艙段主動隔振系統作動器配置優化

巫 頔, 謝溪凌, 張志誼,

(1.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室,上海 200240;2.上海交通大學 振動、沖擊、噪聲研究所,上海 200240)

艙段隔振系統主要用于減少振源設備(主機、輔機等)的振動向彈性殼體傳遞。主動隔振具有更寬的振動抑制頻帶,國內外學者對主動隔振展開了大量的理論研究與實踐,Daley等[1]設計了電磁作動器與彈簧并聯的主動隔振器用于浮筏隔振,使線譜振動衰減25 dB。Yang等[2]進行了大型主動隔振系統振動控制實驗,采用前饋控制算法取得了最高36 dB的振動抑制性能。Ma等[3]針對雙層隔振-殼體模型,分析了不同激勵形式下作動器安裝位置、數目對控制效果的影響。目前已有的主動隔振平臺多采用單向作動器,振動傳遞控制不完備,僅能部分抑制功率流向基礎傳遞[4],而多向主被動控制帶來更好的控制效果的同時,引入了更多控制通道,導致控制系統更為復雜。主動隔振系統的控制效果不僅取決于控制律設計,還取決于的作動器、傳感器的位置選取。通常的控制是開啟所有作動器,隨之而來的問題就是控制通道多,在某些激勵下可能存在冗余。較好的控制方式是根據激勵源特征,通過優化明確主導路徑并實施控制,在保證控制效果的前提下,降低控制復雜度。

近年來,研究者對振動主動控制的通道配置優化,即作動器、傳感器位置及數量的優化準則和優化方法,開展了一些研究。Hamdan等[5]提出了基于模態空間能控度/能觀度概念,Bruant等[6]在能控度/能觀度Gramian優化準則中考慮了模型溢出效應。Ramesh等[7]與Güney等[8]分別采用線性二次型指標和閉環H2范數指標優化簡支梁上傳感器、作動器的布置。Wang等[9]針對索網結構中壓電作動器的布置問題,設計H2控制器,并采用從擾動到響應的閉環傳遞矩陣的H2范數作為作動器、傳感器的位置優化指標。Ding等[10]提出了一種基于特征值分解的空間H2范數計算方法,利用閉環空間H2范數分析了平板結構在空間分布擾動下的振動控制效果,最終依靠遺傳算法來優化傳感器、作動器位置。Liu等[11]提出空間H2范數,用以判斷作動器在平面內的控制性能,并通過板的振動控制驗證了優化方法的有效性。現有相關研究多使用狀態空間模型計算目標函數,但對于實際系統,精確的模型通常難以獲得;部分研究者針對實際結構研究了作動器、傳感器的離散優化問題,陸洋等[12]和周劉彬等[13]分別通過遺傳算法優化誤差傳感器位置以獲得最優的主動控制效果,但未考慮作動器位置對控制效果的影響。

在主動隔振平臺-殼體系統中,作動器、傳感器位置按路徑功率流控制進行配置。對于作動器和傳感器位置已經確定的配置,在給定激勵的條件下,只需從最高配置中選擇部分作動器,即通過設定作動器的開、關狀態從最高配置中進行優選。此優化問題可行域是離散的,本文將此問題轉化為有約束的整數非線性規劃,采用教與學優化(teaching and learning-based optimization, TLBO)算法[14]求解,以確定給定作動器集合中性能最優的組合。

1 系統動力學模型

圖1 艙段主動隔振系統示意圖

表1 主動隔振平臺-殼體耦合系統參數

本文采用基于頻率響應函數的子結構綜合法對耦合系統建模,得到圓柱殼、隔振單元、負載平臺各子結構的頻率響應函數后,進行綜合,得到耦合系統的頻域動力學方程。在此基礎上,根據殼體的輻射聲阻抗矩陣,計算殼體輻射聲功率。

1.1 殼體模型

根據sanders殼理論,圓柱薄殼的中面應變與殼體位移u、v、w的關系為

(1)

(2)

殼體截面力與力矩由應力沿殼體厚度積分而得,截面力、力矩與殼體位移的關系在附錄中給出。圓柱薄殼的應變能Us與動能Ts可表示為

(3)

(4)

式中,Nx,Nθ,Nxθ,Mx,Mθ,Mxθ為殼體的截面內力與內力矩。為使用能量方法對圓柱殼進行分析,需構造可行的位移函數表示變形過程中的位移。Xu等[15]提出將殼體位移u、v、w展開為傅里葉級數疊加輔助多項式的形式

(5)

(6)

(7)

式中：τ=0/1分別為對稱/反對稱模態;n為周向波數;m為傅里葉級數階數;A,B,C為傅里葉級數待定系數;λm=mπ/Lx;Pal(x)為輔助多項式;a,b,c為輔助多項式待定系數。輔助多項式的形式在附錄中給出。根據式(5)～式(7),殼體位移可以表示成形函數與對應系數的乘積

u(x,θ)=Puqu,v(x,θ)=Pvqv,w(x,θ)=Pwqw

(8)

