具變指數(shù)非線性項(xiàng)的強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程的爆破

李海霞, 曹春玲

(1. 長(zhǎng)春師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130032; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

考慮如下具變指數(shù)非線性項(xiàng)的半線性強(qiáng)阻尼波方程的初邊值問(wèn)題:

(1)

其中Ω?n(n≥1)是具光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,p(x)是Ω上的可測(cè)函數(shù),

目前, 關(guān)于初邊值問(wèn)題

(2)

另一方面, 具變指數(shù)的發(fā)展方程近年來(lái)也備受關(guān)注[6-9]. 關(guān)于具變指數(shù)的弱阻尼波動(dòng)方程的爆破結(jié)果, Messaoudi等[10]考慮了如下波動(dòng)方程:

(3)

其中a和b是正常數(shù),m(·)和p(·)是可測(cè)函數(shù).在對(duì)問(wèn)題(3)建立了弱解的存在唯一性之后, 文獻(xiàn)[10]得到了一個(gè)負(fù)初始能量時(shí)的有限時(shí)刻爆破結(jié)果.Messaoudi等[11]將上述爆破結(jié)果推廣至如下擬線性弱阻尼波動(dòng)方程上:

(4)

此外, 還將上述問(wèn)題的爆破條件推廣為適當(dāng)小的正初始能量.

對(duì)具變指數(shù)項(xiàng)的半線性或擬線性強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程的爆破研究目前也有一些結(jié)果. 例如: Antontsev[12]研究了擬線性波動(dòng)方程

(5)

當(dāng)參數(shù)和變指數(shù)滿(mǎn)足一定條件時(shí), 證明了該問(wèn)題弱解的局部存在性以及負(fù)初始能量條件下弱解的有限時(shí)刻爆破, 但當(dāng)初始能量非負(fù)時(shí), 對(duì)問(wèn)題(5)是否存在有限時(shí)刻爆破解未給出回答; Park[13]研究了問(wèn)題(5)的一個(gè)特例, 即問(wèn)題(1)的爆破性質(zhì), 利用Levine[14]的凹方法, 得到了當(dāng)初始能量有正上界時(shí)問(wèn)題(1)的一個(gè)爆破結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)p:Ω→[1,∞)是一個(gè)有界可測(cè)函數(shù), 并記

變指數(shù)Lebesgue空間Lp(x)(Ω)定義為

該空間在被賦以范數(shù)(Luxemburg范數(shù))

(6)

引理1[15]設(shè)p:Ω→[1,∞)是有界可測(cè)函數(shù), 且滿(mǎn)足

2≤p(x)<∞,n=1,2;

本文考慮問(wèn)題(1)在下述意義下的弱解u(x,t).在不產(chǎn)生歧義時(shí),u(x,t)也常被簡(jiǎn)記為u(t).弱解的局部存在和唯一性可通過(guò)適當(dāng)修改文獻(xiàn)[4,10]中的方法得到.

(7)

則稱(chēng)u(x,t)為問(wèn)題(1)在[0,T]上的一個(gè)弱解.

假設(shè)條件:

(H2) 對(duì)數(shù)型H?lder連續(xù)性條件: 存在A>0及δ∈(0,1), 使得對(duì)幾乎所有滿(mǎn)足|x-y|<δ的x,y∈Ω, 均有

記Tmax為問(wèn)題(1)弱解u=u(t)的最大存在時(shí)間, 并定義能量泛函、 Nehari泛函與不穩(wěn)定集分別為

(8)

(9)

(10)

在式(7)中取φ=ut可得能量恒等式:

(11)

式(11)表明E(t)關(guān)于t在[0,Tmax)上是單調(diào)不增的.

事實(shí)上, 利用與文獻(xiàn)[4]中證明定理3.1類(lèi)似的討論和連續(xù)延拓定理[16]可知, 如果Tmax<∞, 則

(12)

于是, 由式(8),(11)和Sobolev不等式可得

定義2設(shè)u(t)是問(wèn)題(1)的弱解,Tmax是它的最大存在時(shí)間.若Tmax<∞, 則稱(chēng)u(t)在有限時(shí)刻爆破, 并稱(chēng)Tmax是u的爆破時(shí)間.若Tmax=∞, 則稱(chēng)u(t)是整體存在的.

