關注知識邏輯結構,促進學習真正發生

[摘? 要] 數學知識具有嚴密的邏輯性和結構性，從整體上把握知識的結構能夠挖掘知識之間的聯系，使學生進行深度思維，實現深度學習。教師通過厘清知識結構，開展結構化教學，引導學生感受知識發生和發展的過程，深度探究問題的本質與掌握知識的內涵，促進學習真正發生。

[關鍵詞] 邏輯結構;知識內涵;深度學習

在課堂教學中學生的學習是否真正發生，關鍵在于學生是否真正參與學習活動，是否在教師的引導下去探尋問題的本質，建構知識體系，理解知識的內涵。通過數學學習，學生能學會知識和技能的遷移，從而體會數學學習的價值，感受數學的魅力，獲得深刻的情感體驗。數學知識具有內在的聯系和邏輯結構，因此數學教材的編排也彰顯出系統性和邏輯性。在教學中教師要從整體上把握教材的系統和結構，通過知識的關聯、方法的遷移、內容的重組以及數學過程的凝聚，開展結構化的教學，使課堂學習真正發生。

一、關聯知識結構，建構知識意義

數學知識之間既有縱向聯系，又有橫向聯系。在教學中教師要進行結構化的教學，把握知識之間的聯系，建構知識體系，探尋知識本質，從而實現知識意義的深度建構，使學習真正發生。

1. 知識橫向聯系

教學中知識的橫向聯系是通過創設情境，將不同的知識點聯系在一起，引導學生去發現知識的內涵，學會從多種角度思考和審視數學知識，建構知識體系，從而形成網狀的知識結構。在教學中教師要引導學生通過對比將所學知識進行橫向聯系，發展思維的靈活性，使學習真正發生。

案例1? 角的度量和體積單位

在教學“角的度量”這一內容時，教師不僅教學生用量角器測量角的度數，還將刻度尺、時間尺與量角器進行對比。三種工具雖然具體測量的內容不同，但是可以發現這三種工具都有刻度，并且標有刻度的起點，都是標有計量標準刻度的測量工具。

在教學“體積單位”時，教師不能讓學生局限于體積單位的學習，要引導學生將體積單位與長度單位、面積單位等進行橫向對比，發現它們的共同規律：即先要確定標準單位，然后求出它們所包含的標準單位的個數。

在教學中教師要通過知識的橫向關聯為學生新知的學習奠定基礎，建構起新知與舊知的聯系，使學生通過豐富的學習情境感受新知，完善已有的知識結構，拓展自己的認知觸角。這樣的教學有利于學生進行深刻思考，促進學生思維活動的真正開展。

2. 知識縱向聯系

數學教材一般按照學生的認知規律呈螺旋上升的結構進行編排，即將相同的知識點安排在不同的章節、不同的學段進行學習，逐漸提升知識的難度。教師在進行教學設計時要從整體上把握教材的結構和邏輯，理解同一知識點在不同學段的具體要求，把握教學內容之間的內在聯系，將知識點進行縱向的比較和聯系，從而構建起完善的知識結構，促進學生的深度學習。

案例2? 除法

除法包括了整數、小數和分數的計算，教材將這些內容依照順序安排在不同的學段。它們的算法雖然不盡相同，但是在計算過程中能找到共同之處。教學中教師可以將這些內容進行縱向的比較，使學生能夠對除法的計算知識有更加深入的理解。

師：392÷56如何計算？

生1：結果為7，因為39個10不夠被56分，因此要將39個10轉化成390個1，被56分了之后可以得到7個1，所以7需要寫在個位上，而不能寫在十位上。

師：很好，我們今天來看一下小數的除法，11.2÷4應該如何計算呢？同樣用11被4分，可以得到商為2，余3，而3個1是不夠被4分的，那么就需要轉化為30個0.1，最后32個0.1再被4分可以得到8個0.1，十分位上應為8，所以最后的答案為2.8。下面哪位同學來說一說分數的除法÷3應該如何計算呢？

生2：這道題同樣有一個問題就是2個不夠被3分，那么可以把轉化成，這樣被3分之后可以得到2個，因此這道題的結果為。

師：很好，通過這三種除法計算我們可以發現，除法的本質就是將計數單位的個數進行平分。當出現除數較大，被除數不夠平分的時候要將較大的計數單位轉化成下一個計數單位再繼續平分。

