基于單元整體教學設計　促進學生幾何思維培養

作者簡介：欒長偉，大連教育學院高級教師。

課題項目：本文系遼寧省教育科學“十四五”規劃課題“初中數學優質課堂教學背景下的作業設計研究”研究成果之一。課題編號：JG21CB202。

摘要：初中數學教材中幾何部分的內容是學生學習的重點之一。在幾何命題的猜想與證明、解題思路的培養與訓練中，教師都應重視發展學生的幾何思維。在幾何教學中，教師要以“教—學—評”一致性為視角，從單元整體教學設計出發，探究教學過程的關注點及學生幾何思維的培養策略。

關鍵詞：“教—學—評”一致性；單元整體教學；幾何思維

初中數學教材中幾何部分的內容是學生學習的重點之一。當前，很多教師把幾何教學的重點單一地放在培養學生的解題能力上，過于注重幾何定義、性質的應用，忽略了其形成過程；過于注重演繹推理的培養，忽略了合情推理能力的培養；過于注重以教材課時為單位的幾何教學設計，忽略了以整體單元來架構學生思維的教學設計。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）在主要變化中提出要注重實現“教—學—評”一致性，不但明確了 “為什么教”“教什么”“教到什么程度”，而且強化了“怎么教”的具體指導，要求做到好用、管用；在“教學建議”中提出要改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系以及學習內容與核心素養之間的關聯。為此，教師要基于“教—學—評” 一致性理念，尋找課堂上促進學生幾何思維培養的著力點，思考提出單元整體教學設計的理由，探索單元整體教學設計下的教學內容分析與目標確定之法，夯實單元整體教學設計方案下的具體幾何教學環節。

一、提出單元整體教學設計的理由

在幾何部分需要進行單元整體教學設計，其本質上有兩個原因：一是基于數學學科的本質特征，即數學是具有抽象結構和邏輯結構的，其中抽象結構是指數學概念和方法的表達逐漸抽象，使得數學具有一般性；邏輯結構是指數學表述的前后關系是有邏輯的，使得數學具有嚴謹性。學生對數學知識的認知，應當從簡單到復雜，從表象到本質。初中階段是學生學習數學概念的起始階段，是學生學會論證的開端，是學生使用數形結合的萌芽。二是基于數學學科的教育特征，主要體現在新課標中“課程性質”所描述的內容中：“數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。”之所以要做到 “教—學—評”一致性，是因為要踐行新課改的關鍵理念之一，即教師不僅應關注結果性目標，更應關注過程性目標，應引導學生在實驗、操作過程中獲得經驗。從“雙基”到“四基”、從“四基”到“三會”，教師應該統一的思想是“數學的眼光比抽象更上位，數學的思維比推理更上位，數學的語言比模型更上位”。

二、單元整體教學設計下的教學內容分析與目標確定之法

（一）構建教學內容之間的框架體系

教學內容分析是理解教學內容、實施課堂教學的必要手段，是教師專業化水平的體現。一節課的教學內容不應該是孤立、碎片化的，而應該是整個教學體系的一部分，教師的任務是重新構建這個教學內容的框架體系。

以人教版數學教材七年級下冊“平行線的性質”為例，平行線的性質是研究角的相等或互補關系的重要理論依據，是研究幾何圖形位置關系和數量關系的重要知識基礎。學生利用平行線的性質可以有效地建立起角之間的關系，這不僅為三角形內角和定理的證明提供“轉移角，湊平角”的轉化方法，也為后續的三角形、四邊形等幾何核心圖形以及平移等知識的學習提供了建立角之間數量關系的理論支撐。

圖形的性質與判定是幾何研究的核心內容，其中圖形的性質研究的是圖形組成元素之間的相互關系。平行線的性質的學習是學生系統研究圖形的性質的過程，將為其后續學習圖形的性質提供基本研究思路。教材從平行線的判定引入，引導學生對平行線的性質展開研究，一方面，滲透圖形的判定與性質之間的互逆關系，凸顯幾何知識研究的連續性；另一方面，使學生經歷利用判定（性質）研究性質（判定）的過程，積累幾何圖形研究的基本活動經驗，體會研究幾何圖形的一般方法。

本章先研究了兩條直線相交的情形，探究了兩條直線相交所成角的位置關系和數量關系，給出了鄰補角和對頂角的概念，得到了相交線“鄰補角互補”“對頂角相等”的性質。接下來，從一般到特殊地研究了相交線的特例——垂直，再將條件和結論反過來，得到垂線的性質。本章的重點是垂線的概念與平行線的判定和性質，學生研學的關鍵是理解與相交線、平行線有關的角的關系。從幾何圖形研學的視角分析，本章前面從一般到特殊地研究相交線，為后面從一般到特殊地研究兩條直線被第三條直線所截的情況提供了必要的研學經驗。學生研究兩條平行線被第三條直線所截時，得出的同位角、內錯角和同旁內角的關系，也就是平行線的性質。從一般到特殊地研學幾何圖形，同樣也能為學生后續學習積累必要的基本活動經驗，讓學生體會研究幾何圖形的一般方法。