式中：qu、qv、qw為傅里葉級數待定系數A,B,C與輔助多項式待定系數a,b,c組成的系數向量;Pu、Pv、Pw為傅里葉級數及輔助多項式組成的形函數。作用于系統的外力做功為力向量F與作用點位移向量XF的乘積Wf=FTXF。根據Hamilton原理,可得：

δ(Ts-Us+Wf)=0

(9)

將形函數Pu,Pv,Pw代入殼體動能與勢能表達式(3),(4)并進行積分,整理可得：

(10)

1.2 負載平臺與隔振單元

耦合系統動力學模型中,隔振單元與負載平臺均簡化為有干擾力或控制力作用的剛體。剛體上任一點振動響應均可由質心振動響應和該點與質心的相對位置表示,而質心響應由剛體的受力情況決定。設剛體上坐標為(ae,be,ce)的一點受到激勵力Fe=[Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz]T,則質心加速度響應Xc、剛體上坐標為(ar,br,cr)位置處的響應Xr可寫為

Xc=

(11a)

(11b)

式中：ω為圓頻率;M為剛體質量;Jx、Jy、Jz分別為剛體繞x,y,z軸的轉動慣量。聯立式(11a)與式(11b),剛體任一點的響應Xr可以通過激勵力向量以及激勵位置求出,以此可求得等效隔振單元的頻率響應函數矩陣。隔振單元子結構的動力學方程包含隔振單元與殼體連接點、誤差點、隔振單元與負載平臺連接點的自由度,表示為

(12)

式中,下標l,e,h分別代表隔振單元與殼體連接點、誤差點、隔振單元與負載平臺連接點。類似地,負載平臺子系統的頻域動力學方程可寫為

(13)

式中,下標d,h′分別代表干擾力作用點,負載平臺與隔振單元連接點。

1.3 耦合系統動力學方程

本文通過基于頻響函數的子結構綜合方法構建隔振平臺-殼體耦合系統動力學方程。隔振單元子結構、負載平臺子結構的頻域動力學方程由式(12)、(13)給出。根據式(10),圓柱殼動力學方程包含監測點自由度與隔振單元安裝點的自由度,可寫為：

(14)

式中：Hwl′為殼體監測點到隔振單元安裝點的頻響函數;Hl′l′為隔振單元安裝點原點頻響函數;Fl′為隔振單元子系統在安裝位置處對殼體施加的作用力。對式(12)～(14)進行綜合,其中

Fl=-Fl′=kv(Xl-Xl′)

(15a)

Fh=-Fh′=kv(Xh-Xh′)

(15b)

消去下標為l,l′,h,h′的自由度,耦合系統動力學方程可寫為

(16)

式中：X=[XdXeXw]T為干擾力作用點,隔振單元誤差點,以及殼體監測點的振動響應;Fd為干擾力;Fc為控制力;Hdd、Hed、Hwd分別為干擾力到干擾力作用點、誤差點、監控點的頻響函數;Hdc、Hec、Hwc分別為控制力到干擾力作用點、誤差點、監控點的頻響函數。

1.4 圓柱殼表面輻射聲功率

考慮無限長圓柱障板中的有限長圓柱結構,將圓柱殼表面沿軸向x及周向θ離散為N個單元,各單元法向振速向量β以及輻射聲壓向量p可表示為向量形式

β=[β1β2…βN]T,

p=[p1p2…pN]T

(17)

結構的輻射聲功率即為每個單元輻射聲功率之和,可表示為聲壓與振速的乘積

(18)

式中：S為殼體輻射表面面積;表面聲壓p為輻射聲阻抗與法向振速β的乘積,p=Zβ;Z為聲阻抗矩陣,元素Zi,j表示第j單元的單位速度振動在i單元上引起的聲壓。Williams等[17]給出了無限大圓柱障板上有限圓柱面的輻射聲阻抗矩陣,周瑤[18]給出了輻射聲阻矩陣的數值計算方法,在數值計算過程中截斷周向波數及軸向波數,并對軸向波數的積分域進行離散。輻射聲阻抗矩陣為

(19a)

(19b)

(20)

由于輻射聲阻抗陣Z為共軛對稱矩陣,式(18)可改寫為

(21)

式中,R為輻射聲阻矩陣,R=(Z+ZH)/2。通過系統耦合動力學模型計算殼體表面聲壓,結合式(19)、(21),即可求得圓柱殼表面的輻射聲功率。

2 配置優化

2.1 優化模型及優化準則

在主動控制系統中,干擾力產生的振動被誤差傳感器采集,驅動作動器產生使得誤差點響應幅度相同、相位相反的作用力,從而抑制誤差傳感器位置處的振動。干擾力到誤差點的傳遞通道稱為干擾通道,控制力到誤差點的傳遞通道稱為控制通道。誤差點與監測點的頻率響應由干擾通道作用與控制通道作用線性疊加而得。令監測點數量為nw,干擾力作用自由度數目為nd。若在所有nc條控制通道中,給定控制通道數目na(開啟na個作動器以及對應na個誤差傳感器),那么部分啟用的控制系統對應的誤差點與監測點響應表示為

(22)