本例通過知識的縱向聯系將新舊知識進行比較，使學生認識到除法的本質。只有學生自主構建起知識網絡，學習活動才算真正發生。

二、遷移知識技能，提升學習能力

知識遷移是指將已知的知識、技能、方法遷移到新的情境中，能夠實現舉一反三，建構聯系的能力。數學教材的編排有嚴密的邏輯體系，因此學生具備知識遷移的能力就能夠提升自主學習的能力，發展思維的靈活性。

1. 遷移學習方法

創設新的學習情境能夠激發學生的好奇心和學習興趣。因此，具有一定挑戰性的學習任務往往更能吸引學生的注意力，激發學生自主探究的學習熱情。數學教材將同一知識內容按照不同的難度分布在不同的學段進行學習，呈現螺旋上升的結構。許多知識以及學習方法之間具有相似性，教師可以利用其中的規律引導學生將已知的學習經驗和方法遷移到新的學習任務中，從而有利于學生的自主學習探究，建構知識網絡。

案例3? 兩位數乘兩位數筆算

例題：幼兒園購進12箱迷你南瓜，每箱24個，一共有多少個？

教師設計學習任務單，引導學生根據任務單的提示完成學習任務。

師：首先將兩位數的筆算乘法轉化成我們熟悉的口算，可以如何轉化？

生1：我們可以將12轉化成10+2，這樣可以得到24×10=240，24×2=48，再將兩者相加可以得到結果為288。

生2：我們可以將12轉化成2×6，這樣可以轉化為24×6×2，得到結果為288。

師：很好，類似的方法我們都可以計算出結果。下面我們在圖1點子圖上進行操作。

（學生將12進行拆解，在點子圖上進行操作演示）

師：既然我們已經學會了兩位數乘法的計算，那么現在我們可以通過如下的豎式筆算演示出來。

本例中教師利用學生已有的計算經驗進行知識遷移，在不同的算法中采用了“先拆再合”的方法，使學生通過對比發現了這些算法之間共同的算理和內在的聯系。借助點子圖幫助學生將抽象的計算知識變得更加形象具體，從而能夠以直觀可視的方式理解運算中的算理。借助點子圖使學生將口算中的分步計算與豎式筆算聯通起來，打通了由圖形演示到分步計算再到豎式計算之間的結構通道（如圖2），從而在整體上找到不同算法之間的相同點，實現由算法到算理之間的自然過渡。

在掌握了兩位數與兩位數相乘的基礎上，教師可以進一步引導學生進行思考：當乘數變成三位數應該如何計算？如果是多位數與兩位數、三位數的相乘又該如何計算？

從一位數的乘法出發，遷移到兩位數、三位數直至多位數的計算，實現乘法筆算知識的縱向聯系，建構乘法的計算算理和方法的結構模型，從而使原有的知識結構更加完善，形成更為豐富的網狀數學知識關聯結構。

2. 遷移知識結構

數學知識具有嚴密的邏輯結構，許多同類知識在學習中都有相似的結構，教師要把握知識中的相似學習結構，引導學生將這種學習結構遷移到新知的學習中，提升學生自主學習的能力，促進學生思維的深刻性。

案例4? 乘法交換律

交換律是數學運算中的一種常用計算方法，對于簡便運算有著非常重要的意義。數學加法交換律與乘法交換律具有相似的學習結構，倘若采用相同的教學方法，會導致學生的學習不夠積極，無法激發學習興趣。因此，教師可以采用遷移學習結構的方法引導學生學習。比如，在加法交換律中，學生采用了“提出猜想、到驗證猜想、再到提煉概括、最后拓展延伸”的學習結構。在乘法交換律中，教師要求學生遷移這一學習結構，搭建自主學習的“腳手架”，開啟深度思維的學習活動。

三、重組教學內容，促進深度學習

數學教學要立足于學生的實際情況和認知特點，不能只依靠教材按部就班，教師要根據實際的教學需要對教材內容進行適當的重組，從而更加符合學生的發展水平，促進學生的學習活動真正發生。

1. 調整內容順序

教材的知識編排一般按照由易到難的螺旋上升結構進行編排，但在實際教學中受到負遷移的影響，反而導致知識較難同化。教師可以對教材的內容進行合理調整，打破原有的教材順序和學生的認知平衡，讓學生能夠更加積極地實現知識的順應和同化，使思維更加深刻。

