幺半群中最小的變色龍

DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2024.01.001

收稿日期：20230624;修改稿收到日期：20230818

作者簡介：李永康（1973—），男，中國香港人，教授，博士.主要研究方向為半群代數.

Email：edmond.lee@nova.edu

摘要：稱一個半群為變色龍，如果它既是一個有限基對合半群的約簡，又是一個非有限基對合半群的約簡.目前已知的變色龍最小的階數為8，本文構造了兩個階數更小的變色龍，一個是階數為7的半群，另一個是階數為6的幺半群，后者恰好是幺半群中階數最小的一個變色龍.

關鍵詞：半群；幺半群；對合半群；有限基；變色龍

中圖分類號：O 153.5??? 文獻標志碼：A??? 文章編號：1001-988Ⅹ（2024）01-0001-04

A smallest chameleon among monoids

LEE Edmond W H

（Department of Mathematics，Nova Southeastern University，Florida 33328，USA）

Abstract：A semigroup is a chameleon if it is the reduct of both a finitely based involution semigroup and a non-finitely based involution semigroup.Presently，the smallest published example of a chameleon is of order eight.This article constructs two smaller examples：a semigroup of order seven and a monoid of order six.The latter turns out to be a smallest chameleon among monoids.

Key words：semigroup;monoid;involution semigroup;finitely based;chameleon

稱一個代數為有限基的，如果它的等式可以有限公理化.許多重要代數類的有限成員都是有限基的，例如群［1］、結合環［2-3］和李代數［4］.但不是所有的有限代數都是有限基的.有限基問題，即確定哪些有限型的有限代數是有限基的，在一般情況下是不可判定的［5］.對于有限半群和有限對合半群，雖然近幾十年得到了廣泛研究，但它們的有限基問題仍未解決.稱S，*為對合半群，如果S為半群，且“*”為滿足以下等式的一元運算：

（x*）*≈x， （xy）*≈y*x*.（1）

稱此一元運算“*”為S的對合運算.常見的例子是： 群G在逆映射“-1”下構成的對合半群G，-1，矩陣半群Mn 在轉置“T”下構成的對合半群Mn，T.

雖然半群和對合半群在許多方面相似，但它們的等式性質可能會有很大的差異.尤其值得注意的是，對合半群S，*及其約簡S不一定同時是有限基的［6-10］.在研究對合半群的等式時，另一個有趣的現象是：存在一個半群S既是一個有限基對合半群S，*的約簡又是一個非有限基對合半群S，的約簡［9-11］，為了方便起見，稱這樣的半群S為變色龍.

目前已知變色龍中階數最小的為8：它是由一個非有限基6階半群與一個3階循環群或3階非鏈半格合并而成的［10-12］.一個有趣的問題是：是否存在更小階數的變色龍.本文構造了一個7階的變色龍和一個6階的變色龍，后者恰好是一個幺半群，并證明了6階變色龍是幺半群中階數最小的一個.

在非幺半群的半群中，是否存在小于6階的變色龍？目前已經知道不存在階數小于等于3的變色龍，這是因為每個階數小于等于3的對合半群都是有限基的［13］.

問題1? 是否存在4階或者5階的變色龍？

本文變色龍可以稱為等式化的，因為在不同的對合運算下，它們變成具有不同等式特性的對合半群.值得注意的是，可以定義其他類型的變色龍，例如存在具有兩個對合運算“*”和“”的半群S，其中簇VarS，*包含有限多個子簇，但簇VarS，包含不可數多個子簇［14］.

更多關于對合半群簇的信息可見文獻［15-16］.

1? 7階變色龍

半群

H=e，f：e2=e，f2=f，efef=fefe=0

具有兩個對合運算“*”和“”，分別由映射（e，f）（e，f）和（e，f）（f，e）誘導.本節證明H是一個變色龍（命題1和2）.

