiàn)有算法通常將其定義為半正定規(guī)劃問題進(jìn)而采用內(nèi)點法求解，然而由于雙重Hankel變換后的矩陣維度較大，導(dǎo)致半正定規(guī)劃求解十分困難；另一方面，核范數(shù)松弛是對所有奇異值的和求最小化處理，難以準(zhǔn)確近似矩陣的秩[33]。對此，本文采用截斷核范數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)核范數(shù)逼近矩陣的秩。截斷核范數(shù)優(yōu)化目標(biāo)僅求解與矩陣秩不相關(guān)的較小奇異值的和，間接控制待恢復(fù)矩陣秩，從而確保了矩陣低秩估計；進(jìn)一步地，本文通過交替迭代求解思想，將截斷核范數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題實現(xiàn)求解。

截斷核范數(shù)優(yōu)化模型如下：

其中，σi(·)表示取矩陣的第i個奇異值。

由于矩陣的截斷核范數(shù)不遵循凸性質(zhì)，因此我們難以直接求解式(25)。對此，我們采用如下變換將原問題轉(zhuǎn)化為凸問題進(jìn)行求解。

其中，

對左奇異向量U和右奇異向量V取前r行以實現(xiàn)核范數(shù)截斷的效果：

其中，(·)H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置操作，r≤ min(P,Q)為截斷奇異值個數(shù)。這里需要說明的是，矩陣A和BH在后續(xù)算法迭代求解過程中會隨著的更新而更新。

進(jìn)一步，根據(jù)跡不等式可知：

由于A和B的秩為r，因此矩陣BHA的秩≤r。由此可以得到：

綜上，可以得到：

基于以上分析并參考文獻(xiàn)[34,35]，我們通過引入中間變量可將式(25)中的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為如下形式：

至此，我們優(yōu)化模型可表示為

其中，矩陣的核范數(shù)與 Tr(AW BH)均遵循凸性質(zhì)。

對于上述凸優(yōu)化問題，我們采用ADMM算法進(jìn)行求解[36,37]。我們先將其轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，對應(yīng)的增廣拉格朗日函數(shù)可以寫為

其中，β是懲罰因子，Z為拉格朗日乘子。

進(jìn)一步，式(38)可以表示為

式(39)的解可表示為

其中，Dτ(·)為奇異值收縮算子，可以表示為

其中，τ表示奇異值收縮算子門限。

然后，第k+1次迭代的中間變量Wk+1可根據(jù)式(42)得到：

式(42)關(guān)于中間變量W的子問題解為

根據(jù)P Ω(W)=YH約 束項，我們對中間變量Wk+1更新：

最后，根據(jù)上述更新結(jié)果，我們可以得到第k+1次迭代中關(guān)于拉格朗日乘子Z的子問題解為

其中，F(xiàn)range與Fdoppler表示傅里葉正交基矩陣，S表示重建后的的距離-多普勒觀測譜。

綜上，基于ADMM的Hankel變換矩陣填充算法流程如算法1所示。根據(jù)文獻(xiàn)[38]分析，整個算法處理過程中奇異值分解操作對算法運算復(fù)雜度影響最大。其中一個N行M列的矩陣奇異值分解計算復(fù)雜度為

自然地，經(jīng)雙重Hankel矩陣構(gòu)造變換后，算法計算復(fù)雜度為

通常來說N1和M2設(shè)置為矩陣維度的一半，即N1=N/2,M2=M/2，此參數(shù)已在文獻(xiàn)[39]中被證明是利用雙重Hankel變換提升矩陣填充性能的維度最佳選擇。因此，式(48)可簡化表示為

與經(jīng)典匹配濾波方法的理論計算復(fù)雜度O(NM·log(NM))相比，為了重構(gòu)未觀測數(shù)據(jù)樣本解決欠采樣問題，矩陣填充方法付出了較高的計算負(fù)擔(dān)。因此在未來我們還將研究在保持所提方法性能優(yōu)勢的同時進(jìn)一步降低計算復(fù)雜度的改進(jìn)算法。

