帶阻尼項和時滯項的三維磁流體方程解的適定性

張明嬌, 宋小亞, 李曉軍

(河海大學 數學學院, 南京 211100)

磁流體方程是流體力學中Navier-Stokes方程和電動力系統中Maxwell方程的耦合. 磁流體動力學在等離子體物理、 天體物理及控熱核聚變和工業新技術中應用廣泛. 文獻[1-2]研究有界區域上磁流體方程的適定性, 證明了二維磁流體方程弱解和全局強解的存在唯一性, 并得到了三維磁流體方程局部強解的存在唯一性、 弱解的存在性和全局強解的唯一性.

三維不可壓磁流體方程弱解的唯一性和強解的全局存在性目前尚未得到證明. 因此, 帶阻尼項的三維磁流體方程受到研究者的廣泛關注, 并從不同角度進行了研究. 阻尼項主要用于描述各種物理現象, 如阻力、 摩擦效應、 多孔介質流動和一些耗散機制等[3-4]. 關于帶阻尼項的三維磁流體方程的研究已取得了豐富成果, 例如, 在滿足下列條件之一時:

1)α≥4,β≥4;

文獻[5]證明了帶阻尼項的三維磁流體方程強解的適定性; 文獻[6-7]研究表明, 臨界指數3至關重要, 文獻[6]對上述條件進行了優化, 在滿足下列條件之一時:

4)α≥4,β≥1.

得到了帶阻尼項的三維磁流體方程強解的適定性.上述結果表明, 帶阻尼項的三維磁流體方程強解適定性的臨界指數是α≥3, 而不是α>3.

為更真實描述物理學與生物學等領域內的自然現象, 關于三維磁流體方程本文引入了時滯項.時滯效應主要用于描述物理和生物等領域內的時間延遲效應, 時滯效應的影響通常體現為: 當想通過施加外力控制系統時不僅要考慮到系統的當前狀態而且還要考慮系統的歷史狀態.與不帶時滯項的三維磁流體方程相比, 該模型中g1(t,ut),g2(t,Bt)的非自治固有性會導致一些困難, 尤其是緊性方面的困難.例如: 文獻[8]證明了帶時滯項的二維磁流體方程強解的適定性; 當B=0時帶時滯項的磁流體方程簡化為帶時滯項的Navier-Stokes方程, 文獻[9]研究了帶時滯項的二維Navier-Stokes方程強解的適定性. 基于此, 本文主要考慮帶阻尼項與時滯項的三維磁流體方程, 證明其解的存在性和唯一性, 同時確定阻尼項中的最優指數. 所以本文的研究結果不僅豐富了無窮維動力系統的內容, 而且在流體動力學模型后續的研究中具有促進作用.

1 預備知識

考慮有界域上具有非線性阻尼和時滯項的三維磁流體方程:

(1)

其中Ω?3為有界開集,α≥1,β≥1為正常數,u(x,t),B(x,t)分別表示速度場和磁場,p(x,t)表示壓力場,f(x,t)表示外力,g1(t,ut),g2(t,Bt)表示時滯項.

令1≤p≤∞, 下面引入一些函數空間和算子:

通過考慮通常的抽象空間, 可將系統(1)進行簡化, 令

定義H,V空間上的內積如下:

并且

V=V×V, H=H×H,V*是V的對偶空間.

則有V?H=H*?V*, 并且其中的映射是連續且稠密的.

下面定義3個算子A1,A2∈L(V,V*),A∈L(V,V*):

可將A1,A2,A視為(H,H,H)上的無界算子, 定義域為

D(A1)={u∈V,A1u∈H},D(A2)={B∈V,A2B∈H},D(A)=D(A1)×D(A2).

由文獻[1]可得

D(A1)=H2(Ω)∩V,D(A2)=H2(Ω)∩V,D(A)=H2(Ω)∩V.

下面引入三線性形b:

可知三線性形b在空間(H1(Ω))3上是連續的, 且有

b(u,v,v)=0, ?u∈V, ?v∈H1(Ω),

b(u,v,w)=-b(u,w,v), ?u∈V, ?v,w∈H1(Ω).

引理1[10]對任意的u=(u1,u2,u3)∈3, 記F(u)=u, 則F(u)在3中連續可微, 并且

則F(u)是正定的, 且有

其中正常數c僅依賴于Ω.