2 主要結(jié)果

引理2[14,17]假設(shè)ψ(t)是一個(gè)正的二次可微函數(shù), 且滿(mǎn)足

ψ″(t)ψ(t)-(1+θ)(ψ′(t))2≥0,

(14)

則問(wèn)題(1)的解u(t)在有限時(shí)刻爆破, 且爆破時(shí)間Tmax的上界滿(mǎn)足如下估計(jì):

(15)

其中λ,a,b0是確定的常數(shù).

證明: 證明過(guò)程分為4步.

表明F(t)在(0,Tmax)上嚴(yán)格單調(diào)遞增.

2) 證明u(t)∈N-,t∈[0,Tmax).若不然, 則由連續(xù)性及假設(shè)條件I(u0)<0可知, 存在t0∈(0,Tmax), 使得

I(u(t))<0,t∈[0,t0),

(17)

I(u(t0))=0.

(18)

(19)

注意到F(t)的連續(xù)性和單調(diào)性, 由式(19)得

(20)

另一方面, 由式(8)和式(9)得

由式(6),(11),(18),(21)和Cauchy-Schwarz不等式, 可得

與式(20)矛盾.故結(jié)論成立.

3) 通過(guò)選取適當(dāng)?shù)膮?shù)并結(jié)合Levine凹方法證明Tmax<∞.若不然, 假設(shè)u是問(wèn)題(1)的整體解, 則Tmax=∞.類(lèi)似于文獻(xiàn)[13]中的證明, 對(duì)任意T>0,b>0,η>0, 定義

(23)

則G(t)>0,t∈[0,T],

由式(24)得

利用Cauchy-Schwarz不等式知

(u,ut)≤‖u‖2‖ut‖2,

(27)

(28)

將式(27),(28)與Cauchy不等式相結(jié)合, 進(jìn)一步可得

對(duì)任意的λ∈(2,p1).注意到式(23),(25),(29)可得

其中

由式(6),(8),(11),(9)知

下面取

(32)

由式(31)及F(t)的單調(diào)性知, 對(duì)任意的

(33)

均有

于是, 結(jié)合式(30)和式(34)可知, 對(duì)任意滿(mǎn)足式(33)的b, 均有

(35)

選取不依賴(lài)于T的η滿(mǎn)足

(36)

則

且對(duì)充分大的T有

(37)

對(duì)G(t)應(yīng)用引理2可知, 存在t*>0滿(mǎn)足

(38)

使得

(39)

由式(39)易知

(40)

由注1知, 式(40)表明u(t)在t*時(shí)刻爆破.這與u(t)是問(wèn)題(1)的整體解矛盾.故Tmax<∞.

利用平行于3)的證明, 可得

其中

(41)

λ仍由式(32)給出,b滿(mǎn)足式(33).如果仍要求η滿(mǎn)足式(36), 則式(41)可改寫(xiě)為

(42)

固定b滿(mǎn)足式(33).記

直接驗(yàn)證易知T(b,η)在η=η0處取到其在

上的最小值, 且

最后, 令函數(shù)T(b,η0)關(guān)于b在式(33)上取最小值, 得

其中

綜上, 由式(42)可知

證畢.

此外, 對(duì)任意的D>0, 存在α2>0, 使得

根據(jù)定理2知, 問(wèn)題(1)以(u0,u1)為初值的解u(x,t) 在有限時(shí)刻爆破, 且初始能量滿(mǎn)足E(0)=D.

下面給出問(wèn)題(1)爆破時(shí)間的一個(gè)下界估計(jì).由于爆破時(shí)間的下界可以為所考慮的系統(tǒng)提供一個(gè)安全(穩(wěn)定)區(qū)間, 所以在實(shí)際應(yīng)用中非常重要.

定理3若p(x)滿(mǎn)足假設(shè)條件(H1)和(H2),u(x,t)是問(wèn)題(1)的一個(gè)在Tmax時(shí)刻爆破的弱解.則Tmax可從下方估計(jì)為

證明: 先利用特定泛函滿(mǎn)足的一階微分不等式得到爆破時(shí)間的一個(gè)下界估計(jì).為避免證明過(guò)程冗長(zhǎng), 這里只給出n≥3時(shí)的證明(n=1,2時(shí)類(lèi)似可證).記

(43)

由于u(x,t)在Tmax時(shí)刻爆破, 因此由式(12)知

(44)

直接計(jì)算可得

(46)

K′(t)≤C1+C2Kp2-1(t),

(48)

表明對(duì)任意的t∈[0,Tmax)均有

(49)

令t→Tmax并注意到式(44), 得

(50)

由于p2-1>1, 故式(50)右端項(xiàng)是有限的.證畢.