4 仿真驗證

本節(jié)設(shè)置了單/多點目標(biāo)仿真試驗以驗證所提方法的有效性和優(yōu)越性，波形仿真參數(shù)如表1所示。此外，本文仿真中設(shè)置ADMM算法的最大迭代次數(shù)K為300，步長因子ρ為1.1，初始化懲罰因子β為0.05，截斷奇異值數(shù)r等于目標(biāo)個數(shù)。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

算法 1 基于ADMM的Hankel變換矩陣填充算法Alg.1 Matrix completion algorithm combined with Hankel transformation based on ADMM

需要說明的是，本文研究的是如何實現(xiàn)對單個距離粗分辨單元內(nèi)目標(biāo)的高分辨距離-多普勒譜精確重建，因此試驗中高分辨距離含義是以所在距離粗分辨單元對應(yīng)距離為基準(zhǔn)的相對值，不代表目標(biāo)相對雷達(dá)的真實距離；速度也是在補償了雷達(dá)自身載體速度后，目標(biāo)相對雷達(dá)運動產(chǎn)生的徑向速度。

4.1 單目標(biāo)場景仿真

本節(jié)設(shè)置單目標(biāo)信噪比為10 dB (快時間脈沖壓縮后)，高分辨距離和速度為0 m,0 m/s。采用匹配濾波、所提方法估計得到的隨機步進(jìn)頻雷達(dá)高分辨距離-多普勒譜如圖3(b)、圖3(c)所示；此外，時頻等效滿采樣數(shù)據(jù)(信噪比同樣也設(shè)置為10 dB)估計的高分辨距離-多普勒譜見圖3(a)。可以看出，盡管匹配濾波處理可以有效地聚焦并分辨目標(biāo)，但譜中起伏高旁瓣非常明顯；相比之下，所提方法的估計譜與等效滿采樣數(shù)據(jù)估計結(jié)果非常接近，恢復(fù)效果一致，表明該方法可有效解決欠定估計問題。

圖3 單點目標(biāo)高分辨距離-速度譜估計結(jié)果Fig.3 Range-velocity spectrum for single point target

進(jìn)一步地，圖4展示了不同方法在高分辨距離、速度以及對角線等剖面的點目標(biāo)響應(yīng)函數(shù)(Point Spread Functions,PSF)。可以看出，盡管所有方法估計的主瓣寬度一樣，但與等效滿采樣數(shù)據(jù)恢復(fù)結(jié)果的PSF相比，匹配濾波處理的PSF旁瓣在距離、速度等維度仍增加了18 dB以上，而在對角線方向則增加了28 dB。與之相反，本文提出矩陣填充處理方法可以有效抑制旁瓣，特別是在對角線方向上，其旁瓣水平甚至比等效滿采樣恢復(fù)結(jié)果要低，這表明矩陣填充處理可以準(zhǔn)確地恢復(fù)未觀測的數(shù)據(jù)樣本，且未引入額外噪聲，間接提升了數(shù)據(jù)的輸入信噪比。

圖4 點目標(biāo)響應(yīng)函數(shù)Fig.4 Point spread functions response

為了量化評估提出方法性能，本文采用峰值旁瓣比(Peak Side Lobe Ratio,PSLR)和積分旁瓣比(Integral Side Lobe Ratio,ISLR)兩個指標(biāo)來評估分析提出方法的旁瓣抑制水平，定義如下。圖5和圖6展示了在不同輸入信噪比下不同方法的PSLR和ISLR結(jié)果。其中每個結(jié)果是由300次蒙特卡洛仿真試驗得到。

