有限深度介質上梁非線性能量匯減振的Winkler地基實現

劉宗通, 馬建軍,2, 郭 穎

(1.河南科技大學 土木建筑學院,河南 洛陽 471023;2.河南省建筑安全與防護工程技術研究中心,河南 洛陽 471023)

結構物的振動問題普遍存在于土木工程、航空航天及機械工程的各個領域,振動抑制和控制一直受到工程師和科學家的普遍關注[1-4]。以土木工程領域為例,核電、大壩、橋梁等重要基礎設施均會在地震作用下產生有害振動,并可能發生結構破壞。已有研究表明,結構物的抗震性能受其所處場地特征的直接影響,與土-結構相互作用(soil-structure interaction,SSI)效應密切相關。土-結構相互作用理論是結構物振動響應分析的基本理論之一,其效應多有利于提高結構物的抗震性能[5-10]。理論上講,土-結構相互作用效應的減振機理是其導致結構物的振動能量傳輸到其所處場地中,并在場地中傳播和耗散。

彈性地基梁模型是一類基本力學模型,被廣泛應用于土-結構相互作用問題的靜力和動力響應的理論分析[11-13]。已有研究表明,在土-結構相互作用系統的理論分析中,土場的力學特征可用多種地基模型展現,其中尤以Winkler地基模型的概念最簡潔,在工程實踐中的應用也最廣泛。相應地,關于Winkler地基上梁的線性和非線性動力學特性的研究成果已十分豐富[14-15]。近年來,考慮土體質量的Winkler地基上梁的動力學研究日益受到重視,其在動力學建模時考慮了有限深度土體與其支承梁共同運動的效應,更精確地揭示了土-結構相互作用效應,也直觀展現了土體質量對土-結構相互作用系統動力學特性的影響[16]。由于Winkler地基模型將土場離散為一系列彼此獨立的彈簧,故在考慮土體質量的Winkler地基上梁的動力學建模過程中,可將有限長梁與彈性地基離散為由一系列彼此獨立的彈簧連接的梁-小質量土體耦合系統。

非線性能量匯(nonlinear energy sink,NES)以其減振頻帶寬、魯棒性好、輕質等優點逐漸受到各個工程領域的青睞[17-21]。非線性能量匯由附加質量,非線性剛度,阻尼元件組成,主體結構通過非線性彈簧和阻尼元件與NES較輕的附加質量連接,NES能有效吸收主體結構的動能,并將其耗散[22-24]。在非線性能量匯材料構成方面,Tian等[25]提出了基于超磁致伸縮材料的非線性能量匯振動能量俘獲器。范舒銅等[26]將黏彈性材料應用于非線性能量匯,并討論了其最佳參數取值范圍。非線性能量匯在梁的振動控制中應用廣泛,張登博等[27]研究了非齊次邊界條件對軸向運動梁的動力響應的影響。Zhao等[28]建立了具有三次非線性的彈性連接器耦合的一般約束雙梁結構動力學行為的通用模型。Zhang等[29]研究了邊界上安裝有慣性非線性能量匯梁的幾何非線性對基礎激勵下系統響應和振動抑制效果的影響。從減振機理和構成形式等方面看,考慮土體質量的Winkler地基對其支承梁動力響應的影響與非線性能量匯的能量傳遞和耗散機制等具有相似性。理論上講,土-結構相互作用對結構物動力響應的影響可能是一種具有非線性能量匯特征的作用效應,有限深度介質上梁非線性能量匯減振的Winkler地基實現具有可行性。

基于以上認知,本研究擬通過Winkler地基的參數設計,實現有限深度介質上梁的振動抑制。在研究過程中,利用考慮土體質量的Winkler地基模型,將有限深度彈性介質等效為附加質量并通過非線性彈簧和阻尼元件與Euler-Bernoulli梁連接,建立含非線性能量匯有限長梁的非線性動力學模型。利用Galerkin方法離散有限長梁的運動方程,采用增量諧波平衡法求得彈性介質-梁耦合系統的穩態響應。在利用龍格庫塔法驗證理論解正確性的前提下,分析了彈性介質質量、非線性剛度、阻尼等參數對其支承有限長梁動力響應和減振效果的影響,得到了彈性介質參數的最佳取值范圍,實現有限深度介質上梁的非線性能量匯減振。

1 彈性介質上梁的運動方程

本文以彈性介質支承的簡支邊界有限長梁為研究對象,如圖1所示。圖1中：H為彈性介質有限深度,是一個微小量,能夠使得NES與梁的質量比遠小于1[30];L、b、h分別為有限長梁的長、寬和高;為簡化分析,以未變形的梁端為坐標原點O,梁中軸線為x軸建立平面直角坐標系O-xy。