式中：a為控制通道啟用狀態;ea為對應啟用控制通道的誤差點;ca為啟用控制通道的作動器;s為控制通道關閉狀態;es為對應未啟用的控制通道的誤差點;cs為對應未啟用的控制通道的作動器;Heaca為na×na的控制通道頻響函數矩陣;Head為na×nd的干擾通道頻響函數矩陣;Hwca為作動器到監測傳感器的頻響矩陣,大小為nw×na。Xea、Xw、Fd與Fca分別為na×1、nw×1、nd×1、na×1的向量。理想情況下,可通過對控制通道頻響函數矩陣求逆得到最優控制力,使得誤差點響應為零,但在實際工程中,誤差點振動很難被完全抑制。在本文作動器的優化評估中,假定控制力使誤差點振動幅值下降20 dB,則對應的控制力為理想控制力的90%,即

(23)

將控制力代入監測點響應表達式,可得

(24)

(25)

(26)

此優化問題的可行解數目為

(27)

2.2 優化算法

式(26)描述了一個非凸、高維、可行域離散的優化問題,此類優化問題一般通過啟發式優化算法求解。TLBO算法是一種新穎的啟發式算法,Rao等在2011年提出了標準TLBO求解范式,Chen等在標準求解范式基礎上改進了初始分布的多樣性,曹丙花等[19]則在初始種群多樣性、局部最優值跳出等方面對TLBO進行了改進。本文使用融合了自適應局部最小值跳出機制與模糊函數的改進整數TLBO方法求解作動器配置優化問題,具體步驟如下：

(1) 種群初始化。給定種群中個體數目Npop,種群中個體在可行空間中隨機采樣。

(2) 教學階段。在第t輪迭代中,首先計算種群中所有個體對應的f(C),得到最優個體Ckbest,t并指導其余個體進行更新,更新方式為

(28)

(29)

(3) 互學階段。此階段隨機選取種群中一對個體CP,t與CP,t并比較其適應度函數,令適應度更低的個體向高適應度個體靠攏,可表示為

(30)

(31)

式中：rand為(0,1)中的隨機數;c?j,k,t為第t輪迭代后的最終得到的第k個狀態向量的第j維元素。這樣,改進后的TLBO算法可應用于求解0-1非線性規劃問題。

3 數值仿真

考慮負載平臺上存在軸系、發電機、柴油機等旋轉機械帶來的激勵力,給定激勵力位于負載平臺質心,沿橫向與垂向施加單位力,且激勵的相位差為90°。本文考慮兩種激勵工況,分別為：

工況一 0～300 Hz寬帶單位激勵力

工況二 50 Hz與100 Hz線譜激勵,幅值為1

(32)

(33)

輻射聲功率級=10lg(Wrad/Wref)

(34)

式中：βref為均方振速參考值,βref=10-9m/s;Wrad為輻射聲功率參考值,Wref=10-12W。本文采用9×16的網格對殼體均方振速及輻射聲功率進行計算。

圖2 各作動器數最優組合對應目標函數值

(a) 八作動器最優配置(工況一)

(b) 八作動器最優配置(工況二)

圖4給出了工況一最優作動器配置組合對應的殼體均方振速級和輻射聲功率級。圖4中b=8、12、24的曲線幾乎重合,對應的RMS也相差無幾。相較于無控狀態b=0的響應曲線,b=8對應的均方振速和輻射聲功率幾乎在全頻段下降20 dB。

(a) 殼體均方振速級

(b) 殼體輻射聲功率級

(a) 50 Hz,b=0,均方振速級=49.13 dB

(c) 50 Hz,b=24,均方振速級=29.13 dB

(d) 100 Hz,b=0,均方振速級=58.75 dB

(e) 100 Hz,b=8,均方振速級=39.51 dB

(f) 100 Hz,b=24,均方振速級=38.75 dB

圖5 最優控制通道配置對應殼體振速幅值(工況二)

此外,并非所有激勵工況都只需要8通道即可得到較好的振動控制效果,例如在負載平臺質心軸向單位激勵力作用下,需要至少12通道的最優通道組合才可得到20 dB的振動抑制。更復雜的激勵工況將會需要更多的通道數,由于篇幅限制此處不作展開。

4 結 論

本文針對主動隔振平臺-殼體系統的控制問題,建立了耦合系統動力學模型,計算得到主動控制系統的控制通道頻響與干擾通道頻響,以及干擾力、控制力到殼體監測點的頻響;提出了作動器配置優化方法,將監測點響應作為優化問題的目標函數,在給定作動器數目的約束下,通過TLBO對此0-1非線性規劃問題求解。數值仿真驗證了優化方法的有效性,結果表明,對于本文給出的激勵工況,無需開啟所有作動器,只需在主要通道施加控制,即可有效抑制殼體振動與聲輻射。

此外,即使是相同的激勵形式,不同頻率對應的最優通道配置也不盡相同。在實際工程中,若能測得激勵源頻率、幅值、相位等特性,則可根據激勵源特性優化對應的控制通道組合,取得更好的振動抑制效果。

附錄A

截面力、力矩與殼體位移的關系

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)

(A.6)