圖5 PSLR隨輸入信噪比變化關(guān)系Fig.5 PSLR versus input SNR

圖6 ISLR隨輸入信噪比變化關(guān)系Fig.6 ISLR versus input SNR

圖5顯示了PSLR與輸入信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)的關(guān)系。可以看出，所提方法無論在何種輸入SNR下，均優(yōu)于匹配濾波方法，特別是在輸入SNR≥-5 dB后，性能優(yōu)勢更加明顯；此外，當(dāng)輸入SNR＞0 dB后，提出方法的PSLR緩慢下降，幾乎達(dá)到與等效滿采樣數(shù)據(jù)恢復(fù)結(jié)果一樣的性能。需要注意的是，當(dāng)輸入SNR＞10 dB后，該方法的PSLR不再隨輸入SNR的增加而變化，表明該方法的峰值旁瓣抑制性能已達(dá)到最優(yōu)。

圖6顯示了ISLR與輸入SNR的關(guān)系。結(jié)果表明，相比匹配濾波方法，提出方法獲得了更高的平均旁瓣抑制性能。在輸入SNR＞-2 dB時，由于提出方法恢復(fù)的缺失采樣數(shù)據(jù)不包含噪聲，其數(shù)據(jù)恢復(fù)后的平均輸入SNR高于等效滿采樣數(shù)據(jù)的平均輸入SNR，因此等效滿采樣數(shù)據(jù)經(jīng)匹配濾波處理后其平均旁瓣功率(加窗處理后實際為平均噪聲功率)高于本文方法，但其隨輸入信噪比的增加線性降低。此外，與PSLR結(jié)果類似，當(dāng)-2 dB＜輸入SNR＜2 dB，所提方法ISLR急速下降，表明矩陣填充方法有效的前提是相對較高的輸入SNR。

綜上，在本文使用波形參數(shù)和處理算法參數(shù)邊界下，輸入信噪比0 dB是提出方法可有效抑制旁瓣的關(guān)鍵邊界。一般情況下，隨機步進(jìn)頻雷達(dá)都會預(yù)先進(jìn)行脈內(nèi)脈沖壓縮處理，在快時間維聚焦以提高目標(biāo)信噪比并進(jìn)行距離粗分辨，因此在大多數(shù)情況下進(jìn)行高分辨距離-多普勒譜估計時目標(biāo)輸入信噪比基本能滿足0 dB要求。

4.2 多目標(biāo)場景仿真

在4.2節(jié)中，我們開展了多目標(biāo)場景下不同方法估計性能的對比，仿真中共設(shè)置了4個理想點目標(biāo)，其中強目標(biāo)3個，輸入信噪比為10 dB，以高分辨距離0 m、速度0 m/s為中心等間隔分布；弱目標(biāo)1個，輸入信噪比為2 dB，與強目標(biāo)相對距離1.8 m、速度18 m/s。圖7(a)為等效時頻滿采樣回波數(shù)據(jù)處理結(jié)果；圖7(b)與圖7(c)則展示了通過匹配濾波和本文所提方法恢復(fù)數(shù)據(jù)后估計得到的高分辨距離-多普勒譜。結(jié)果表明，傳統(tǒng)匹配濾波方法估計得到的頻譜中存在嚴(yán)重的旁瓣基底，這直接導(dǎo)致了設(shè)置的小信噪比目標(biāo)被大信噪比目標(biāo)的隨機起伏旁瓣所遮蓋，無法有效檢測；同時，在估計譜中出現(xiàn)若干個虛警目標(biāo)。與之相比，經(jīng)過矩陣填充處理后的估計譜旁瓣可以得到有效抑制。

