關于有限循環群的一個注記

蔣琴會,于云清

（1.南京郵電大學理學院,江蘇 南京 210023；2.山東濰坊第七中學,山東 濰坊 261000）

引 言

我們所涉及的群均指有限群.循環子群是有限群中一類非常重要的子群, 它是可以由一個元素生成的特殊的交換子群.文獻［1］定理6.8 指出: 設G 是n 階群,如果（n,Φ（n））=1,則G 循環,這里Φ（n）是正整數n 的歐拉函數.文獻［2,3］習題1.4.3有下述結論: 設G 是有限群,假設|{x∈G|xn=1}|≤n,?n∈N,那么G 是循環群.在［1］中,史江濤等證明了下面的定理1:

定理1 設G 為有限群,若G 的每個循環子群H 都滿足: 對任意x∈GH 都有o（x）不整除｜H｜, 則G是循環群.

本文我們給出它的另一個較為初等、簡潔的證明.應用我們的方法我們還可以證明定理2:

定理2 設G 為有限群, 對于任意正整數n‖G｜,G只有一個n階子群,則G循環.

由定理2, 我們可以證明:

定理3 設G 是有限群,如果對于任意的正整數n‖G｜有｜{x∈G｜xn=1}｜= n 成立,則G 是循環群.

1 定理1的證明

證明 任取一｜G｜的素因子P, 設P 為G的一個Sylow P-子群.

第一步.P循環.

令x 為P 的一個最高階元.假設P 非循環,則P ＞〈x〉.取y∈P 〈x〉,由假設o（y）不整除｜〈x〉｜=o（x）.由于x 是最高階元,故o（y）整除o（x）, 矛盾.因此P =〈x〉是一個循環群.

第二步.P正規于G.

對于任意的g∈G,我們證明g-1Pg = P.假設存在d∈G使得d-1Pd≠P.令P =〈x〉.

則d-1xd∈GP.由假設o（d -1xd）=o（x）不整除｜P｜=｜〈x〉｜= o（x）,矛盾.由正規子群的定義,P正規于G.

第三步.G循環.

若G 是一個P群, 則G 循環.下設G 不是一個P 群.設Pi,i=1,2,...,n 是｜G｜的全部素因子, Pi 是G 的一個Sylow Pi-子群.設Pi=〈xi〉.易知,Pi⌒Pj=1,i≠j.由于Pi 是G 的正規子群,我們有xi-1xj-1xixj∈Pi⌒Pj=1.所以,xixj = xjxi.由i,j的任意性,我們有G=P1...Pn=〈x1...xn〉.因此G是一個循環群.

2 定理2的證明

證明 任取一G 的素因子P, 設P 為G 的一個Sylow P-子群.取P 的最高階元x.任意取y∈P, 則o（y）｜o（x）.由假設y∈〈x〉.由此得P=〈x〉循環.由于G 只有一個Sylow P-子群, 有P正規于G.同定理1的證明可得,G循環.

3 定理3的證明

證明我們分3步證明該定理.

3.1 每個循環群H,群G只有唯一的｜H｜階子群

設H是一個循環子群且｜H｜=m.由于｜{x∈G｜xm=1}｜=m ,所以.這說明G 中的m 階子群只有一個:H.因此,H正規于G.

3.2 G的Sylow子群循環

設P 是群G 階的任意素因子,P 是G 的一個Sylowp-子群.取x為P的一個最高階元.則對于任意的y∈P,有o（y）｜o（x）.令o（x）=m,于是我們有｜{x∈P｜xm=1}｜≦｜{x∈G｜xm=1} ｜≤m,因此｜{x∈P｜xm=1}｜= m, 這說明〈x〉={x∈P｜xm=1}.于是y ∈〈x〉.進而P =〈x〉循環.

3.3 G循環

由1,2,知G 的每個Sylow 子群正規于G 且循環,所以G循環.