1+1中Maxwell-Chern-Simons-Higgs模型解的L∞估計

金廣輝, 周 羽

(延邊大學 理學院, 吉林 延吉 133002)

1 引言與預備知識

在規范場理論下研究帶有Chern-Simons項的偏微分方程對解決實際的物理問題有很大幫助. 在(1+2)維規范場模型中, 關于降維模型的研究是一類重要問題. 即可通過假設模型相關的物理場與第二維空間坐標無關, 從而將二維空間降為一維空間. 賦予不同的空間維度會展現出方程在其維度所固有的物理特征, 一維模型的研究在理論與實際上均有一定價值. 基于一系列降維模型[1-6]的研究, 本文考慮在(1+1)維Minkowski空間上的Maxwell-Chern-Simons-Higgs(MCSH)模型[7]. 該模型由一個規范場(電磁場)A=(A0,A1,A2)、 一個復標量場(Higgs場)φ和一個中性實標量場N組成, 它是通過(1+2)維MCSH模型[8]降維得到的. 首先, 通過變分法求得(1+1)維MCSH模型對應的Euler-Lagrange方程:

其次, 構造模型的守恒能量函數

(6)

其中

Fμν??μAν-?νAμ,Dμ??μ-ieAμ.

模型(1)～(5)在如下的規范變換下保持不變:

其中χ:1+1→1+1是光滑函數.賦予(1+1)維MCSH模型Lorenz規范條件?0A0-?1A1=0, 并引入記號□=?μ?μ.模型(1)～(5)的Cauchy問題為

(7)

對應的初始數據為

(8)

對應的約束方程為

(9)

2 主要結果

記I=max{‖F10(0,·)‖L∞,‖B(0,·)‖L∞,‖N(0,·)‖L∞,‖φ(0,·)‖L∞,‖?μB(0,·)‖L∞,‖?μN(0,·)‖L∞,‖Dμφ(0,·)‖L∞},E(0)=E0.用AB表示估計A≤CB, 其中C為常量.

定理1設(φ,N,Aμ,B)∈C([0,∞);H2())∩C1([0,∞);H1())是(1+1)維MCSH系統(1)～(5)在初始條件(φ0,n0,a0μ,b0)∈H2(), (φ1,n1,a1μ,b1)∈H1()下的整體解, 則

證明: 為方便, 對?φ,ψ∈引入記號于是可得如下計算性質:

(10)

根據式(2)～(5)可得如下等式:

對t0>0,x0∈, 定義三角形區域Δ(x0,t0)如下:

Δ(x0,t0)?{(x,t)|0

在區域Δ(x0,t0)上使用格林公式可得

根據式(12)在區域Δ(x0,t0)上對式(11)進行積分, 可得如下估計:

1) 關于F10.首先根據式(1)和(2)可得關于F10的輸運方程:

(14)

沿特征線對式(14)進行積分可得

(15)

應用H?lder不等式, 考慮關于φ的L2范數估計, 有

(16)

根據估計(13)和(16)并應用H?lder不等式, 由式(15)可得關于F10的估計如下:

2) 關于?μB和?μN.可將式(3)按如下兩種方式表示:

(17)

沿特征線對式(17)積分, 并應用估計(13)和H?lder不等式可得

從而可得關于?μB的估計為

類似地, 通過式(4)可得關于?μN的估計為

3) 關于Dμφ.定義符號Φ+?D0φ+D1φ,Φ-?D0φ-D1φ.由式(15)和性質(10)可得

(18)

從而得到估計

(19)

沿特征線對式(19)進行積分可得

(20)

下面對式(20)第一個不等式右側項進行估計:

其中

這里利用了

類似可對式(20)第二個不等式的右側項進行估計.由式(20)可得

(21)

根據式(21)可得關于Dμφ的估計為

證畢.

注1定理1對(1+1)維MCSH模型的解進行了一階導數L∞估計.

定理2設(φ,N,Aμ,B)∈C([0,∞);H2())∩C1([0,∞);H1())是(1+1)維MCSH系統(1)～(5)在初始條件(φ0,n0,a0μ,b0)∈H2(),(φ1,n1,a1μ,b1)∈H1()下的整體解, 則

由式(23)可得

于是得到如下估計:

其中

這里利用了定理1.于是, 得到關于DDφ的L2范數估計:

證畢.

注2定理2對(1+1)維MCSH模型的解進行了H2范數的多項式增長估計.