一類具有重力勢和阻尼項的非牛頓流體解的存在唯一性

邢慧芳, 趙園園, 孟 秋

(北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013)

1 引言與主要結果

本文以一類具有阻尼與重力勢的剪切變稀流體為研究對象, 研究強非線性體系解的存在唯一性.模型具有奇異性和強耦合性.此外, 方程組允許初始真空.

本文考慮一維有界區域具有重力勢和阻尼項的可壓縮非牛頓流體:

(1)

定義1若滿足下列條件, 則稱(ρ,u,Φ)為初邊值問題(1)的解:

(ii) 對任意φ∈C([0,T];H1),φt∈L∞(0,T;L2), a.e.t∈(0,T), 有

(2)

則存在T*∈(0,+∞), 使得在ΩT*上存在滿足定義1的唯一解(ρ,u,Φ).

2 預備知識

引理1[3]若f=0在?Ω上,Ω為1有界開集,d(Ω)為Ω長度且則

|f′|L∞(Ω)≤d(Ω)|f″|L2(Ω).

引理2[2]設Ω為1有界區間, 1≤q≤p≤+∞, 則

(3)

于L2(Ω)強收斂.

證明:

因此對任意η>0存在N, 使得當i,j>N時,

于L2強收斂.

3 具有正密度解的存在性

考慮如下逼近系統:

設(ρk,uk,Φk)是其唯一光滑解.令

若不做說明, 則C僅依賴N0, 不失一般性, 令μ1=1.

3.1 一致估計

得|Φ0xx|L2≤C.

2) 估計|Φx|Lq(Ω).由式(1)可得

則

結合式(5)可得

則

(7)

因此

通過計算可得

令

由Sobolev嵌入定理和Young不等式可得

經過遞推關系可得

(9)

由式(5)可得

由(ρ,u,Φ)為光滑解, 可得

因此

根據Jk的定義及上述估計, 總存在一個較小的時間0

成立.

3.2 近似解的收斂性

由式(10)可得

令

則

應用Gronwall不等式, 得

(15)

3.3 解的存在性

1)k→∞.先證(ρε,uε,Φε)是如下問題的解:

(16)

由于(ρk,uk,Φk)是式(4)～(6)的唯一光滑解, 因此, 當k→∞時,

C僅依賴Nφ, 其中Nφ=N0+|φx|L∞(0,T*;L∞)+|φt|L∞(0,T*;L2)+|φx|L∞(0,T*;L2)+|f|L∞(0,T*;L2).

令w(s)=(s2+μ2)(q-2)/2s, 則

2)ε→0.先證

(17)

4 定理1的證明

4.1 存在性

(18)

(19)

(20)

且(ρδ,uδ,Φδ)滿足一致估計

4.2 唯一性

通過計算可得

進而

因此