圖1 彈性介質上有限長梁系統

由于彈性介質上梁類結構的軸向位移通常可忽略,本研究僅考慮梁的橫向位移。將有限長梁與彈性地基離散為由一系列彼此獨立的彈簧連接的梁-小質量土體耦合系統,并取梁下有限深度彈性介質作為NES的較輕附加質量,基于Winkler地基模型和Euler-Bernoulli梁理論,依據帶有附加非線性能量匯線性梁系統的運動方程[31],可得彈性介質-梁耦合系統的非線性運動方程

k(v-u)3=Fcos(ωt)

(1a)

(1b)

為便于分析,引入無量綱參數

(2)

將式(2)代入式(1),可得無量綱運動方程

k(v-u)3=Fcos(ωt)

(3a)

(3b)

其中,為便于表述,已忽略無量綱參數的上標。

2 Galerkin離散

依據梁的簡支邊界條件,利用Galerkin方法[32],設：

(4a)

(4b)

將式(4)代入式(3),可得：

Fcos(ωt)

(5)

(6)

將式(5)和(6)同時乘以sin(jπx),并在x=0到x=1范圍內積分,可得：

(7)

(8)

令式(7)等號左邊為0,即可實現對控制方程的N階Galerkin截斷,將式(7)、(8)轉化為含有2N個未知數Vj、Ui(i、j=1,2,…,N)的常微分方程組[33]。可得：

取N=1,式(9)、(10)可用矩陣向量形式表示為

(11)

其中

對于系統的強制響應,可以在等式的右側添加激勵項。式(11)變為

(12)

3 增量諧波平衡法求解

引入新的時間尺度

τ=ωt

(13)

則式(12)可寫為

(14)

應用增量過程,定義系統在激勵大小為F0,激勵頻率為ω0時的振動狀態為xi0,i=1,2,則其臨近狀態可以用增量形式表示為

xi=xi0+Δxi,i=1,2

f=f0+Δf,ω=ω0+Δω

(15)

式中,Δxi,Δf,Δω為微小增量。將式(15)代入式(14),可將高階小量忽略,得：

(16)

經過一系列推導,可得迭代方程(17),推導過程以及式(17)中矩陣詳見附錄A

(17)

求解時,先給出一組穩態周期振動的猜測解A,進而根據式(17)求得余量R,若R小于設定的容許值,則給ω一個增量,即Δω

ωi+1=ωi+Δω

(18)

而后進入下一個迭代過程,若R大于容許值,則執行以下迭代過程

(19)

直到余量R達到容許值內。

4 數值計算

為進行數值計算,根據參考文獻[34],表1給出了所需的物理參數。

表1 梁的物理參數

4.1 特征方程求解

忽略式(3)中的非線性項、阻尼項、外激勵項,可得梁的線性無阻尼運動方程

(20)

式(20)解的形式可設為v(x,t)=φ(x)eiΩt,Ω為梁的固有頻率;i為虛數符號;將其代入式(20),可得解的形式為

φ(x)=C1cosαx+C2sinαx+

C3coshβx+C4sinhβx

(21)

簡支梁的邊界條件為

φ(0)=0,φ″(0)=0

φ(1)=0,φ″(1)=0

(22)

可得求解梁固有頻率的超越方程

(α4+β4+2α2β2)sinαsinhβ=0

(23)

利用式(23),可求得梁的第i階固有頻率Ωi,如表2所示。忽略式(12)中的NES,采用IHB方法進行數值計算,得出幅頻曲線和固有頻率,由表2可知,兩種方法得到的前四階固有頻率一致。

4.2 數值驗證

利用四階龍格庫塔法驗證本文理論解的正確性。為進行數值分析,系統參數取：

c1=0.08,c2=1,k=1×106,ε=0.3,f=0.04

表2 簡支梁固有頻率

在增量諧波平衡法求解過程中,取n=2,則x1,x2可表示為

x1=a11cosτ+a12cos 3τ+b11sinτ+b12sin 3τ

(24a)

x2=a21cosτ+a22cos 3τ+b21sinτ+b22sin 3τ

(24b)

取初始條件為

a11=a12=b11=b12=0.001

a21=a22=b21=b22=0.000 1

(25)

IHB方法的結果顯示A11?A12,故僅考慮A11。圖2給出了分別采用IHB和RKM方法求得的梁幅頻響應曲線。由圖2可知,兩種方法得到的結果一致,驗證了理論解的正確性。

