Morita環上的F-Gorenstein平坦模

楊曉燕 汪靜

DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2024.01.003

收稿日期：20230205;修改稿收到日期：20230609

作者簡介：楊曉燕（1980—），女，甘肅張掖人，教授，博士，博士研究生導師.主要研究方向為環的同調理論.

Email：yxy800218@163.com

摘要：設Λ（0，0）=ANMB是Morita環，其中A和B是環，N為（A，B）-雙模，M為（B，A）-雙模.證明了若雙模M和N滿足某些條件，則函子TA：Mod-A→Mod-Λ（0，0）和TB：Mod-B→Mod-Λ（0，0）保持F-Gorenstein平坦性.

關鍵詞：Morita環;F-Gorenstein平坦模;平坦余撓模;余撓模

中圖分類號：O153.3??? 文獻標志碼：A??? 文章編號：1001-988Ⅹ（2024）01-0011-03

F-Gorenstein flat modules over Morita rings

YANG Xiao-yan，WANG Jing

（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，Gansu，China）

Abstract：Let Λ（0，0）=ANMB be a Morita ring，where A and B are two rings，N is a? （A，B）-bimodule and M is a （B，A）-bimodule.It is proved that the functors TA：Mod-A→Mod-Λ（0，0） and TB：Mod-B→Mod-Λ（0，0） preserve F-Gorenstein flat if the bimodules M and N satisfies some conditions.

Key words：Morita ring;F-Gorenstein flat module;flat cotorsion module;cotorsion module

0? 引言

1969年，Auslander等在雙邊Noether環上，對有限生成模引入了G-維數的概念.隨后，Gorenstein投射模、Gorenstein內射模和Gorenstein平坦模的概念相繼被引入，使得相對同調代數理論得到了極大發展.2012年，Asadollahi等［1］引入了F-Gorenstein平坦模的定義.稱左R-模M是F-Gorenstein平坦模，如果存在平坦左R-模的正合列

F*： …→F-1→F0→F1→F2→…

使得M≈Ker（F0→F1），并且對任意平坦余撓模W，序列HomR（F*，W）正合.

在環模理論中，Morita環是一類重要的非交換環，在各個代數分支都有重要應用.近來，Mao［2］構造了形式三角矩陣環上的Gorenstein平坦模.三角矩陣環是一種特殊的Morita環.2017年，Gao等［3］構造了Morita環上的Gorenstein投射模，并證明了函子TA，TB在適當條件下保持Gorenstein投射性.越來越多的研究表明，函子TA，TB在Morita環上模的研究中具有良好的性質，比如函子TA，TB保持自由性、投射性、平坦性、有限生成性及有限表示性等［4-5］.

受以上研究的啟發，本文研究具有零雙模同態的Morita環上的F-Gorenstein平坦模，給出了函子TA，TB保持F-Gorenstein平坦性的條件，最后給出了特殊Morita環Λ（0，0）=ΛΛΛΛ的幾個推論.

1? 預備知識

設A，B是兩個環，N為（A，B）-雙模，M為（B，A）-雙模，φ：MAN→B為雙模同態，ψ：NBM→A為雙模同態.Morita環定義為：

Λ（φ，ψ）=ANMB，

其中Λ（φ，ψ）中的加法為對應元素相加，乘法定義為

anmb

a′n′m′b′=

aa′+ψ（nm′）an′+nb′

ma′+bm′bb′+φ（mn′），

其中m，m′∈M， n，n′∈N.假設φ（mn）m′=mψ（nm′），nφ（mn′）=ψ（nm）n′，這個條件保證Λ（φ，ψ）是一個結合環.記Morita環為Λ（φ，ψ）.

所有Λ（φ，ψ）-模構成的范疇等價于范疇M（Λ），其中的對象是四元組（X，Y，f，g），X∈Mod-A，Y∈Mod-B，f∈HomB（MAX，Y），g∈HomA（NBY，X），且使得下圖可交換：

設（X，Y，f，g）與（X′，Y′，f′，g′）為M（Λ）中的對象，則M（Λ）中的態射（X，Y，f，g）→（X′，Y′，f′，g′）是態射對（a，b），其中a：X→X′是A-模同態，b：Y→Y′是B-模同態，且使得下圖可交換：

注1［3］? 設Λ（φ，ψ）=ANMB是Morita環，則Mod-Λ（φ，ψ）中的序列

0→（X1，Y1，f1，g1）→（X2，Y2，f2，g2）→

（X3，Y3，f3，g3）→0

正合當且僅當Mod-A中的序列0→X1→X2→X3→0和Mod-B中的序列0→Y1→Y2→Y3→0都正合.

注2［3］? 設Λ（0，0）=ANMB是Morita環，I是恒等映射，則

（i）對任意X∈Mod-A和A-模同態a：X→X′，函子TA：Mod-A→Mod-Λ（0，0）定義為TA（X）=（X，MAX，IMX，0），TA（a）=（a，IMa）.

（ii）對任意Y∈Mod-B和B-模同態b：Y→Y′，函子TB：Mod-B→Mod-Λ（0，0）定義為TB（Y）=（NBY，Y，0，INY），TB（b）=（INb，b）.

（iii）對任意X∈Mod-A和A-模同態a：X→X′，函子ZA：Mod-A→Mod-A（0，0）定義為ZA（X）=（X，0，0，0），ZA（a）=（a，0）.

（iv）對任意Y∈Mod-B和B-模同態b：Y→Y′，函子ZB：Mod-B→Mod-Λ（0，0）定義為ZB（Y）=（0，Y，0，0），ZB（b）=（0，b）.