圖7 多目標(biāo)高分辨距離-速度譜估計結(jié)果Fig.7 Range-velocity spectrum for multi-target

圖8顯示了多目標(biāo)在距離、速度剖面的PSF性能。可以看出，提出方法的聚焦效果良好，可以準(zhǔn)確分辨多目標(biāo)，且主瓣寬度與等效滿采樣恢復(fù)譜幾乎一致，表明提出方法沒有損失高分辨距離-多普勒的分辨率。盡管提出方法估計譜中仍存在一些隨機波動的起伏旁瓣，但其旁瓣平均值也遠(yuǎn)低于匹配濾波結(jié)果，證明了所提方法可以在多目標(biāo)環(huán)境下有效抑制旁瓣。需要注意的是，與時頻等效滿采樣數(shù)據(jù)情況相比，提出方法的旁瓣抑制水平在目標(biāo)個數(shù)增多時有所下降，這是因為隨著目標(biāo)數(shù)量的增加，待恢復(fù)矩陣秩也會隨之增大，勢必會影響算法恢復(fù)性能。此外，圖8(c)還比較了多目標(biāo)場景中對角線方向的PSF，結(jié)果表明傳統(tǒng)匹配濾波方法恢復(fù)的弱目標(biāo)主瓣(歸一化后功率-8 dB左右)被淹沒在強目標(biāo)的高功率旁瓣(歸一化后平均功率-13 dB)中，無法被正確地檢測。相比之下，提出方法可以有效地抑制旁瓣，聚焦弱目標(biāo)，取得較好的譜估計效果。

圖8 多目標(biāo)響應(yīng)函數(shù)Fig.8 Point spread functions response for multi-target

最后，本文計算了在輸入信噪比10 dB情況下，不同方法的PSLR,ISLR與目標(biāo)數(shù)量的關(guān)系，每次結(jié)果均進(jìn)行了300次蒙特卡羅仿真試驗，結(jié)果如圖9和圖10所示。可以看出所提方法的旁瓣抑制性能隨著目標(biāo)數(shù)量K的增大而下降。這是因為在多目標(biāo)場景下，雙重Hankel重構(gòu)雖能一定程度上保持矩陣的低秩特性，但無法完全解決因為目標(biāo)數(shù)增加導(dǎo)致矩陣秩快速變大，因此旁瓣抑制水平快速惡化。當(dāng)然正如前文所說，快時間脈沖壓縮預(yù)處理可以有效降低距離粗分辨單元的目標(biāo)數(shù)，一定程度上使得待恢復(fù)矩陣滿足低秩特性，進(jìn)而保證提出方法的譜估計性能。

圖9 多目標(biāo)場景PSLR隨目標(biāo)數(shù)量變化關(guān)系Fig.9 PSLR versus the number of targets

圖10 多目標(biāo)場景ISLR隨目標(biāo)數(shù)量變化關(guān)系Fig.10 ISLR versus the number of targets

4.3 壓縮感知方法性能比較仿真

進(jìn)一步，本文還比較了所提方法與壓縮感知方法估計高分辨距離-多普勒譜的性能。其中壓縮感知方法優(yōu)化模型如下，優(yōu)化算法采用CVX工具包[40]。

其中，s為矢量化后的待恢復(fù)高分辨距離-速度譜，y為時頻欠采樣信號，其第n個元素由式(7)表示，C是根據(jù)Un構(gòu)造的感知矩陣，ε為算法迭代中止門限(與本文方法門限保持一致，均為1E-6)。

仿真中考慮兩個點目標(biāo)場景，并且目標(biāo)參數(shù)均沒有位于預(yù)設(shè)的柵格點之上。所提方法與CS方法估計的距離速度譜如圖11所示。結(jié)果表明，盡管壓縮感知方法可以有效抑制旁瓣，然而譜中也出現(xiàn)了很多虛假目標(biāo)。比較兩者在對角線的PSF (見圖12)，可以發(fā)現(xiàn)提出方法的聚焦效果更好；與之相反，壓縮感知方法能量有所損失。

圖11 高分辨距離-速度譜估計結(jié)果Fig.11 Range-velocity spectrum for multi-target

圖12 距離-速度對角線點目標(biāo)響應(yīng)函數(shù)Fig.12 Point spread function response in diagonal line

表2顯示了在配備AMD Ryzen9 4900HS,3 GHz處理器和16 GB內(nèi)存的計算機上測試所提方法和CS方法的MATLAB運行時間。可以發(fā)現(xiàn)，CS方法的計算時間隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加而顯著提升，而本文所提方法的運行時間(約5 s)總是遠(yuǎn)小于CS方法，這表明提出的方法比CS方法需要更低的計算成本。

表2 運行時間對比結(jié)果(s)Tab.2 Runtimes comparison (s)