圖2 IHB和RKM數值結果對比

5 NES的有效性

圖3給出了彈性介質上梁的共振響應時程曲線。在圖3(a)中,系統參數為c1=0.08,c2=1,k=1,ε=0.3,f=0.04,ω=9.869 6,比較了考慮NES和不考慮NES梁的位移響應,虛線和實線分別表示無NES和有NES的情況下梁的響應。結果表明,在外部激勵頻率等于梁的一階固有頻率時,橫向振幅非常大。相比之下,若考慮NES,則梁的振動幅值顯著減小。在圖3(b)中,檢驗了NES在外部激勵頻率等于梁的二階固有頻率時的魯棒性。圖3(b)中梁系統的參數為c1=0.08,c2=1,k=1,ε=0.3,f=0.04,ω=39.478 4,圖3(b)給出了不考慮NES梁響應到穩態的漫長衰減過程。相比之下,NES可以迅速將振幅降低到較低的穩態響應,表明NES能夠快速有效地吸收共振條件下的振動能量,并且具有較好的魯棒性。

(a) 一階共振響應

(b) 二階共振響應

6 參數優化

6.1 質量比分析

圖4給出了質量比ε變化時的幅頻響應曲線,考慮NES梁系統的其他參數為c1=0.08,c2=1,k=1×103,f=0.04。為便于分析,計算過程中通過改變彈性介質質量實現參數ε的變化。圖4中實線表示不考慮NES條件下梁的幅頻響應,其余線型表示考慮NES梁的響應。由圖4可知,隨著質量比ε的增大,梁的響應幅值不斷減小,同時梁的幅頻曲線共振峰越來越平緩,因此彈性介質作為NES具有較寬的減振頻帶,體現了非線性能量匯的寬頻帶的特點。表3給出了不同質量比ε條件下梁的響應峰值對應的頻率和最大共振振幅衰減率。由表3中峰值對應的頻率隨參數ε的變化情況可知,隨著質量比ε的增大,考慮NES梁系統的固有頻率增大并越來越接近不考慮NES梁系統的固有頻率。當質量比ε增大到一定程度時,對固有頻率的影響顯著降低。隨著質量比ε的增大,衰減率不斷增大,減振效果越顯著,但當質量比ε增大到一定程度時,衰減率幾乎沒有變化。表明在分析彈性介質上梁的動力響應時僅需考慮有限深度內彈性介質的影響即可。

圖4 不同質量比ε條件下梁的幅頻響應

表3 不同ε下系統的固有頻率和衰減率

表4 參數ε對應的彈性介質密度

由表4可知,在彈性介質的密度為2.198 5×103kg/m3時,梁系統響應的衰減率幾乎達到最大值。彈性介質質量繼續增加對系統響應的衰減率幾乎沒有影響,因此彈性介質的密度存在最佳范圍。工程經驗表明,黏性土的密度通常為1.8～2.0×103kg/m3,砂土的密度通常為1.6～2.0×103kg/m3,并未達到彈性介質的密度最佳范圍。因此,需要采用地基處理改善彈性介質的物理力學性質,使其密度達到最佳范圍。例如,對有限深度地層進行處理,采用粉煤灰(密度為1.9～2.9×103kg/m3)改性換填,改善地層的物理力學性質,則能滿足密度要求。顯然,可通過地基處理改善彈性介質的物理力學性質,達到預期的振動抑制效果。

6.2 阻尼分析

圖5給出了阻尼系數c2變化時的幅頻響應曲線,考慮NES梁系統的其他參數為c1=0.08,k=1×103,ε=0.2,f=0.04,研究了NES阻尼對減振效果的影響。由表5和圖5可知,阻尼越大,幅頻響應曲線峰值先減小后增大。表明隨著阻尼的增大,NES的減振效果先增強后減弱。顯然,NES的阻尼有一個最優值,本研究中阻尼的最優參數為c2=2。然而,固有頻率則隨著阻尼的增大而減小,且當阻尼增大到一定程度時,對固有頻率的影響顯著減弱。

圖5 不同阻尼系數c2條件下梁的幅頻響應

表5 不同c2下系統固有頻率和衰減率

6.3 非線性剛度分析

圖6顯示了非線性剛度k變化時的幅頻響應曲線,考慮NES梁系統的其他參數為c1=0.08,c2=1,ε=0.2,f=0.04,分析了NES非線性剛度對減振效果的影響。由表6和圖6可知,非線性剛度越大,幅頻響應曲線峰值越小;非線性剛度在1～10 000區間內時,對固有頻率的影響較小,并且對減振效果也影響較小,且此時已具有較好的減振效果。當非線性剛度增大到104后,對梁的減振效果影響較大。隨著非線性剛度的增大,固有頻率逐漸增大,逐漸接近不考慮NES梁的固有頻率,同時梁的衰減率不斷增大,減振效果越來越好。當非線性剛度增大到106時,減振頻帶帶寬顯著增大,當增大到107時,幅頻曲線共振區出現振幅跳躍現象,共振峰發生明顯變形,動力學特性變的更加復雜,一定頻率范圍內的周期解不穩定。因此,可將106作為最佳的非線性剛度。