（v）對任意（X，Y，f，g）∈Mod-Λ（0，0）和Λ（0，0）-模同態（a，b）：（X，Y，f，g）→（X′，Y，′f′，g′），函子UA：Mod-Λ（0，0）→Mod-A定義為UA（X，Y，f，g）=X，UA（a，b）=a.

（vi）對任意（X，Y，f，g）∈Mod-Λ（0，0）和Λ（0，0）-模同態（a，b）：（X，Y，f，g）→（X′，Y，′f′，g′），函子UB：Mod-Λ（0，0）→Mod-B定義為UB（X，Y，f，g）=Y，UB（a，b）=b.

2? Morita環上的F-Gorenstein平坦模

定理1? 設Λ（0，0）=ANMB為Morita環.

（i）若TA（X）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模，fd（BM）<∞且對任意余撓左A-模C，MAC是余撓左B-模，則X是F-Gorenstein平坦左A-模.反之，若X是F-Gorenstein平坦左A-模且fd（AM）<∞，則TA（X）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模.

（ii）若TB（Y）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模，fd（AN）<∞且對任意余撓左B-模G，NBG是余撓左A-模，則Y是F-Gorenstein平坦左B-模.反之，若Y是F-Gorenstein平坦左B-模且fd（NB）<∞，則TB（Y）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模.

證明? 我們只證明（i）， （ii）的證明是對偶的.假設TA（X）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模.由定義可知，存在平坦左Λ（0，0）-模正合列

T*： …（X-1，Y-1，f-1，g-1）（a-1，b-1）

（X0，Y0，f0，g0）（a0，b0）（X1，Y1，f1，g1）

（a1，b1）（X2，Y2，f2，g2）（a2，b2）…

使得TA（X）Ker（a0，b0），且對任意的平坦余撓左Λ（0，0）-模W，復形HomΛ（0，0）（F*，W）正合.由文獻［4］推論8.9可知，存在平坦左A-模的正合列

T*1： …X-1a-1X0a0X1

a1X2a2…

使得XKer（a0）.對于任意的平坦余撓左A-模D，由假設和文獻［5］引理6.4可知，TA（D）=（D，MAD，IMD，0）是平坦余撓左Λ（0，0）-模.由文獻［3］定理3.8可知，存在左Λ（0，0）-模的正合列

0→ZB（MAD）→TA（D）→ZA（D）→0

由于BM的平坦維數有限，不妨設fd（BM）=m，于是由文獻［7］可知，對于任意右B-模L有

TorBm+1（L，M）DTorBm+1（L，MAD）=0

故MAD的平坦維數有限，所以ZB（MAD）是平坦維數有限的余撓左Λ（0，0）-模.由文獻［1］定理4.5可知

Exti≥1Λ（0，0）（TA（X），ZB（MAD））=0，

所以有正合列

0→HomΛ（0，0）（T*，ZB（MAD））→

HomΛ（0，0）（T*，TA（D））→

HomΛ（0，0）（T*，ZA（D））→0

因為HomΛ（0，0）（T*，ZB（MAD））和HomΛ（0，0）（T*，TA（D））正合，所以

HomΛ（0，0）（T*，ZA（D））正合.由文獻［3］引理3.9，

HomΛ（0，0）（T*，ZA（D））HomA（T*1，D），

所以HomA（T*1，D）正合.故X是F-Gorenstein平坦左A-模.

反之，設X是F-Gorenstein平坦左A-模，則由定義可知，存在平坦左A-模的正合列

F*1： …F-11-11F0101F11…

使得XKer（01），且對任意的余撓左A-模C，HomA（F*1，C）正合.因為MA的平坦維數有限，由文獻［8］引理2.3可知，MAF*1正合，所以存在平坦左Λ（0，0）-模的正合列

F*： …→TA（F-11）TA（-11）TA（F01）

TA（01）TA（F11）…

使得TA（X）Ker（TA（01））.對任意的平坦余撓左Λ（0，0）-模W=（P，Q，f1，g1），由文獻［4］推論8.9和文獻［5］引理6.4可知，P是平坦余撓左A-模.由文獻［3］命題2.4可知，對任意i∈Z，有

HomΛ（0，0）（TA（Fi1），（P，Q，f1，g1））

HomA（Fi1，P）

于是由定義可知，

HomΛ（0，0）（F*，（P，Q，f1，g1））HomA（F*1，P）

正合.由此可知，TA（X）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模.? 】

推論1? 設Λ（0，0）=ΛΛΛΛ，其中Λ是任意環，則對Λ-模X，以下條件等價：

（1）X是F-Gorenstein平坦模；

（2）T1（X）=（X，X，IX，0）是F-Gorenstein平坦模；

（3）T2（X）=（X，X，0，IX）是F-Gorenstein平坦模.

引理1? 設A和B是左凝聚環.若BM，AN是內射模，MA，NB是平坦模，則對任意左A-模X，左B-模Y，MAX，NBY是余撓模.

證明? 對任意左A-模X，取X的平坦分解

…F2F1F0XF0

因為MA是平坦模，所以有正合列

…MAF2MAF1MAF0

MAX0

又因為BM是內射模，所以由文獻［9］定理3.2.16可知MAFi是內射左B-模.取MAX的內射分解

0MAXI0I1…

于是有余撓左B-模的正合復形

…MAF1MAF0I0

I1…

使得MAXKer.從而由文獻［10］事實1.1可知，MAX是余撓左B-模.? 】

類似地，可以得到NBY是余撓左A-模.

推論2? 設A和B是左凝聚環，雙模M和N滿足BM，AN是內射模，MA，NB是平坦模，則

TA（X）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模當且僅當X是F-Gorenstein平坦左A-模，

TB（Y）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模當且僅當Y是F-Gorenstein平坦左B-模.

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（責任編輯? 馬宇鴻）