對于平行線性質的研究，教材充分尊重學生的思維發展水平，從整體視角優化內容設計，引導學生采用類比平行線的判定思路展開研學。例如，教材中同位角的性質1是通過探究活動引導學生歸納推理得出的，其證明設置在九年級上冊第二十四章“圓”中作為選學內容，并要求用反證法進行證明；內錯角和同旁內角的性質2及性質3是引導學生通過演繹推理得出的，這里的演繹推理過程呈現出傳遞性特點。本章內容中需要重點培養的數學核心素養是推理能力，教材通過上述設計使學生經歷類比研學的過程，有效地培養了其推理能力，發展了其數學核心素養。

基于以上分析，教師可確定本節課的教學重點是：探索證明平行線的性質的過程。

（二）厘清課程目標、單元目標、課時目標之間的關系

從《義務教育數學課程標準（2011年版）》到新課標，從“知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀”到“四基”“四能”，再到“三會”，課程標準中課程目標的設置逐步趨向于高階化。課程目標是讓學生通過初中階段三年的數學學習而到達的那個“目的地”，它指出了學生達成目標時的數學水平、思維能力、行為習慣等特征，但是并沒有具體指明特定的學習方式和方法。事實上，課程目標具體化到特定教學內容時，就是教學目標。

新課標中的“內容要求”是單元教學目標，課堂教學目標是在“三維目標”指導下的單元教學目標具體化。課堂教學目標應該是“具體內容為載體，在過程中落實數學思想和方法，培養思維能力和情感態度價值觀”，更明確地說就是“沒有具體內容為支撐的課堂教學目標是無效目標”。

（三）根據結果性行為動詞和過程性行為動詞設計教學

新課標中的行為動詞有兩類，一類是描述結果目標的行為動詞，包括“了解”“理解”“掌握”“運用”等；另一類是描述過程目標的行為動詞，包括“經歷”“體驗”“感悟”“探索”等。這些目標是形成核心素養的基礎和條件，最終指向學生數學核心素養的形成和發展。教師深刻理解這些行為動詞，不但可以對教材設計意圖有新的認識，而且可以根據這些行為動詞來設計課堂教學。

例如，新課標關于“三角形”的教學目標要求如下：“理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩定性。”其中，“理解”為結果性行為動詞，等價于“認識、會”，即“描述對象的由來、內涵和特征，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系”。

幾何圖形是從實際生活當中抽象出來的，這是“對象的由來”。研究一個幾何圖形，就要研究它的組成元素和相關元素，三角形是由邊和角組成的，邊和角就是三角形的組成元素。研究它們的數量和位置，這是“對象的內涵和特征”；“三線”是三角形的相關元素，內角與外角之間有關聯，“三線”之間有關聯，同時，邊和內角的數量關系影響了“三線”的位置關系，這是“闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系”。

新課標中“了解”為結果性行為動詞，等同于“知道、初步認識”，即“從具體實例中知道或者舉例說明對象的有關特征；根據對象的特征，從具體情境中辨認或舉例說明對象。”為此，教材中通過“工程建筑經常采用三角形結構，如屋頂鋼架，窗框斜定木條……”等實際生活中問題的舉例，來落實“了解三角形穩定性”的教學要求。

“探索”為過程性行為動詞，指“在特定的問題情境下，獨立或者合作參與數學活動，理解或提出數學問題，尋求解決問題的思路，獲得確定結論”。新課標在“內容要求”中提到“探索并證明三角形內角和定理”，就是要使學生經歷三角形內角和的觀察—度量—操作—猜想—驗證全過程，這也是命題教學中強化探究過程的原因。事實上，教材中對很多性質的學習均提出“探索”級別的要求，目的是引導課堂教學關注知識的發生、發展過程，培養學生經歷類比推理、歸納推理發現結論，利用演繹推理驗證結論，從而提升學生的數學核心素養。

三、單元整體教學設計下的幾何教學環節

（一）幾何命題新授課的基本教學環節

幾何命題新授課一般包括以下五個基本教學環節：發現命題、證明命題、認識命題、應用命題、拓展命題。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理又包括類比推理和歸納推理，合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論。在解決問題的過程中，雖然兩種推理功能不同，卻是相輔相成的。

