能量臨界分數階非線性Schr?dinger方程的整體弱解

武少琪, 廖夢蘭, 曹春玲

(1. 河海大學 數學學院, 南京 211100; 2. 吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

非線性Schr?dinger方程在量子場論、 等離子物理、 光通信等領域應用廣泛[1-3]. 分數階偏微分方程在材料、 力學以及生物系統等領域應用廣泛[4-5]. 目前, 關于非線性Schr?dinger方程的研究已有很多結果, 但對分數階非線性Schr?dinger方程的研究文獻報道較少. Cazenave[4]構造了非線性Schr?dinger方程的弱解; 文獻[6-7]給出了非線性Schr?dinger方程所涉及的Sobolev空間等基礎知識; 此外, 分數階Schr?dinger方程的適定性和散射等問題也得到廣泛關注[8-16]; 對于更高階的分數階Schr?dinger方程, Miao等[17]對聚焦能量臨界四階非線性Schr?dinger方程的整體適定性和散射問題做了相關研究.

(1)

為Hs(d)→H-s(d)上的連續映射.通過構造逼近方程給出方程(1)整體弱解的存在性.逼近方程具有整體適定性, 其解序列存在且唯一, 利用緊性方法對逼近方程的解序列取極限得到方程(1)的整體弱解, 并證明該弱解滿足能量不等式和質量守恒.

1 預備知識

對于u∈D(d)和v∈D′(d), 定義內積

如果u∈L∞(,Hs(d))∩W1,∞(,H-s(d)), 則方程(1)在H-s(d)中有意義.對于?u∈Hs(d), 當時, 方程(1)的能量定義為

(2)

引理1[4]令(um)m∈是L∞(,Hs(d))中的有界序列.假設當m→∞時, 存在u:→Hs(d), 使得在Hs(d)中, 對?t∈,um(t)?u(t)關于x幾乎處處成立, 則有u∈L∞(,Hs(d)), 且

引理2[4]令(um)m∈是L2d/(d+2s)(×d)中的有界序列.假設當m→∞時, 存在u:×d→, 使得um→u在×d上幾乎處處成立, 由于×d任意有限可測, 則當m→∞時, 在L1(×d)中有um→u.

引理3[4]令(um)m∈是W1,∞(,H-s(d))中的有界序列.假設當m→∞時, 存在u:→H-s(d), 使得對?t∈, 在H-s(d)中um(t)?u(t)關于x幾乎處處成立, 則有u∈W1,∞(,H-s(d)), 且

命題1[4]令G∈C1(Hs(d),),g=G′.假設g(0)∈L2(d), 對?M<∞, ?C(M)<∞, 使得對?u,v∈Hs(d), 當‖u‖Hs(d)+‖v‖Hs(d)≤M時, ‖g(v)-g(u)‖L2(d)≤C(M)‖v-u‖L2(d)成立.若對于幾乎處處成立, 則方程

(3)

在Hs(d)中局部適定, 有唯一解, 并滿足質量守恒和能量守恒, 即對?t∈(-Tmin,Tmax),

M(u(t))=M(u0),E(u(t))=E(u0),

其中u是初值方程(3)的解,M(u(t))=‖u(t)‖L2(d).

2 主要結果

引理4假設(um)m∈是L∞(,Hs(d))和W1,∞(,H-s(d))中的有界序列, 則存在子列(仍用(um)m∈表示)和u∈L∞(,Hs(d))∩W1,∞(,H-s(d)), 滿足下列性質:

1) 當m→∞時, 對?t∈, 在Hs(d)中um(t)?u(t);

2) 當k→∞時, 對?t∈, 存在子列mk, 使得umk(t,x)→u(t,x)關于x∈d幾乎處處成立;

3) 當m→∞時,um(t,x)→u(t,x)關于(t,x)∈×d幾乎處處成立.

證明: 令k∈,d; |x|

再用控制收斂定理可知當m→∞時, 有

給定t∈和k∈, 在中有成立.由L2空間性質知, 當j→∞時, 存在子列mj, 使得umj(t)→u(t)在中幾乎處處成立.令k→∞, 可得性質2)成立.

最后, 根據1)得出在Hs(d)(H-s(d))中, 對?t∈,um(t)?u(t)成立.由引理1和引理3可得u∈L∞(,Hs(d))∩W1,∞(,H-s(d)).

本文主要結果如下:

定理1對于?u0∈Hs(d), 方程(1)存在弱解

u∈L∞(,Hs(d))∩W1,∞(,H-s(d)),

(4)

此外, 對?t∈, 滿足

‖u(t)‖L2(d)=‖u0‖L2(d),E(u(t))≤E(u0).

(5)

證明: 通過緊性方法構造解u, 下面分兩步證明.

1) 構造逼近方程.取整數m≥1, 令

特別地,fm:→是整體Lipschitz連續函數.令

給定u∈Hs(d), 顯然,Gm≥0,Gm(u)∈L2(d).記gm(u)(x)=fm(u(x)),

由命題1可知方程

(6)

存在唯一解um∈C(,Hs(d))∩C1(,H-s(d)), 此外, 對?t∈, 滿足

‖um(t)‖L2(d)=‖u0‖L2(d),

(7)

Em(um(t))=Em(u0).

(8)

由式(7)可知‖um(t)‖L2(d)為常數, 即‖um(t)‖L2(d)<∞,um(t)∈L2(d).同理, 由式(8)可得Em(um(t))<∞.

因此, 能量等式(2)表明um在L∞(,Hs(d))中有界,Gm(um)在L∞(,L(d))中有界.注意到

結合Gm(um)在L∞(,L(d))中有界可得gm(um)在L∞(,L2d/(d+2s)(d))中有界.由Sobolev嵌入定理Hs(d)?L2d/(d-2s)(d)知,L2d/(d+2s)(d)?H-s(d), 再結合式(6)可得在L∞(,H-s(d))中有界.

2) 證明弱解的存在性.根據um在L∞(,Hs(d))中有界和在L∞(,H-s(d))中有界可知, 對序列um利用引理4, 有u∈L∞(,Hs(d)), 其中u為um的極限.由引理4中性質1)和2)可得當m→∞時, 對?t∈, 在Hs(d)中有um(t)?u(t), 并存在子列mk, 使得umk(t,x)→u(t,x)關于x∈d幾乎處處成立.根據Fatou引理可得

因此能量不等式E(u(t))≤E(u0)成立.

由引理4中性質1)得um(0)?u(0), 再結合弱極限的唯一性得u(0)=u0.根據方程(6)可知, 對?φ∈D()和?ψ∈D(d), 有

根據分部積分公式得

(9)

由um在L∞(,Hs(d))中有界及引理4中性質1)可知, 當m→∞時, 有

(10)

因為測試函數φ,ψ有緊支集, 所以函數hm(t,x)=gm(um)ψ(x)φ(t)有緊支集.由gm(um)在L∞(,L2d/(d+2s)(d))中有界可知,hm在空間L2d/(d+2s)(×d)中有界.由引理4中性質3)可知hm→-uψφ在×d中幾乎處處成立.因為hm有緊支集, 因此根據引理2可得hm→-uψφ在L1(×d)中成立.由式(9)和(10)可得

進一步有

再結合u∈L∞(,Hs(d)), 可得ut∈L∞(,H-s(d))且u在分布意義下滿足方程(1).

故有

從而

因此‖u(t)‖L2(d)為與時間無關的常數.由于在L2(d)中當um→u時, 有故

‖u‖L2(d)=‖u0‖L2(d).