具變指數非線性項的強阻尼波動方程的爆破

李海霞, 曹春玲

(1. 長春師范大學 數學學院, 長春 130032; 2. 吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

考慮如下具變指數非線性項的半線性強阻尼波方程的初邊值問題:

(1)

其中Ω?n(n≥1)是具光滑邊界?Ω的有界區域,p(x)是Ω上的可測函數,

目前, 關于初邊值問題

(2)

另一方面, 具變指數的發展方程近年來也備受關注[6-9]. 關于具變指數的弱阻尼波動方程的爆破結果, Messaoudi等[10]考慮了如下波動方程:

(3)

其中a和b是正常數,m(·)和p(·)是可測函數.在對問題(3)建立了弱解的存在唯一性之后, 文獻[10]得到了一個負初始能量時的有限時刻爆破結果.Messaoudi等[11]將上述爆破結果推廣至如下擬線性弱阻尼波動方程上:

(4)

此外, 還將上述問題的爆破條件推廣為適當小的正初始能量.

對具變指數項的半線性或擬線性強阻尼波動方程的爆破研究目前也有一些結果. 例如: Antontsev[12]研究了擬線性波動方程

(5)

當參數和變指數滿足一定條件時, 證明了該問題弱解的局部存在性以及負初始能量條件下弱解的有限時刻爆破, 但當初始能量非負時, 對問題(5)是否存在有限時刻爆破解未給出回答; Park[13]研究了問題(5)的一個特例, 即問題(1)的爆破性質, 利用Levine[14]的凹方法, 得到了當初始能量有正上界時問題(1)的一個爆破結果.

1 預備知識

設p:Ω→[1,∞)是一個有界可測函數, 并記

變指數Lebesgue空間Lp(x)(Ω)定義為

該空間在被賦以范數(Luxemburg范數)

(6)

引理1[15]設p:Ω→[1,∞)是有界可測函數, 且滿足

2≤p(x)<∞,n=1,2;

本文考慮問題(1)在下述意義下的弱解u(x,t).在不產生歧義時,u(x,t)也常被簡記為u(t).弱解的局部存在和唯一性可通過適當修改文獻[4,10]中的方法得到.

(7)

則稱u(x,t)為問題(1)在[0,T]上的一個弱解.

假設條件:

(H2) 對數型H?lder連續性條件: 存在A>0及δ∈(0,1), 使得對幾乎所有滿足|x-y|<δ的x,y∈Ω, 均有

記Tmax為問題(1)弱解u=u(t)的最大存在時間, 并定義能量泛函、 Nehari泛函與不穩定集分別為

(8)

(9)

(10)

在式(7)中取φ=ut可得能量恒等式:

(11)

式(11)表明E(t)關于t在[0,Tmax)上是單調不增的.

事實上, 利用與文獻[4]中證明定理3.1類似的討論和連續延拓定理[16]可知, 如果Tmax<∞, 則

(12)

于是, 由式(8),(11)和Sobolev不等式可得

定義2設u(t)是問題(1)的弱解,Tmax是它的最大存在時間.若Tmax<∞, 則稱u(t)在有限時刻爆破, 并稱Tmax是u的爆破時間.若Tmax=∞, 則稱u(t)是整體存在的.

2 主要結果

引理2[14,17]假設ψ(t)是一個正的二次可微函數, 且滿足

ψ″(t)ψ(t)-(1+θ)(ψ′(t))2≥0,

(14)

則問題(1)的解u(t)在有限時刻爆破, 且爆破時間Tmax的上界滿足如下估計:

(15)

其中λ,a,b0是確定的常數.

證明: 證明過程分為4步.

表明F(t)在(0,Tmax)上嚴格單調遞增.

2) 證明u(t)∈N-,t∈[0,Tmax).若不然, 則由連續性及假設條件I(u0)<0可知, 存在t0∈(0,Tmax), 使得

I(u(t))<0,t∈[0,t0),

(17)

I(u(t0))=0.

(18)

(19)

注意到F(t)的連續性和單調性, 由式(19)得

(20)

另一方面, 由式(8)和式(9)得

由式(6),(11),(18),(21)和Cauchy-Schwarz不等式, 可得

與式(20)矛盾.故結論成立.

3) 通過選取適當的參數并結合Levine凹方法證明Tmax<∞.若不然, 假設u是問題(1)的整體解, 則Tmax=∞.類似于文獻[13]中的證明, 對任意T>0,b>0,η>0, 定義

(23)

則G(t)>0,t∈[0,T],

由式(24)得

利用Cauchy-Schwarz不等式知

(u,ut)≤‖u‖2‖ut‖2,

(27)

(28)

將式(27),(28)與Cauchy不等式相結合, 進一步可得

對任意的λ∈(2,p1).注意到式(23),(25),(29)可得

其中

由式(6),(8),(11),(9)知

下面取

(32)

由式(31)及F(t)的單調性知, 對任意的

(33)

均有

于是, 結合式(30)和式(34)可知, 對任意滿足式(33)的b, 均有

(35)

選取不依賴于T的η滿足

(36)

則

且對充分大的T有

(37)

對G(t)應用引理2可知, 存在t*>0滿足

(38)

使得

(39)

由式(39)易知

(40)

由注1知, 式(40)表明u(t)在t*時刻爆破.這與u(t)是問題(1)的整體解矛盾.故Tmax<∞.

利用平行于3)的證明, 可得

其中

(41)

λ仍由式(32)給出,b滿足式(33).如果仍要求η滿足式(36), 則式(41)可改寫為

(42)

固定b滿足式(33).記

直接驗證易知T(b,η)在η=η0處取到其在

上的最小值, 且

最后, 令函數T(b,η0)關于b在式(33)上取最小值, 得

其中

綜上, 由式(42)可知

證畢.

此外, 對任意的D>0, 存在α2>0, 使得

根據定理2知, 問題(1)以(u0,u1)為初值的解u(x,t) 在有限時刻爆破, 且初始能量滿足E(0)=D.

下面給出問題(1)爆破時間的一個下界估計.由于爆破時間的下界可以為所考慮的系統提供一個安全(穩定)區間, 所以在實際應用中非常重要.

定理3若p(x)滿足假設條件(H1)和(H2),u(x,t)是問題(1)的一個在Tmax時刻爆破的弱解.則Tmax可從下方估計為

證明: 先利用特定泛函滿足的一階微分不等式得到爆破時間的一個下界估計.為避免證明過程冗長, 這里只給出n≥3時的證明(n=1,2時類似可證).記

(43)

由于u(x,t)在Tmax時刻爆破, 因此由式(12)知

(44)

直接計算可得

(46)

K′(t)≤C1+C2Kp2-1(t),

(48)

表明對任意的t∈[0,Tmax)均有

(49)

令t→Tmax并注意到式(44), 得

(50)

由于p2-1>1, 故式(50)右端項是有限的.證畢.