H0efefefeffefe

00000000

efe000000efe

fef00000fef0

ef0000efeefefe

fe000fef0feffe

f00feffeffeffe

e0efe0efefeefe

x*0efefeffeeffe

x0fefefeeffeef

命題1? 對合半群H，*是有限基的.

證明? 引入下列對合半群H0，*：

H00efefeeffe

0000000

efe00000efe

fe00000fe

ef00efe0efefe

f00fe0ffe

e0efeefeefefe

x*0efeeffefe

其中

H0=e，f：e2=e，f2=f，fef=0，

且運算“*”由映射（e，f）（e，f）誘導.對合半群H0，*的所有等式可以由（1）式和下式推導：

x3≈x2， x2yx2≈xyx，

xhykxty≈yhxkytx， xy*x*≈xyx*，

x*yx*≈xyx， xhx*kx≈xhxkx.（2）

換句話說，H0，*是有限基的［10］.

因為H0，*同構于H，*模理想{0，fef}，所以VarH0，*VarH，*.又因為H，*滿足等式（2），所以VarH，*=VarH0，*，故H，*是有限基的.? 】

一個對合半群S，稱為扭的，如果它的簇VarS，包含對合半格Sl3，，其中Sl3={0，e，e}，且e2=e，ee=ee=0.

引理1［12］? 令S，是任意一個扭對合半群.如果S是非有限基的，那么S，也是非有限基的.

命題2? 對合半群H，是非有限基的.

證明? 由命題1的證明可知，VarH，*=VarH0，*，故VarH=VarH0.因為半群H0是非有限基的［17］，所以半群H也是非有限基的.由于對合半群H，模理想{0，ef，fe，efe，fef}之后同構于Sl3，，故H，是扭的.根據引理1，H，是非有限基的.? 】

2? 6階變色龍

幺半群

K=e，f：e2=e，f2=f，efe=fef=0∪{1}

具有兩個對合運算“*”和“”，分別由映射（e，f）（e，f）和（e，f）（f，e）誘導.本節證明K是一個變色龍（命題3和4）.

K0effeef1

0000000

ef0000efef

fe000fe0fe

e0ef0eefe

f00fefeff

10effeef1

x*0feefef1

x0effefe1

命題3? （i）對合幺半群K，是非有限基的;

（ii）幺半群K的等式可以由以下等式集公理化：

x3≈x2， x2yx2≈xyx，

xhxkx≈xhkx， xyxy≈yxyx.（3）

證明? 引入下列對合幺半群K0，：

K00efef1

000000

ef000efef

e0efeefe

f000ff

10efef1

x0effe1

其中

K0=e，f：e2=e，f2=f，fe=0∪{1}，

且運算“”由映射（e，f）（f，e）誘導.因為K，模理想{0，fe}之后同構于K0，，所以VarK0，VarK，.注意到從K，到K0，×K0，的映射

0（0，0），? ef（ef，0），? fe（0，ef），

e（e，f），f（f，e），1（1，1）

是一個嵌入，所以VarK，=VarK0，，故VarK=VarK0.

性質（i）成立是因為K0，是非有限基的［6］，而性質（ii）成立是因為K0的等式可以由（3）公理化；具體細節參見文獻［18］的命題3.2（a）.? 】

設X是可數無限字母表且X*={x*：x∈X}是與X不交的X的一個復制.稱X∪X*的元素為變元.字母表X上的自由對合幺半群是自由半群（X∪X*）+加上空集并且帶有一元運算“*”，其中對任意x∈X，x1，x2，…，xn∈X∪X*∪{}，有

（x*）*=x， *=，

（x1x2…xn）*=x*nx*n-1…x*1.

稱（X∪X*）+∪{}中的元素為字，而X+∪{}中的字為單純字.字w的內容記作con（w），是w中出現的變元的集合.

顯然每一個字w∈（X∪X*）+都可寫成

w=xα11xα22…xαnn，

其中x1，x2，…，xn∈X，α1，α2，…，αn∈{1，*}；這個字w的單純投影是指單純字

=x1x2…xn.