圖6 不同非線性剛度k下梁的幅頻響應

表6 不同參數k下系統固有頻率和衰減率

6.4 最佳優化結果

利用圖4、圖5、圖6和表3、表5、表6的結果,分析NES的參數ε、c2和k的影響并尋求最佳的參數取值范圍,結果表明當c2=2,k=1×106,ε=0.3時,最大振幅達到最小值,此時最大振幅為0.002 614,衰減百分比為94.84%。對最佳參數的無量綱值進行有量綱值轉換,可得c2為6.809 kN·s/m2,k為6.976×108N/m3,同時根據參考文獻[35],土體阻尼系數在0～420 kN·s/m2,剛度系數在1 000～4 600 kN/m2可知,最佳參數中的c2在合理范圍內,而非線性剛度由于單位是N/m3無法進行準確比較。圖7給出了最優參數下梁動力響應的幅頻曲線和相平面圖,其中幅頻曲線如圖7(a)所示,圖7(b)為外激勵頻率為9.87時的最優參數的相平面圖。如圖7(b)所示,最優參數條件下梁動力響應的相平面圖為一閉合曲線,表明梁系統做周期運動,是穩定的。

7 結 論

利用非線性能量匯理論,本文建立了考慮有限深度彈性介質運動影響的彈性介質-梁耦合系統的非線性動力學模型。運用增量諧波平衡法進行了有限長梁在簡諧激勵下的非線性振動分析,求得了考慮NES和不考慮NES梁的穩態響應,分析了彈性介質質量、非線性剛度、阻尼對梁系統的動力響應的影響,實現了利用Winkler地基設計達到結構振動抑制的目的。得到如

(a) 幅頻曲線

(b) 相平面圖

下主要結論：

(1) 將有限深度彈性介質等效為NES附加質量,能有效抑制系統的振動,且具有良好的魯棒性,能夠在較寬的頻帶內大幅降低系統的響應幅值。

(2) 僅有限深度彈性介質對系統的動力響應有顯著影響,通過技術手段進行彈性地基設計,改善彈性介質的物理性質可實現預期的振動抑制效果。

(3) 隨著NES阻尼的增大,系統的固有頻率減小,并存在最優阻尼;隨著非線性剛度的增大,系統的固有頻率增大并不斷逼近不考慮NES的固有頻率。

(4) 當彈性介質的參數為ε=0.3,c2=2,k=1×106時,能有效抑制其支承梁的振動響應,共振振幅降低約95%。

利用非線性能量匯理論,可通過共振幅值的降低精確闡釋土-結構相互作用對彈性介質上梁受迫振動的抑制效應。在后續研究中,應關注響應在彈性介質中的傳遞、衰減和耗散的演變規律,量化評估有限深度彈性介質耗散的能量,為土-結構相互作用系統的能量單向傳遞設計和應用提供理論基礎。

附錄A

(A.1)

其中

式(A.1)內含有立方剛度,其穩態周期解可假設為

(A.2)

其中

D=[cosτ,cos 3τ,…,cos(2n-1)τ,

sinτ,sin 3τ,…,sin(2n-1)τ]

Ai=[ai1,ai2,…,ain,bi1,bi2,…,bin]T

ΔAi=[Δai1,Δai2,…,Δain,Δbi1,Δbi2,…,Δbin]T

系統的穩態周期解可以表示為

x0=SA,Δx=SΔA

(A.3)

其中

將式(A.3)代入式(A.1),并應用伽遼金平均過程,有

(A.4)

式(A.4)經推導可表示為

KmcΔA=R+RmcΔω+RfΔF

(A.5)

其中

式(A.5)中未知增量的個數比線性方程的個數多兩個,首先必須令其中一個增量為0,在本文中研究激勵大小固定情況下的幅頻響應,所以可設ΔF=0,即激勵幅值恒定,式(A.5)可寫為

KmcΔA=R+RmcΔω

(A.6)

我們需要關注的是振動幅值隨激勵頻率ω的變化情況,因此令Δω為主動增量。在每一個解算點處,主動增量Δω=0,利用方程(A.6)可對ΔA進行迭代求解,即有

(A.7)