引理2[10]以下事實成立:

下面對時滯項進行適當的假設[9,11].設(X,Y)是Banach空間,g:×CX→Y且下列條件成立:

(i) 對所有的u∈CX, 映射t∈→g(t,u)∈Y是可測的;

(ii) 對于每個t∈,g(t,0)=0;

(iii) 存在Lg>0, 使得?t∈及?u,v∈CX, 有

‖g(t,u)-g(t,v)‖Y≤Lg‖u-v‖CX.

(iv) 存在θ0≥0,Cg>0, 使得對?θ∈[0,θ0], ?τ∈t及?u,v∈C0([τ-h,t];X), 有

下面針對時滯項引入一些空間:

其對應的范數分別為

2 強解的存在性及唯一性

4)α≥7,β≥3.

則有

ξ=(u,B)是系統(1)的強解且唯一.

對每個固定的正整數m, 設

(2)

(3)

(4)

由常微分方程解的存在性和唯一性性質可知, 對每個整數m=1,2,…, 均存在式(2)滿足式(3)定義在區間[τ,Tm](τ

下面給出解ξm(x,t)=(um(x,t),Bm(x,t))的一些先驗估計.

1) 對式(3)中第一式和第二式分別乘djm(τ),ejm(τ), 再對j=1,2,…,m進行求和, 得

由于

b(um(t),um(t),um(t))=0,b(um(t),Bm(t),Bm(t))=0,

b(Bm(t),Bm(t),um(t))=-b(Bm(t),um(t),Bm(t)),

因此通過H?lder不等式、 Young不等式、 Poincaré不等式, 可得

在先秦儒家的敘事里，男女之別往往等同于內外、公私與主從之別，主要體現于以下方面：一是生活空間上的隔離，二是社會活動領域上的區分，三是社會角色與道德教化上主從關系的確立。

進一步可得

‖um(t)‖2+‖Bm(t)‖2≤K1, ?t∈[τ,T].

(7)

利用式(4),(6),(7)可推出

綜上可得

(8)

2) 對式(3)中第一式和第二式分別乘δjdjm(t),κjejm(t), 再對j=1,2,…,m進行求和, 得

其中

進一步, 有

由H?lder不等式和Young不等式, 可得

(10)

下面分兩種情形討論.

情形① 由Young不等式和引理2, 可得

下面對其他項進行估計:

結合式(12)及H?lder不等式, 可得

由Gagliardo-Nirenberg不等式和Sobolev嵌入定理, 得

再由上述估計及Young不等式, 可得

將式(10),(11),(13)代入式(9), 可得

(15)

情形②

由H?lder不等式, 可得

由Gagliardo-Nirenberg不等式, 可得

‖um(t)‖L2(α+1)/(α-1)≤C‖um(t)‖(α-2)/(α+1)‖2um(t)‖3/(α+1),α≥2.

由上述估計及Young不等式, 可得

將式(10),(16)代入式(9), 可得

綜上可知, 當α≥3, 4≤β≤5或α≥4,β≥1時, 有式(15).

由Young不等式, 可得

由上述結果可得

對式(18)中t在區間[τ,t]上進行積分, 可得

(19)

4) 由式(15),(19)以及文獻[12]中的一些插值結果, 得

ξm∈C0([τ,T];V).

(20)

5) 由式(4),(15),(19),(20)可知, 可找到序列ξm的子列ξmk(其中ξmk={umk,Bmk}), 具有以下性質:

①ξmk在空間L2(τ,T;D(A))中弱收斂到ξ;

②umk在空間L∞(τ,T;V)∩L∞(τ,T;Lα+1(Ω))中弱*收斂到u;

③Bmk在空間L∞(τ,T;V)∩L∞(τ,T;Lβ+1(Ω))中弱*收斂到B;

④ξmk在空間L2(τ-h,T;V)中強收斂到ξ.

由ξmk于空間L2(τ-h,T;H)強收斂到ξ及假設條件(iv)可知,g1(·,um)于空間L2(τ,T;H)強收斂到g1(·,u),g2(·,Bm)于空間L2(τ,T;H)強收斂到g2(·,B).

下面證明解的唯一性.

故有

由引理2可得