字w中的變元x∈X∪X*是線性的，如果w=uxv，其中u，v∈（X∪X*）+∪{}，con（uv）.字w中線性變元的集合記作lin（w）.

引理2? 令w1≈w2是K，*的任一等式且w1，w2∈（X∪X*）+，則

（i）con（1）=con（2）;

（ii）lin（w1）=lin（w2）.

證明? （i）假設存在某個變元x∈con（1）＼cos（2）.令φ：XK為將x映射到0而將其他變元映射到1的替代，則φ（w1）=0，φ（w2）=1，矛盾.因此，這樣的變元x不存在，故con（1）=con（2）.

（ii）假設存在某個變元x∈lin（w1）＼lin（w2）.不失一般性，設x∈X，則w1=u1xv1，其中u1，v1∈（X∪X*）+∪{}并且xcon（u1v1）.由（i）可知x∈con（2），因此在w2中有以下兩種可能：

1）w2=…xα1…xα2…，其中α1，α2∈{1，*}；

2）w2=u2x*v2，其中u2，v2∈（X∪X*）+∪{}并且xcon（u2v2）.

令φ：XK為將x映射到ef而將其他變元映射到1的替代，則φ（w1）=ef，φ（w2）∈{0，fe}，矛盾.因此，這樣的變元x不存在，故lin（w1）=lin（w2）.? 】

命題4 ?對合幺半群K，*的等式可以由（1），（3）式和以下等式集公理化：

x*x*≈x2， x*x≈x2， xx*≈x2，

x*yx*≈xyx， x*yx≈xyx，

xyx*≈xyx.（4）

證明? 根據命題3（ii），對合幺半群K，*滿足等式集（3）.容易驗證K，*也滿足等式集（4）.因此，K，*的等式可以由{（1），（3），（4）}∪Σ公理化，其中Σ是由（X∪X*）+中的字構成的等式的集合.

設w1≈w2是Σ中的任一等式.假設w1≈w2中包含一個非單純變元x*∈X*，則由引理2（i）可知x∈con（1）=con（2）.對于每個i∈{1，2}，設w′i是將wi中每個x*的符號“*”移除而得到的字，那么有以下兩種可能：

1）x*在w1或w2中是線性的，則由引理2（ii）可知，x*∈lin（w1）=lin（w2），故對于每個i∈{1，2}，存在ui，vi∈（X∪X*）+∪{}，使得wi=ui x*vi，其中xcon（uivi）.于是w′i=uixvi.因此很容易得出{（1），w1≈w2}和{（1），w′1≈w′2}定義了相同的簇.

2）x*在w1和w2中是非線性的，則利用等式集（4）可以將每個x*的符號“*”移除.因此， {（4），w1≈w2}和{（4），w′1≈w′2}定義了相同的簇.

因此在任何情況下，如果將Σ中的等式w1≈w2的每個非單純變元x*的符號“*”移除，那么{（1），（3），（4）}∪Σ仍然可以公理化K，*中的所有等式.

上述論證可以重復應用于Σ中所有等式的所有非單純變元.換句話說，如果將Σ的所有等式中出現的符號“*”均消除，那么{（1），（3），（4）}∪Σ仍然可以公理化K，*中的等式.因此，可以假定Σ中的等式都由單純字組成，故也是幺半群K的等式.再根據命題3（ii），Σ中的每個等式都是（3）的后承集.因此，{（1），（3），（4）}∪Σ和{（1），（3），（4）}定義了相同的簇.? 】

3? 幺半群中最小的變色龍

定理1? 6階變色龍K是幺半群中階數最小的一個.

證明? 注意到，5階對合幺半群K0，是非有限基的［6］，它的約簡K0沒有不同于“”的其它對合運算，所以K0不是變色龍.此外，每一個不與K0，同構且階數小于等于5的對合幺半群都是有限基的［19］，因此，在階數小于等于5的幺半群中不存在變色龍.? 】

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（責任編輯? 馬宇鴻）