無(wú)窮小在極限概念學(xué)習(xí)過(guò)程中的作用

王軍昌 呂長(zhǎng)青

摘 要：極限是初學(xué)高等數(shù)學(xué)的大學(xué)生面對(duì)的第一個(gè)重要概念.充分理解并準(zhǔn)確把握函數(shù)極限也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)者必須要過(guò)的坎.本文從一個(gè)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者視角來(lái)深入剖析極限的語(yǔ)義、邏輯和關(guān)鍵點(diǎn)，把無(wú)窮小的性質(zhì)、階的比較以及等價(jià)等知識(shí)應(yīng)用于極限概念的理解和某些有關(guān)極限的計(jì)算.這對(duì)深入理解極限概念和巧妙地計(jì)算某些函數(shù)極限都是饒有意義的研究與探索.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；數(shù)列極限；函數(shù)極限；無(wú)窮小；等價(jià)無(wú)窮小

4 結(jié)論

本文從數(shù)列極限、函數(shù)極限的定義著手，研究分析概念中任意給定正數(shù)ε（不論多么小）的“任意小”的意義.剖析極限定義的語(yǔ)義與邏輯，從學(xué)習(xí)者的角度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)無(wú)限逼近定數(shù)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精確表達(dá).基于極限定義得到無(wú)窮小的深刻認(rèn)識(shí)，即極限為零的函數(shù)在自變量的趨近過(guò)程中被視為無(wú)窮小.無(wú)窮小不是很小的定數(shù)，而是自變量足夠靠近定值（或者在數(shù)軸上走得足夠遠(yuǎn)）的時(shí)候函數(shù)的絕對(duì)值可以任意小.無(wú)窮小亦可刻畫描述函數(shù)極限，函數(shù)的極限為定值等價(jià)于自變量足夠靠近定值（或者在數(shù)軸上走得足夠遠(yuǎn)）的時(shí)候函數(shù)值與該定值的差是無(wú)窮小.從本文的論證中不難看到無(wú)窮小在極限四則運(yùn)算法則的論證方面有強(qiáng)有力的應(yīng)用.由于非零無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大，基于這一事實(shí)可巧妙地證明一些函數(shù)為無(wú)窮大，這在本文中給出了舉例說(shuō)明.利用等價(jià)無(wú)窮小的因子替換可以巧解一些極限求解問(wèn)題，這也是無(wú)窮小一個(gè)重要應(yīng)用.

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