此外，在處理高維數(shù)據(jù)時，對于CS方法，每個維度必須被重構(gòu)為向量形式，處理后再形成高維矩陣，這導(dǎo)致相當(dāng)大的內(nèi)存使用，而本文方法將矩陣數(shù)據(jù)作為一個整體來處理，在減少內(nèi)存使用方面具有巨大潛力。

5 實測驗證

為了進(jìn)一步驗證方法的有效性，對實測數(shù)據(jù)進(jìn)行高分辨距離-速度估計，目標(biāo)是一個運動的廂貨卡車(如圖13所示)，回波信號通過一部93 GHz毫米波雷達(dá)樣機采樣獲得，其中雷達(dá)參數(shù)如表3所示。

表3 雷達(dá)波形參數(shù)Tab.3 Waveform parameters of the test radar

圖13 廂貨卡車實測數(shù)據(jù)采集場景Fig.13 Radar prototype and test scenario

試驗中首先通過Matlab生成遵循均勻分布的隨機跳頻序列，并將其存儲到雷達(dá)樣機中。回波信號經(jīng)預(yù)處理(下混頻、濾波、采樣、脈沖壓縮等)后存儲到計算機中。采用匹配濾波、壓縮感知以及本文所提方法估計的高分辨距離-多普勒譜如圖14所示。

圖14 距離-速度譜估計結(jié)果(紅框內(nèi)為目標(biāo)強散射點)Fig.14 Range-velocity spectrum of MF,CS and MC (the target strong scattering points are in the red box)

由于欠定估計，匹配濾波的譜中產(chǎn)生了較高的起伏旁瓣，導(dǎo)致恢復(fù)結(jié)果變差。提出方法的結(jié)果遠(yuǎn)優(yōu)于匹配濾波方法，初步驗證了矩陣填充方法在實際系統(tǒng)中的有效性。壓縮感知方法雖能抑制旁瓣，但其依賴稀疏基的設(shè)計，需要目標(biāo)的先驗信息，對未知場景與目標(biāo)成像效果差。

我們提取了v=-8.75 m/s的高分辨率距離像，以進(jìn)一步分析CS和所提方法的估計性能，如圖15所示。

圖15 目標(biāo)高分辨距離像Fig.15 High resolution range profiles of target

顯然，所提出的方法擁有相對更為優(yōu)越的成像結(jié)果，具體表現(xiàn)在可以很好地在高分辨率距離像上呈現(xiàn)出目標(biāo)的大體輪廓，從而提供更多關(guān)于該目標(biāo)的特征信息；此外，所提出的方法結(jié)果與匹配濾波恢復(fù)結(jié)果的主瓣能量、散射點個數(shù)等匹配更好。相反，壓縮感知恢復(fù)結(jié)果在目標(biāo)分段區(qū)域沒有被完全聚焦，估計的HRRP質(zhì)量較差。因此，我們可以得出結(jié)論，與CS方法相比，本文方法可以獲得更好的HRRP聚焦效果，對于目標(biāo)參數(shù)可以實現(xiàn)高精度估計，更有利于后續(xù)的目標(biāo)分類識別。

6 結(jié)語

本文提出了一種基于矩陣填充的隨機步進(jìn)頻雷達(dá)高分辨率距離-多普勒譜稀疏恢復(fù)方法。該方法利用矩陣填充技術(shù)恢復(fù)未觀測的時頻數(shù)據(jù)，解決了隨機步進(jìn)頻波形固有的二維欠采樣問題。與匹配濾波方法相比，該方法在保持能量、分辨率、模糊度等波形性能不變情況下，能夠有效抑制抬高的旁瓣。此外，與壓縮感知方法相比，所提方法不僅在非柵格點譜恢復(fù)方面取得了更好的性能，并且顯著降低了計算負(fù)擔(dān)。仿真和實測數(shù)據(jù)驗證了該方法的有效性和優(yōu)越性。

利益沖突所有作者均聲明不存在利益沖突

Conflict of InterestsThe authors declare that there is no conflict of interests