一類帶次線性中立項和分布時滯的三階阻尼微分方程的振動性

林 文 賢

(韓山師范學院 數學與統計學院, 廣東 潮州 521041)

0 引 言

考慮具有分布時滯和阻尼項的三階中立型微分方程:

的振動性, 且滿足下列條件:

(H1) 0<μ≤1,κ≥1,μ,κ均為兩個正奇數之商;

(H6)G(x,ξ,v)∈C([x0,∞)×[a,b]×(0,∞),(0,∞)),m(x,ξ)∈C([x0,∞)×[a,b],(0,∞)),G(x,ξ,v)/vκ≥m(x,ξ);

令

(2)

若函數y(x)滿足方程(1)及y(x)∈C1([Ty,∞),(-∞,+∞)),p(x)[z(x)(w′(x))κ]′∈C1[Ty,∞),Ty≥t0, 則稱y(x)是方程(1)的一個解.若y(x)既非最終為正, 也非最終為負, 則稱y(x)在[Ty,∞)上振動; 否則, 稱y(x)是非振動的.

由于中立型微分方程廣泛應用于自然科學和應用技術等領域, 因此關于三階中立型微分方程解的振動性和漸近性研究備受關注[1-12].文獻[3]研究了三階方程

(a(x)(b(x)(y(x)+py(x-τ))′)′)′+q(x)f(y(x-σ))=0

的振動性; 文獻[7]研究了具連續分布滯量的三階微分方程

的振動性; 文獻[8]研究了方程(1)當μ=κ=1及Z(x)恒為1時特例的振動性; 文獻[10]研究了三階阻尼微分方程

[r(t)([x(t)+p(t)x(τ(t))]″)α]′+m(t)([x(t)+p(t)x(τ(t))]″)α+q(t)f(x(σ(t)))g(x′(t))=0

的振動性; 文獻[11]研究了方程(1)當μ=κ=1時特例的振動性, 得到了若干解的振動性定理.

本文受文獻[7-10]的啟發, 考慮中立型方程(1)當0<μ≤1和κ≥1時更廣泛的情形, 給出該方程的振動性條件及實例.

1 引 理

引理1若y(x)是方程(1)的正解, 則當x≥x1≥x0時有下列兩種可能:

1)w(x)>0,w′(x)>0, (z(x)[w′(x)]κ)′>0;

2)w(x)>0,w′(x)<0, (z(x)[w′(x)]κ)′>0.

證明: 首先, 設y(x)是方程(1)在[x0,∞)上的一個正解, 由條件(H4)和(H5)知, 存在x1>x0, 使得當x≥x1時, 有y(τ(x,t))>0,y(σ(x,ξ))>0.于是由式(2)和條件(H3)有w(x)>y(x)>0.

其次, 由方程(1)和條件(H6)有

因此可得

(z(x)[w′(x)]κ)′<0或(z(x)[w′(x)]κ)′>0.

(3)

將式(3)從x2到x積分得

令x→∞, 由條件(H1)得z(x)[w′(x)]κ→-∞.因此由(z(t)[w′(x)]κ)′≤0, 可知當x≥x3≥x2時,

z(x)[w′(x)]κ≤z(x3)[w′(x3)]κ<0,

從而有

(4)

對式(4)從x3到x積分, 有

令x→∞, 由條件(H2)可得w(x)→-∞, 與w(x)>0矛盾, 進而有(z(x)[w′(x)]κ)′>0.證畢.

引理2設y(x)是方程(1)的最終正解,w(x)滿足引理1中結論2), 若

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(5)

(α(x)p(x)(z(x)[w′(x)]κ)′)′≤-Kκα(x)wκ(σ(x,b))m(x).

(7)

對式(7)在(x,+∞)上積分, 有

再注意到w(σ(x,b))>j和w′(x)>0, 有

從而

進而有

(8)

引理3[13]設0<λ≤1, 則:

1)Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ,X,Y為非負實數;

2) (1+X)λ≤1+λX, 其中1+X>0.

2 主要結果

下面利用Riccati變換和文獻[14]中的一些估計, 證明方程(1)的一些新的振動性結果. 記

E={(x,s)|x≥s≥x0},E0={(x,s)|x>s≥x0}.

如果函數J(x,s)∈C(E,R)具有下列性質, 則稱J(x,s)屬于Y類, 記作J∈Y:

(i)J(x,x)=0,x≥x0,J(x,s)>0, (x,s)∈E0;

(iii) 存在函數f(x,s)∈C(E,R), 使得

定理1設式(5)成立, 且存在函數J∈Y和ψ∈C1([x0,∞),(-∞,+∞)), 使得

(9)

(10)

(11)

其中

(12)

證明: 設y(x)是方程(1)的一個非振動解, 不失一般性, 設y(x)>0,x∈[x1,∞).由條件(H4),(H5)有

y(τ(x,t))>0, (x,t)∈[x1,∞)×[α,β],y(σ(x,ξ))>0, (x,ξ)∈[x1,∞)×[a,b].

當w(x)滿足引理1中結論1)時, 由條件(H4),(H5), 有

由引理1中結論1)知,w(x)>0,w′(x)>0, 所以

w(σ(x,a))≥w(σ(x1,a))=k1,x≥x1.

(14)

從而由條件(H6),(H7)和上述不等式, 有

(16)

將式(16)兩邊乘以J(x,s), 并在[x2,x]上積分, 得

從而

于是

(18)

進而

于是

定理2設式(5)成立, 若存在函數J∈Y和B(x)∈C([x0,∞),(-∞,+∞)), 使得對x≥X≥x0, 滿足

(19)

(20)

證明: 設y(x)是方程(1)的一個非振動解, 不失一般性, 設y(x)>0,x∈[x1,∞).由條件(H4),(H5)有

y(τ(x,t))>0, (x,t)∈[x1,∞)×[α,β],y(σ(x,ξ))>0, (x,ξ)∈[x1,∞)×[a,b].

當w(x)滿足引理1中結論1)時, 令

于是

(22)

其中A(x)來自式(20).將式(22)兩邊乘以J(x,s), 并在[X,x]上積分得

從而有

與式(16)矛盾.

注1若方程(1)中取μ=κ=1, 則定理1和定理2即為文獻[10]的振動結果, 進而改進并推廣了文獻[7-9]的相應結果.

3 實 例

例1考慮三階阻尼微分方程

于是滿足條件(H1)～(H7).進一步, 令

利用定理1, 有

因此滿足定理1的所有條件.故由定理1知, 方程(23)的任意解振動或趨于0.

例2考慮三階阻尼微分方程

因此滿足定理2的所有條件.故由定理2知, 方程(24)的任意解振動或趨于0.