案例5? 小數的加減法

（1）6.45+4.29，6.45-4.29。

（2）6.45+8.3，6.45-8.3。

教材中按照相同位數的小數加減和不同位數的小數加減進行內容的編排，體現出由易到難的特點，學生在完成第（1）題之后雖然能夠較順利地計算出結果，但是對算理的理解不一定正確，容易產生負遷移。學生會認為小數的加減法與整數的加減法相同，也是采取末位對齊的方法計算，從而產生錯誤的認識。因此，在教學中教師不妨調整（1）題和（2）題的順序，讓學生先做（2）題，他們在計算時會出現爭議和分歧：究竟是按照末位對齊還是按照小數點對齊進行計算，這就打破了學生原有的認知結構，迫使學生學習新知，完善已有的知識結構，從而更好地接受新知，掌握小數加減法的本質。

2. 調整課時分配

深度的學習活動是學生在知識情境中能夠自主探究，主動建構知識網絡，探尋數學本質的過程。在課時的內容安排中教師可以做相應的整合，將內容相似、學生容易混淆和出現錯誤的內容整合在一個課時中，從而引導學生結合學習的素材展開深入思考，在激烈爭辯中形成新的知識結構。

案例6? 正反比例的意義

正比例與反比例的意義在教材中分別安排在兩個課時中，教材提供的學習素材較為簡單，對于學生的思維訓練較少，不利于學生的深度學習。這兩項學習內容具有相關性，因此可以將它們整合在一個課時之中，為學生的探究提供充足的時間和空間，促進學生開展深度學習。

在教學中教師可以列舉正反比例的具體事例。比如，王奶奶的體重與年齡關系、書籍已讀和未讀的頁數關系、物品銷售的數量與總價關系、運送貨物每天的運送量和運貨的天數關系，引導學生探究這些學習素材中兩個變化量之間的關系，并進行正反比例的概念辨析，實現對知識的深度理解。

通過將兩個容易混淆的概念進行整合，能夠使學生處于更加廣闊的學習背景中，增強了思維的挑戰性。學生在深刻辨析中體驗到兩種比例關系的不同變化規律，從而形成更加清晰的概念。兩項內容整合在同一課時能夠避免問題的指向過于單一，便于診斷學生對知識的掌握情況，有利于學生在綜合的辨析比較中理解正比例和反比例的概念，使學習活動真正發生，鍛煉了學生的思維能力。

四、凝聚學習過程，突出學科本質

數學教學要引導學生探尋數學的本質特征。因此，在教學中教師要凝聚學習過程，通過滲透數學思想，突出學科的本質和內涵，體現學科的屬性特征。

1. 發展抽象思維

抽象思維是解決數學問題的關鍵思維，在教學中教師要引導學生從學習的素材出發，抽象出數學知識與數學問題，實現數學本質屬性從情境中剝離，讓學生產生更加深刻的認識。

案例7? 小數的性質

在教學小數時教師常常會借助具體的教學模型讓學生理解，比如，2元5角等于2.50元、8.00元等于8元，借助米尺可以直接觀察0.1米與0.10米、0.100米相等。在此基礎上教師要引導學生從直觀的認識到抽象的理解，借助圖示理解0.3表示3個，0.30表示30個，即0.3與0.30相等。

當學生根據生活經驗和直接觀察理解數學知識之后，教師要及時引導學生進行抽象的數學建構，保證其能真正理解知識的本質和內涵。

2. 建構數學模型

數學模型是采用數學語言對現實原型進行的抽象化表達，建構數學模型是提升學生學習能力與學習效率的核心。

案例8? 數字的倍數特征

在教學2、3、5的倍數特征之后，教師可以進一步引導學生探究4、8、9的倍數特征，并通過對比辨析2、3、5、4、8、9的倍數特征，抽象出它們的數學模型：即一個數能否被另一個數整除，只要將這個數除了個位上的各個數分別除以另一個數，再將余下的數和個位上的數相加，所得到的和能被另一個數整除，這個數就能被另一個數整除;反之，則不能。用數學的符號可以表示為：判斷abc能否被9整除，可以將abc轉化為100a+10b+c，通過變式可以得到100a+10b+c=99a+9b+a+b+c，因此只要a、b、c的和能夠被9整除，那么abc就能被9整除。通過對比辨析2、3、5、4、8、9的倍數特征，抽象出它們共同的數學模型，由具體到抽象的學習，建構起數學模型，促進學生形成完善的知識結構。

總之，教師在教學中要基于教學目標和學情整體梳理教材的結構和脈絡，對知識內容進行有效關聯和整合，實現方法和技能的遷移，從而助力學生建構知識體系，使學習真正發生。

作者簡介：陳支晶（1989—），本科學歷，一級教師，從事小學數學教學工作。