發現命題是幾何命題新授課中培養學生合情推理的基本教學環節。我們常說的發現，是指學生主動形成發現問題的意識和傾向，它應該包括觀察、度量、猜想等常見手段。證明命題是幾何命題新授課中培養學生演繹推理能力的基本教學環節。認識命題既是對發現、證明過的命題進行再思考的過程，更是為應用和拓展命題做鋪墊。教師既要從數學語言，即文字、圖形、符號三方面認識命題，更要深刻分析命題的本質以及此命題對學生以后學習的價值。應用命題是命題價值的體現，更是培養學生演繹推理能力的常見方式。應用命題的教學目標是使學生應用命題去解決問題，幾何命題新授課中的例題設計是應用命題的最好體現。拓展命題是在應用命題基礎上推廣建立的新命題體系。課堂教學中，拓展命題環節的關鍵是教師要選擇與組織能體現命題學習價值的教學內容，其中包括題目的選擇和題目的變式，并適時讓學生進行習題的一題多解。

（二）利用數學史進行命題的教學環節

數學史展示了數學知識、數學方法、數學邏輯的來龍去脈，尤其對學生公理化思想的滲透有很大作用，能使學生深刻理解幾何學局部演繹系統的設置原理，使學生明白“為什么要證明”“使用哪些定義、性質等來證明新命題”。

例如，古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》中對于“等腰三角形兩個底角相等”的證明方法與我們教材中的證明方法不同。此時，教師可以引導學生進行討論，讓學生認識到，“歐氏幾何是先給出研究對象的定義，然后通過公理規定研究對象之間必須滿足的基本關系，最后推導各種各樣的命題”，這就是所謂的公理化思想。考慮到學生的接受能力，教師可構建一些局部的演繹系統，幫助學生感悟演繹的化歸方式與公理化的思想。

（三）在解決問題中培養學生幾何思維的教學環節

類比推理、歸納推理是常見的發現結論的思維方式，演繹推理是驗證結論的常見手段，而解決問題有利于學生演繹推理能力的訓練與培養。幾何內容是學生學習的一個難點，他們很難科學合理地架構起條件與結論之間的關系。解題過程與解題思路是有本質不同的，解題過程是已知方法尋求答案的過程，解題思路則是未知方法尋求方法的過程，目的是引導學生學會使用思維導圖分析問題、解決問題。

如圖1中，已知AB = DC，AC = DB，求證∠ABO = ∠DCO。

【分析】要求證∠ABO = ∠DCO，可以按照以下三個思路展開探究。

思路1：將∠ABO和∠DCO放到兩個三角形中證明全等，即證明?ABO ≌ ?DCO。其中，已知∠AOB = ∠DOC，AB = DC，還缺少一個條件，經分析只能添加∠A = ∠D。要證明∠A = ∠D，需要再次把兩個角放到兩個三角形中證明全等，即證明?ABC ≌ ?DCB。已知AB = DC，AC = DB，BC = CB，得證。

思路2：將∠ABO和∠DCO放到兩個三角形中證明全等，即證明?ABO ≌? ?DCO，也即證明?ABD ≌ ?DCA。連接AD，已知AB = DC，AC = DB，AD = DA，得證。

思路3：根據已知條件AB = DC，AC = DB，BC = CB得到?ABC ≌ ?DCB，從而∠A = ∠D，在?ABO和?DCO中，滿足AB = DC，∠A = ∠D，∠AOB = ∠DOC，得到?ABO ≌ ? DCO，得證。

思路4：在思路3的引導下，若得到?ABC ≌ ?DCB，則∠ACB = ∠DBC，從而OB = OC。?ABO和?DCO滿足“邊邊角”關系，可以過兩組對應邊的交點向對邊作垂直，從而得到?AOP ≌ ?DOQ，再得到?BAP ≌ ?CDQ，得證。

在單元整體教學設計中培養學生幾何思維是一個漫長的過程，之所以強調基于“教—學—評”一致性的單元整體教學，就是需要教師從“教—學—評”一致性角度關注單元整體知識體系，引導學生通過類比、歸納等思維方式，建立具體幾何思維表征之間的關聯，培養學生發現問題的能力。教師要逐步從關注學生解題過程的描述向關注學生解題思路的訓練過渡，逐步從單一的解題經驗傳授向活動經驗積累過渡，逐步培養學生的幾何思維，提升學生的數學核心素養。

參考文獻：

［1］歐幾里得.幾何原本［M］.蘭紀正，朱恩寬，譯.南京：譯林出版社，2011.

［2］鮑建生，章建躍.數學核心素養在初中階段的主要表現之五：推理能力［J］.中國數學教育，2022（12）.

（責任編輯：楊強）